二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象

教學(xué)目標(biāo)：

　　1、使學(xué)生進(jìn)一步理解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；

　　2、滲透解析幾何，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)等數(shù)學(xué)思想.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題，及邏輯思維的能力.

　　3、使學(xué)生參與教學(xué)過(guò)程，通過(guò)主體的積極思維，體驗(yàn)感悟數(shù)學(xué).逐步建立數(shù)學(xué)的觀念，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立地獲取知識(shí)的能力.

　　教學(xué)重點(diǎn)：初步理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

　　教學(xué)難點(diǎn)：初步理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

　　教學(xué)用具：微機(jī)

　　教學(xué)方法：探究式、小組合作學(xué)習(xí)

　　教學(xué)過(guò)程：

　　例1、已知：拋物線(xiàn)y=x²－（m²－1）x－2m²－2

　　⑴求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，拋物線(xiàn)與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)

　　⑵m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，兩交點(diǎn)間距離最短？是多少？

　　解：

　　　△ = (m²－1)²＋4(2m²＋2)

　　　= m⁴－2m²＋1＋8m²＋8

　　　= m⁴＋6m²＋9

　　　= (m²＋3)²

　　　m²≥0

　　　∴m²＋3＞0

　　　∴△＞0 

　　　∴拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

　　問(wèn)題：為什么說(shuō)當(dāng)△＞0時(shí)，拋物線(xiàn)y = ax²+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).（能否從數(shù)和形兩方面說(shuō)明）

　　設(shè)計(jì)意圖：在課堂上創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生說(shuō)數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，學(xué)會(huì)合作學(xué)習(xí)，以達(dá)到①經(jīng)驗(yàn)共享，在思維的碰撞中共同提高.②學(xué)會(huì)合作，消除個(gè)人中心.③發(fā)現(xiàn)自我，提高參與度.④弘揚(yáng)個(gè)體的主體性，形成健康，豐富的個(gè)性.

　　數(shù)：點(diǎn)在曲線(xiàn)上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足曲線(xiàn)的方程.反之，曲線(xiàn)方程的每一個(gè)實(shí)數(shù)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上.拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，既在拋物線(xiàn)上，又在x軸上.所以交點(diǎn)的坐標(biāo)既滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的解析式，也滿(mǎn)足x軸的解析式.設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）

　　∴

　　    這樣交點(diǎn)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成求這個(gè)二元二次方程組的解.代入y = 0，消去y，轉(zhuǎn)化成ax²+bx+c=0這個(gè)一元二次方程求根問(wèn)題.根據(jù)以前學(xué)過(guò)的知識(shí)，當(dāng)△＞0時(shí)， ax²+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根.∴y = ax²+bx+c

　　y = 0

　　有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解

　　∴拋物線(xiàn)與ｘ軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn).

　　形：頂點(diǎn)在ｘ軸上方，且開(kāi)口向下.或者頂點(diǎn)在ｘ軸下方，且開(kāi)口向上.

　　設(shè)計(jì)意圖：滲透解析幾何的基本思想

　　使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化思想使學(xué)生在解題過(guò)程中，感知數(shù)學(xué)的直觀性和形式化這二重性.掌握數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論的思想方法.逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維.

　　

　　轉(zhuǎn)化成代數(shù)語(yǔ)言為：

　　　 　　

　　小結(jié)：第一種方法，根據(jù)解析幾何的基本思想.將求曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成求方程組的解的問(wèn)題.

　　第二種方法，借助于圖象思考問(wèn)題，比較直觀.發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，再用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言將其形式化.這既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合的思想方法，也是探索解數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法.

　　思考：試從數(shù)、形兩方面說(shuō)明拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與判別  式的符號(hào)的關(guān)系.

　　設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程，不能等同于數(shù)學(xué)知識(shí)的匯集，而要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程.使主體積極地參與到學(xué)習(xí)中去.以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，揭示出蘊(yùn)涵于其中的數(shù)學(xué)思想方法，逐步形成數(shù)學(xué)觀念.

　�、苖取什么實(shí)數(shù)時(shí),兩交點(diǎn)間距離最短?是多少?

