數(shù)學教案－垂直于弦的直徑

第一課時 垂直于弦的直徑（一）

　　教學目標：

　　(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算和證明；

　　(2)進一步培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；

　　(3)通過圓的對稱性，培養(yǎng)學生對數(shù)學的審美觀，并激發(fā)學生對數(shù)學的熱愛．

　　教學重點、難點：

　　重點：①垂徑定理及應用；②從感性到理性的學習能力．

　　   難點：垂徑定理的證明．

　　教學學習活動設計：

　　 

　　（一）實驗活動，提出問題：

　　1、實驗：讓學生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導學生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉不變性.

　　2、提出問題：老師引導學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問題.

 

　　通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理．

　　（二）垂徑定理及證明：

　　已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E．

　　求證：AE=EB， = ， = ．

 

　　證明：連結OA、OB，則OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直線CD是等腰△OAB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸．所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B點重合，AE和BE重合， 、 分別和 、 重合．因此，AE=BE， = ， = ．從而得到圓的一條重要性質．

　　垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�

　　組織學生剖析垂徑定理的條件和結論：

　　 CD為⊙O的直徑，CD⊥AB AE=EB， = ， = .

　　為了運用的方便，不易出現(xiàn)錯誤，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學生記混.

　　（三）應用和訓練

　　例1、如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．

　　分析：要求⊙O的半徑，連結OA，只要求出OA的長就可以了，因為已知條件點O到AB的距離為3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm．此時解Rt△AOE即可．

　　解：連結OA，作OE⊥AB于E．

　　則AE=EB．

　　∵AB=8cm，∴AE=4cm．

　　又∵OE=3cm，

　　在Rt△AOE中，

　　 (cm)．

　　∴⊙O的半徑為5 cm．

　　說明：①學生獨立完成，老師指導解題步驟；②應用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h

　　關系：r = h+d；　r² = d² + (a/2)²

　　例2、 已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．求證AC=BD．（證明略）

　　說明：此題為基礎題目，對各個層次的學生都要求獨立完成．

　　練習1：教材P78中練習1，2兩道題.由學生分析思路，學生之間展開評價、交流．

　　指導學生歸納：①構造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.

　　（四）小節(jié)與反思

　　教師組織學生進行：

　　知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應用．

　　方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)��；⑤平分弦所對的劣弧．

　　（五）作業(yè)

　　教材P84中11、12、13．

第二課時 垂直于弦的直徑（二）

　　教學目標：

　�。�1）使學生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應用；

　�。�2）通過對推論的探討，逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、發(fā)現(xiàn)問題，概括問題的能力．促進學生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高

　　（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關系．

　　教學重點、難點：

　　重點：①垂徑定理的兩個推論；②對推論的探究方法．

　　難點：垂徑定理的推論1．

　　學習活動設計：

　　(一)分解定理（對定理的剖析）

　　1、復習提問：定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對應的兩條弧.

　　2、剖析：

　�。ń處熤笇В�

　　(二)新組合，發(fā)現(xiàn)新問題：（A層學生自己組合，小組交流，B層學生老師引導）

　　 ， ，……（包括原定理，一共有10種）

　　(三)探究新問題，歸納新結論：

　　（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對應的兩條弧.

　　（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦對應的兩條弧.

　　（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

　　（4）圓的兩條平行線所夾的弧相等.

　　(四)鞏固練習：

　　練習1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?

　　（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件．）

　　練習2、按圖填空：在⊙O中，

　　（1）若MN⊥AB，MN為直徑，則________，________，________；

　�。�2）若AC＝BC，MN為直徑，AB不是直徑，則則________，________，________；

　　（3）若MN⊥AB，AC＝BC，則________，________，________；

　　（4）若 = ，MN為直徑，則________，________，________．

　　（此題目的：鞏固定理和推論）

　　（五）應用、反思

　　例、四等分 ．

　�。ˋ層學生自主完成，對于其他層次的學生在老師指導下完成）

　　教材P80中的第3題圖，是典型的錯誤作.

　　此題目的：是引導學生應用定理及推論來平分弧的方法，通過學生自主操作培養(yǎng)學生的動手能力；通過與教材P80中的第3題圖的對比，加深學生對感性知識的認識及理性知識的理解．培養(yǎng)學生的思維能力．

　　（六）小結：

　　知識：垂徑定理的兩個推論．

　　能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖．

　　（七）作業(yè)：教材P84中14題．

第三課時 垂徑定理及推論在解題中的應用

　　教學目的：

　�、乓�求學生掌握垂徑定理及其推論，會解決有關的證明，計算問題.

　�、婆囵B(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Γ惶岣邔W生方程思想、分類討論思想的應用意識.

　�、峭ㄟ^例4（趙州橋）對學生進行愛國主義的教育；并向學生滲透數(shù)學來源于實踐，又反過來服務于實踐的辯證唯物主義思想

　　教學重點：垂徑定理及其推論在解題中的應用

　　教學難點：如何進行輔助線的添加

　　教學內容：

　　(一)復習

　　1．垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說，具備下列五個條件中的任何個，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對的優(yōu)弧 ；⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3”

　　推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

　　2．應用垂徑定理及其推論計算（這里不管什么層次的學生都要自主研究） 

　　涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h

　　關系：r = h+d   ;  r² = d² + (a/2)²

　　3．常添加的輔助線：（學生歸納）

　　⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .------構造直角三角形

　　4．可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關系；同時為圓中的計算、作圖提供依據(jù).

　　(二)應用例題：（讓學生分析，交流，解答，老師引導學生歸納）

　　例1、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4米，拱高(弧中點到弦的距離，也叫弓形的高)為7.2米，求橋拱的半徑(精確到0.1米)．

　　說明：①對學生進行愛國主義的教育；②應用題的解題思路：實際問題——（轉化，構造直角三角形）——數(shù)學問題．

　　例2、已知：⊙O的半徑為5 ，弦AB∥CD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB與CD間的距離.（讓學生畫圖）

　　解：分兩種情況：

　　（1）當弦AB、CD在圓心O的兩側

　　過點O作EF⊥AB于E，連結OA、OC，

　　又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（作輔助線是難點，學生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，錯誤的結論）

　　由EF過圓心O，EF⊥AB，AB = 6，得AE=3，

　　在Rt△OEA中，由勾股定理，得

　　，∴

　　同理可得：OF=3

　　∴EF=OE+OF=4+3=7．

　�。�2）當弦AB、CD在圓心O的同側

　　同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．

　　∴．

　　說明：①此題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結合——解決問題；②培養(yǎng)學生作輔助線的方法和能力．

　　例3、 已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC∥AB ，AB=24 ，OC = 15 .求：BC的長.

　　解：（略，過O作OE⊥AE于E ，過B作BF⊥OC于F ，連結OB.BC = ）

　　說明：通過添加輔助線，構造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關系.

　　（三）應用訓練：

　　P8l中1題．

　　在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后．截面如圖所示，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度．

　　學生分析，教師適當點撥．

　　分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決．

　　（四）小結：

　　1. 垂徑定理及其推論的應用注意指明條件.

　　2. 應用定理可以證明的問題；注重構造思想，方程思想、分類思想在解題中的應用.

　　(五)作業(yè)：教材P84中15、16題，P85中B組2、3題．

探究活動

　　 如圖，直線MN與⊙O交于點A、B，CD是⊙O的直徑，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.

　　（1）線段AE、BF之間存在怎樣的關系？線段CE、OH、DF之間滿足怎樣的數(shù)量關系？并說明理由.

　　（2）當直線CD的兩個端點在MN兩側時，上述關系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關系？并說明理由.

　　（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之間應滿足）

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