數(shù)學(xué)教案－切線長(zhǎng)定理

1、教材分析

　�。�1）知識(shí)結(jié)構(gòu)

　�。�2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　重點(diǎn)：切線長(zhǎng)定理及其應(yīng)用．因切線長(zhǎng)定理再次體現(xiàn)了圓的軸對(duì)稱性，它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系等提供了理論依據(jù)，它屬于工具知識(shí)，經(jīng)常應(yīng)用，因此它是本節(jié)的重點(diǎn)．

　　難點(diǎn)：與切線長(zhǎng)定理有關(guān)的證明和計(jì)算問(wèn)題．如120頁(yè)練習(xí)題中第3題，它不僅應(yīng)用切線長(zhǎng)定理，還用到解方程組的知識(shí)，是代數(shù)與幾何的綜合題，學(xué)生往往不能很好的把知識(shí)連貫起來(lái)．

　　2、教法建議

　　本節(jié)內(nèi)容需要一個(gè)課時(shí)．

　�。�1）在教學(xué)中，組織學(xué)生自主觀察、猜想、證明，并深刻剖析切線長(zhǎng)定理的基本圖形；對(duì)重要的結(jié)論及時(shí)總結(jié)；

　�。�2）在教學(xué)中，以“觀察——猜想——證明——剖析——應(yīng)用——?dú)w納”為主線，開展在教師組織下，以學(xué)生為主體，活動(dòng)式教學(xué)．

教學(xué)目標(biāo)

　　1．理解切線長(zhǎng)的概念，掌握切線長(zhǎng)定理；

　　2．通過(guò)對(duì)例題的分析，培養(yǎng)學(xué)生分析總結(jié)問(wèn)題的習(xí)慣，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解題的能力，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想．

　　3．通過(guò)對(duì)定理的猜想和證明，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，樹立科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度．

　　教學(xué)重點(diǎn):

　　切線長(zhǎng)定理是教學(xué)重點(diǎn)

　　教學(xué)難點(diǎn):

　　切線長(zhǎng)定理的靈活運(yùn)用是教學(xué)難點(diǎn)

　　教學(xué)過(guò)程（www.htc668.com）設(shè)計(jì):

　　（一）觀察、猜想、證明，形成定理

　　 1、切線長(zhǎng)的概念．

　　如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點(diǎn)P到⊙O的切線長(zhǎng)．

　　引導(dǎo)學(xué)生理解：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.

　　2、觀察

　　利用電腦變動(dòng)點(diǎn)P 的位置，觀察圖形的特征和各量之間的關(guān)系．

　　3、猜想

　　引導(dǎo)學(xué)生直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB． PA＝PB．

　　4、證明猜想，形成定理．

　　猜想是否正確。需要證明．

　　組織學(xué)生分析證明方法．關(guān)鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA＝PB．

　　想一想：根據(jù)圖形，你還可以得到什么結(jié)論？

　　∠OPA＝∠OPB(如圖)等．

　　切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．

　　5、歸納：

　　把前面所學(xué)的切線的5條性質(zhì)與切線長(zhǎng)定理一起歸納切線的性質(zhì)

　　6、切線長(zhǎng)定理的基本圖形研究

　　如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)．直線OP交⊙O于點(diǎn)D，E，交AP于C

　　(1)寫出圖中所有的垂直關(guān)系；

　　(2)寫出圖中所有的全等三角形；

　　(3)寫出圖中所有的相似三角形；

　　(4)寫出圖中所有的等腰三角形．

　　說(shuō)明：對(duì)基本圖形的深刻研究和認(rèn)識(shí)是在學(xué)習(xí)幾何中關(guān)鍵，它是靈活應(yīng)用知識(shí)的基礎(chǔ)．

　　（二）應(yīng)用、歸納、反思

　　例1、已知：如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA，PB為⊙O的切線，

　　A和B是切點(diǎn)，BC是直徑．

　　求證：AC∥OP．

　　分析：從條件想，由P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由條件BC是直徑，可得OB＝OC，由此聯(lián)想到與直徑有關(guān)的定理“垂徑定理”和“直徑所對(duì)的圓周角是直角”等．于是想到可能作輔助線AB.

