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圓和圓的位置關(guān)系
1、教材分析
�。�1）知識結(jié)構(gòu)
�。�2）重點、難點分析
重點：兩圓的位置關(guān)系和兩圓相交、相切的性質(zhì)．它們是本節(jié)的主要內(nèi)容，是圓的重要概念性知識，也是今后研究圓與圓問題的基礎(chǔ)知識．
難點：兩圓位置關(guān)系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質(zhì)的運用．由于兩圓位置關(guān)系有5種類型，特別是相離有外離和內(nèi)含，相切有外切和內(nèi)切，學(xué)生容易遺漏；而在相交圓的性質(zhì)應(yīng)用中，學(xué)生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線．”看成是真命題．
2、教法建議
本節(jié)內(nèi)容需要兩個課時．第一課時主要研究圓和圓的位置關(guān)系；第二課時相交兩圓的性質(zhì)．
�。�1）把課堂活動設(shè)計的重點放在如何調(diào)動學(xué)生的主體，讓學(xué)生觀察、分析、歸納概括，主動獲得知識；
�。�2）要重視圓的對稱美的教學(xué)，組織學(xué)生欣賞，在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣中，獲得知識，提高能力；
�。�3）在教學(xué)中，以分類思想為指導(dǎo)，以數(shù)形結(jié)合為方法，貫串整個教學(xué)過程．
第一課時 圓和圓的位置關(guān)系
教學(xué)目標(biāo)：
1．掌握圓與圓的五種位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定方法；兩圓連心線的性質(zhì)；
2．通過兩圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的分類能力和數(shù)形結(jié)合能力；
3．通過演示兩圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生用運動變化的觀點來分析和發(fā)現(xiàn)問題的能力．
教學(xué)重點：
兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數(shù)量之間的關(guān)系．
教學(xué)難點：
兩圓位置關(guān)系及判定．
�。�一）復(fù)習(xí)、引出問題
1．復(fù)習(xí)：直線和圓有幾種位置關(guān)系?各是怎樣定義的?
�。ń處熤鲗�(dǎo)，學(xué)生回憶、回答）直線和圓有三種位置關(guān)系，即直線和圓相離、相切、相交．各種位置關(guān)系是通過直線與圓的公共點的個數(shù)來定義的
2．引出問題：平面內(nèi)兩個圓，它們作相對運動，將會產(chǎn)生什么樣的位置關(guān)系呢?
�。�二）觀察、分類，得出概念
1、讓學(xué)生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系，準(zhǔn)確給出描述性定義：
(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離．(圖(1))
(2)外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切．這個唯一的公共點叫做切點．(圖(2))
(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交．(圖(3))
(4)內(nèi)切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切．這個唯一的公共點叫做切點．(圖(4))
(5)內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含(圖(5))．兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一個特例． (圖(6))
2、歸納：
(1)兩圓外離與內(nèi)含時，兩圓都無公共點．
(2)兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱兩圓相切，即外切和內(nèi)切的共性是公共點的個數(shù)唯一
(3)兩圓位置關(guān)系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內(nèi)含)；相交；相切(外切和內(nèi)切)．
教師組織學(xué)生歸納，并進(jìn)一步考慮：從兩圓的公共點的個數(shù)考慮，無公共點則相離；有一個公共點則相切；有兩個公共點則相交．除以上關(guān)系外，還有其它關(guān)系嗎?可能不可能有三個公共點?
結(jié)論：在同一平面內(nèi)任意兩圓只存在以上五種位置關(guān)系．
（三）分析、研究
1、相切兩圓的性質(zhì)．
讓學(xué)生觀察連心線與切點的關(guān)系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質(zhì)：
如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上．
這個性質(zhì)由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學(xué)課下可以考慮如何對這一性質(zhì)進(jìn)行證明
2、兩圓位置關(guān)系的數(shù)量特征．
設(shè)兩圓半徑分別為R和r．圓心距為d，組織學(xué)生研究兩圓的五種位置關(guān)系，r和d之間有何數(shù)量關(guān)系．（圖形略）
兩圓外切 d＝R+r；
兩圓內(nèi)切 d＝R-r (R＞r);
兩圓外離 d＞R+r；
兩圓內(nèi)含 d＜R-r(R＞r);
兩圓相交 R-r＜d＜R+r．
說明：注重“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué)．
（四）應(yīng)用、練習(xí)
例1： 如圖，⊙O的半徑為5厘米，點P是⊙O外一點，OP=8厘米
求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?
(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內(nèi)切，大圓⊙P的半徑是多少?
解：（1）設(shè)⊙P與⊙O外切與點A，則
PA=PO-OA
∴PA=3cm．
�。�2）設(shè)⊙P與⊙O內(nèi)切與點B，則
PB=PO+OB
∴PB=1 3cm．
例2：已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作．
求證：⊙O與⊙B相外切．
證明：連結(jié)BO，∵AC為⊙O的直徑，AC＝12，
∴⊙O的半徑 ，且O是AC的中點
∴ ，∵∠C=90°且BC=8，
∴ ，
∵⊙O的半徑 ，⊙B的半徑 ，
∴BO= ，∴⊙O與⊙B相外切．
練習(xí)(P138)
（五）小結(jié)
知識：①兩圓的五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含；
�、谝约斑@五種位置關(guān)系下圓心距和兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系；
�、蹆蓤A相切時切點在連心線上的性質(zhì)．
能力：觀察、分析、分類、數(shù)形結(jié)合等能力．
思想方法：分類思想、數(shù)形結(jié)合思想．
（六）作業(yè)
教材P151中習(xí)題A組2，3，4題．
第二課時 相交兩圓的性質(zhì)
教學(xué)目標(biāo)
1、掌握相交兩圓的性質(zhì)定理；
2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法；
3、通過例題的分析，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；
4、結(jié)合相交兩圓連心線性質(zhì)教學(xué)向?qū)W生滲透幾何圖形的對稱美．
教學(xué)重點
相交兩圓的性質(zhì)及應(yīng)用．
教學(xué)難點
應(yīng)用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質(zhì)和準(zhǔn)確添加輔助線．
教學(xué)活動設(shè)計
�。�一）圖形的對稱美
相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形．相交兩圓具有什么性質(zhì)呢?
