圓的內(nèi)接四邊形

1. 知識結(jié)構(gòu)

　　2. 重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　重點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理．它是圓中探求角相等或互補(bǔ)關(guān)系的常用定理，同時(shí)也是轉(zhuǎn)移角的常用方法．

　　難點(diǎn)：定理的靈活運(yùn)用．使用性質(zhì)定理時(shí)應(yīng)注意觀察圖形、分析圖形，不要弄錯四邊形的

　　外角和它的內(nèi)對角的相互對應(yīng)位置．

　　3. 教法建議

　　本節(jié)內(nèi)容需要一個(gè)課時(shí)．

　　（1）教師的重點(diǎn)是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)探究問題的情境（參看教學(xué)設(shè)計(jì)示例），組織學(xué)生自主觀察、分析和探究；

　　（2）在教學(xué)中以“發(fā)現(xiàn)——證明——應(yīng)用”為主線，以“特殊——一般”的探究方法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與證明的思想方法．

一、教學(xué)目標(biāo)：

　�。ㄒ唬┲�識目標(biāo)

　　（1）了解圓內(nèi)接多邊形和多邊形外接圓的概念；

　�。�2）掌握圓內(nèi)接四邊形的概念及其性質(zhì)定理；

　�。�3）熟練運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明．

　　（二）能力目標(biāo)

　�。�1）通過圓的特殊內(nèi)接四邊形到圓的一般內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力；

　�。�2）通過定理的證明探討過程，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)散思維；

　�。�3）通過定理的應(yīng)用，進(jìn)一步提高學(xué)生的應(yīng)用能力和思維能力．

　　（三）情感目標(biāo)

　�。�1）充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，激發(fā)學(xué)生的探究的熱情；

　�。�2）滲透教學(xué)內(nèi)容中普遍存在的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)．

　　二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn):

　　重點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理．

　　難點(diǎn)：定理的靈活運(yùn)用．

　　三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

　　（一）基本概念

　　如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓．如圖中的四邊形ABCD叫做⊙O的內(nèi)接四邊形，而⊙O叫做四邊形ABCD的外接圓．

　　（二）創(chuàng)設(shè)研究情境

　　問題：一般的圓內(nèi)接四邊形具有什么性質(zhì)？

　　研究：圓的特殊內(nèi)接四邊形（矩形、正方形、等腰梯形）

　　教師組織、引導(dǎo)學(xué)生研究．

　　1、邊的性質(zhì)：

　�。�1）矩形：對邊相等，對邊平行．

　�。�2）正方形：對邊相等，對邊平行，鄰邊相等．

　�。�3）等腰梯形：兩腰相等，有一組對邊平行．

　　歸納：圓內(nèi)接四邊形的邊之間看不出存在什么公同的性質(zhì)．

　　2、角的關(guān)系

　　

　　猜想：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．

�。ㄈ�）證明猜想

　　教師引導(dǎo)學(xué)生證明．（參看思路）

　　思路1：在矩形中，外接圓心即為它的對角線的中點(diǎn)，∠A與∠B均為平角∠BOD的一半，在一般的圓內(nèi)接四邊形中，只要把圓心O與一組對頂點(diǎn)B、D分別相連，能得到什么結(jié)果呢?

　　∠A= ，∠C=

　　∴∠A+∠C=

　　思路2：在正方形中，外接圓心即為它的對角線的交點(diǎn)．把圓心與各頂點(diǎn)相連，與各邊所成的角均方45°的角．在一般的圓內(nèi)接四邊形中，把圓心與各頂點(diǎn)相連，能得到什么結(jié)果呢?

　　這時(shí)有2(α+β+γ+δ)=360°

　　所以  α+β+γ+δ=180°

　　而    β+γ=∠A，α+δ=∠C，

　　∴∠A+∠C=180°，可得，圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．

　�。ㄋ模┬再|(zhì)及應(yīng)用

　　定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角．

　�。▽�A層學(xué)生應(yīng)知，逆定理成立， 4點(diǎn)共圓）

　　例  已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過A的直線與⊙O₁交于點(diǎn)C，與⊙O₂交于點(diǎn)D．過B的直線與⊙O₁交于點(diǎn)E，與⊙O₂交于點(diǎn)F．

　　求證：CE∥DF．

　�。ǚ治雠c證明學(xué)生自主完成）

　　說明：①連結(jié)AB這是一種常見的引輔助線的方法．對于這道例題，連結(jié)AB以后，可以構(gòu)造出兩個(gè)圓內(nèi)接四邊形，然后利用圓內(nèi)接四邊形的關(guān)于角的性質(zhì)解決．

　�、诮處熢谡n堂教學(xué)中，善于調(diào)動學(xué)生對例題、重點(diǎn)習(xí)題的剖析，多進(jìn)行一點(diǎn)一題多變，一題多解的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，勇于創(chuàng)新．

　　鞏固練習(xí)：教材P98中1、2．

　�。ㄎ澹┬〗Y(jié)

　　知識：圓內(nèi)接多邊形——圓內(nèi)接四邊形——圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．

　　思想方法：①“特殊——一般”研究問題的方法；②構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形；③一題多解，一題多變．

　�。�六）作業(yè)：教材P101中15、16、17題；教材P102中B組5題．

探究活動

　　問題： 已知，點(diǎn)A在⊙O上，⊙A與⊙O相交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙A上（不與B、C重合）一點(diǎn)，直線BD與⊙O相交于點(diǎn)E．試問：當(dāng)點(diǎn)D在⊙A上運(yùn)動時(shí)，能否判定△CED的形狀？說明理由．

　　分析  要判定△CED的形狀，當(dāng)運(yùn)動到BD經(jīng)過⊙A的圓心A時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，可以發(fā)現(xiàn)△CED是等腰三角形，從而猜想對一般情況是否也能成立，進(jìn)一步觀察可發(fā)現(xiàn)在運(yùn)動過程中∠D及∠CED的大小保持不變，△CED的形狀保持不變．

　　

　　提示：分兩種情況

　�。�1）當(dāng)點(diǎn)D在⊙O外時(shí)．證明△CDE∽△CAD’即可

　　（2）當(dāng)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)時(shí)． 利用圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角可證明△CDE∽△CAD’即可

　　說明：（1）本題應(yīng)用同弧所對的圓周角相等，及圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角，改變圓周角頂點(diǎn)位置，進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換；

　　（2）本題為圖形形狀判定型的探索題，結(jié)論的探索同樣運(yùn)用圖形運(yùn)動思想，證明結(jié)論將一般位置轉(zhuǎn)化成特殊位置，同時(shí)獲得添輔助線的方法，這也是添輔助線的常用的思想方法；

　　（3）一般地，有時(shí)對幾種不同位置圖形探索得到相同結(jié)論，但不同位置的證明方法不同時(shí)，也要進(jìn)行分類討論．本題中，如果將直線BD運(yùn)動到使點(diǎn)E在BD的反向延長線上時(shí)，
△CDE仍然是等腰三角形．

 

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