　　從結(jié)論想，要證AC∥OP，如果連結(jié)AB交OP于O，轉(zhuǎn)化為證CA⊥AB，OP ⊥AB，或從OD為△ABC的中位線來(lái)考慮．也可考慮通過(guò)平行線的判定定理來(lái)證，可獲得多種證法．

　　證法一．如圖．連結(jié)AB．

　　　PA，PB分別切⊙O于A，B

　　　∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

　　　∴ OP ⊥AB

　　　又∵BC為⊙O直徑

　　　∴AC⊥AB

　　　∴AC∥OP (學(xué)生板書)

　　證法二．連結(jié)AB，交OP于D

　　　PA，PB分別切⊙O于A、B

　　　∴PA＝PB∠APO＝∠BPO  

　　　∴AD＝BD

　　　又∵BO=DO

　　　∴OD是△ABC的中位線

　　　∴AC∥OP

　　證法三．連結(jié)AB，設(shè)OP與AB弧交于點(diǎn)E

　　　PA，PB分別切⊙O于A、B

　　　∴PA＝PB

　　　∴ OP ⊥AB

　　　∴ =

　　　∴∠C＝∠POB

　　　∴AC∥OP

　　反思：教師引導(dǎo)學(xué)生比較以上證法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力．
　例2、 圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等．

　�。ǚ治龊徒忸}略）

　　反思：（1）例3事實(shí)上是圓外切四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)，請(qǐng)學(xué)生記住結(jié)論．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ)．

　　P120練習(xí)：

　　練習(xí)1　填空

　　如圖,已知⊙O的半徑為3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分別切⊙O于A，B，則PA＝_______，∠APB＝________

　　練習(xí)2　已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的內(nèi)切圓分別和BC，AC，AB切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，求AF，AD和CE的長(zhǎng)．

　　分析：設(shè)各切線長(zhǎng)AF，BD和CE分別為x厘米，y厘米，z厘米．后列出關(guān)于x , y，z的方程組，解方程組便可求出結(jié)果．

　�。ń饴裕�

　　反思：解這個(gè)題時(shí)，除了要用三角形內(nèi)切圓的概念和切線長(zhǎng)定理之外，還要用到解方程組的知識(shí)，是一道綜合性較強(qiáng)的計(jì)算題．通過(guò)對(duì)本題的研究培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用知識(shí)的能力．

　　（三）小結(jié)

　　1、提出問(wèn)題學(xué)生歸納

　�。�1）這節(jié)課學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容；

　　（2）學(xué)習(xí)用的數(shù)學(xué)思想方法；

　�。�3）應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別?

　　2、歸納基本圖形的結(jié)論

　　3、學(xué)習(xí)了用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的思想方法．

　　（四）作業(yè)

　　教材P131習(xí)題7．4A組1．(1)，2，3，4．B組1題．

探究活動(dòng)

圖中找錯(cuò)

　　你能找出（圖1）與（圖2）的錯(cuò)誤所在嗎？

　　在圖2中，P₁A為⊙O₁和⊙O₃的切線、P₁B為⊙O₁和⊙O₂的切線、P₂C為⊙O₂和⊙O₃的切線．

　　

　　提示：在圖1中，連結(jié)PC、PD，則PC、PD都是圓的直徑，從圓上一點(diǎn)只能作一條直徑，所以此圖是一張錯(cuò)圖，點(diǎn)O應(yīng)在圓上．

　　在圖2中，設(shè)P₁A=P₁B=a，P₂B=P₂C=b，P₃A＝P₃C＝c，則有

　　　a= P₁A= P₁P₃+P₃A= P₁P₃+ c　　①

　　　c= P₃C= P₂P₃+P₃A= P₂P₃+ b　�、�

　　　a= P₁B= P₁P₂+P₂B= P₁P₂+ b　　③

　　　將②代人①式得

　　　a = P₁P₃+（P₂P₃+ b）= P₁P₃+P₂P₃+ b，

　　　∴a-b= P₁P₃+P₂P₃

　　　由③得a-b= P₁P₂得

　　　∴P₁P₂= P₂P₃+ P₁P₃

　　　∴P₁、P ₂ 、P₃應(yīng)重合，故圖2是錯(cuò)誤的．

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