（二）觀察、猜想、證明
1、觀察：同樣相交兩圓，也構(gòu)成對稱圖形，它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形．
2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”．
3、證明：
對A層學(xué)生讓學(xué)生寫出已知、求證、證明，教師組織；對B、C層在教師引導(dǎo)下完成．
已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B．
求證：Q1O2是AB的垂直平分線．
分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線，只要證明O1O2上的點和線段AB兩個端點的距離相等，于是想到連結(jié)O1A、O2A、O1B、O2B．
證明：連結(jié)O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，
∴O1點在AB的垂直平分線上．
又∵O2A＝O2B，∴點O2在AB的垂直平分線上．
因此O1O2是AB的垂直平分線．
也可考慮利用圓的軸對稱性加以證明：
∵⊙Ol和⊙O2，是軸對稱圖形，∴直線O1O2是⊙Ol和⊙O2的對稱軸．
∴⊙Ol和⊙O2的公共點A關(guān)于直線O1O2的對稱點即在⊙Ol上又在⊙O2上．
∴A點關(guān)于直線O1O2的對稱點只能是B點，
∴連心線O1O2是AB的垂直平分線．
定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦．
注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線．
�。�三）應(yīng)用、反思
例1、已知兩個等圓⊙Ol和⊙O2相交于A，B兩點，⊙Ol經(jīng)O2。
求∠OlAB的度數(shù)．
分析：由所學(xué)定理可知，O1O2是AB的垂直平分線，
又⊙O1與⊙O2是兩個等圓，因此連結(jié)O1O2和AO2，AO1，△O1AO2構(gòu)成等邊三角形，同時可以推證⊙O l和⊙O2構(gòu)成的圖形不僅是以O(shè)1O2為對稱軸的軸對稱圖形，同時還是以AB為對稱軸的軸對稱圖形．從而可由
∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°．
解：⊙O1經(jīng)過O2，⊙O1與⊙O2是兩個等圓
∴OlA= O1O2= AO2
∴∠O1A O2=60°，
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB =30°．
例2、已知，如圖，A是⊙O l、⊙O2的一個交點，點P是O1O2的中點。過點A的直線MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。
求證：AM=AN．
證明：過點Ol、O2分別作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足為C、D，則OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN．
∵OlP= O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN．
例3、已知：如圖，⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點，C為⊙Ol上一點，AC交⊙O2于D，過B作直線EF交⊙Ol、⊙O2于E、F．
求證：EC∥DF
證明：連結(jié)AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB，
在⊙Ol中∠CAB=∠E，
∴∠F=∠E，∴EC∥DF．
反思：在解有關(guān)相交兩圓的問題時，常作出連心線、公共弦，或連結(jié)交點與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長的一半，圓心距集中到一個三角形中，運用三角形有關(guān)知識來解，或者結(jié)合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解．
�。�四）小結(jié)
知識：相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦．該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據(jù)．
能力與方法：①在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯(lián)系，為證題創(chuàng)造條件，起到了“橋梁”作用；②圓的對稱性的應(yīng)用．
（五）作業(yè) 教材P152習(xí)題A組7、8、9題；B組1題．
探究活動
問題1：已知AB是⊙O的直徑，點O1、O2、…、On在線段AB上，分別以O(shè)1、O2、…、On為圓心作圓，使⊙O1與⊙O內(nèi)切，⊙O2與⊙O1外切，⊙O3與⊙O2外切，…，⊙On與⊙On-1外切且與⊙O內(nèi)切．設(shè)⊙O的周長等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周長分別為C1、C2、…、Cn．
(1)當(dāng)n=2時，判斷Cl+C2與C的大小關(guān)系；
(2)當(dāng)n=3時，判斷Cl+C2+ C3與C的大小關(guān)系；
(3)當(dāng)n取大于3的任一自然數(shù)時，Cl十C2十…十Cn與C的大小關(guān)系怎樣?證明你的結(jié)論．
提示：假設(shè)⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半徑分別為r、rl、r2、…、rn，通過周長計算，比較可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C．
問題2：有八個同等大小的圓形，其中七個有陰影的圓形都固定不動，第八個圓形，緊貼另外七個無滑動地滾動，當(dāng)它繞完這些固定不動的圓形一周，本身將旋轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？
提示：1、實驗：用硬幣作初步實驗；結(jié)果硬幣一共轉(zhuǎn)了4轉(zhuǎn)．
2、分析：當(dāng)你把動圓無滑動地沿著 圓周長的直線上滾動時，這個動圓是轉(zhuǎn) 轉(zhuǎn)，但是，這個動圓是沿著弧線滾動，那么方才的說法就不正確了．在我們這個題目中，那動圓繞著相當(dāng)于它的圓周長的 的弧線旋轉(zhuǎn)的時候，一共走過的不是 轉(zhuǎn)；而是 轉(zhuǎn)，因此，它繞過六個這樣的弧形的時，就轉(zhuǎn)了 轉(zhuǎn)
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