　　解：設(shè)二次函數(shù)與x軸的兩交點(diǎn)為(x₁,0)，(x₂,0)

　　解法㈠ 由⑴可知m為任何實(shí)數(shù)時(shí), 都有△＞0

　　解①

　　　∴  x₁＋x₂=m²－1

　　　x_1·x₂=－2(m²＋1)

　　　∴│x₂－x₁│=

　　　=

　　　=

　　　=

　　　= m²＋3

　　　∴當(dāng)m =0時(shí),兩交點(diǎn)最小距離為3

　　這里兩交點(diǎn)間距離是m的函數(shù)

　　設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí).在解題過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并能運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，將其一般化，形式化，解決問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的一般方法.培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立地獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.滲透函數(shù)思想
　問(wèn)題： 觀察本題兩交點(diǎn)間距離與判別式的值之間有何異同？具有一般的規(guī)律嗎？如何說(shuō)明.

　　設(shè)x₁、x₂ 為ax²+bx+c = 0的兩根

　　可以推出：

　　還可以理解為頂點(diǎn)到x軸距離最短.

　　設(shè)計(jì)意圖：在對(duì)比、分析中，明確概念，揭示知識(shí)間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

　　小結(jié)：觀察這道題的結(jié)論，我們猜測(cè)出規(guī)律，將其一般化，推導(dǎo)出這個(gè)公式，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的一般方法.

　　解法㈡：用十字相乘法或求根公式法求根.

　　思考：一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系.

　　思考：求m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，y = x²－（m²－1）x  －2 m²－2被直線(xiàn)y = 2所截得的線(xiàn)段最短？是多少？

　　練習(xí)：

　　觀察函數(shù) 的圖象，回答：

　�。�1）y>0時(shí)，x的取值范圍如何？

　�。�2）y=0時(shí)，x取什么值？

　　（1）y<0時(shí)，x的取值范圍如何？

　　小結(jié)：數(shù)與形是數(shù)學(xué)中相互依賴(lài)的兩個(gè)方面.圖形比較直觀，可以啟發(fā)思路；而數(shù)學(xué)的嚴(yán)格證明也是必不可少的.直觀性和形式化是數(shù)學(xué)的兩重性.

探究活動(dòng)

　　探究問(wèn)題：

　　欣欣日用品零售商店，從某公司批發(fā)部每月按銷(xiāo)售合同以批發(fā)單價(jià)每把8元購(gòu)進(jìn)雨傘（數(shù)量至少為100把），欣欣商店根據(jù)銷(xiāo)售記錄，這批雨傘以零售單價(jià)每把為14元出售時(shí)，月銷(xiāo)售量為100把。如果零售單價(jià)每降價(jià)0.1元 , 月銷(xiāo)售量就要增加5把.

　　(1) 欣欣日用品零售商店以零售單價(jià)14元出售時(shí)，一個(gè)月的利潤(rùn)為多少元？

　　(2) 欣欣日用品零售商店為了擴(kuò)大銷(xiāo)售記錄,現(xiàn)實(shí)行降價(jià)銷(xiāo)售,問(wèn)分別降價(jià)0.2元、0.8元、1.2元、1.6元、2.4元、3元時(shí)的利潤(rùn)是多少？

　　(3) 欣欣日用品零售商店實(shí)行降價(jià)銷(xiāo)售后，問(wèn)降價(jià)多少元時(shí)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？

　　(4) 現(xiàn)在該公司的批發(fā)部為了再次擴(kuò)大這種雨傘的銷(xiāo)售量，給零售商制定如下優(yōu)惠措施：如果零售商每月從批發(fā)部購(gòu)進(jìn)雨傘的數(shù)量超過(guò)100把，其超過(guò)100把的部分每把按原價(jià)九五折（即百分之95）付費(fèi)，但零售價(jià)每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店應(yīng)將這種雨傘的零售單價(jià)定為每把多少元出售時(shí)，才能使這種雨傘的月銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大月銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少元？（銷(xiāo)售利潤(rùn)=銷(xiāo)售款額—進(jìn)貨款額）

　　解：（1）（14—8） （元）

　�。�2）638元、728元、748元、792元、792元、750元。

　�。�3）設(shè)降價(jià) 元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為 元

　　　 =

　　　　=

　　　　=

　　　∴ 當(dāng) 時(shí)， 有最大值

　　　 元

　　（4）設(shè)降價(jià) 元時(shí)利潤(rùn)最大，利潤(rùn)為 元

　　　 （其中 ）。

　　　化簡(jiǎn)，得  。

　　　 ，

　　　∴  當(dāng) 時(shí)， 有最大值。

　　　

　　　∴  。

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