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數(shù)學(xué)教案－函數(shù)單調(diào)性與奇偶性
教學(xué)目標(biāo)
1.了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念,掌握有關(guān)證明和判斷的基本方法.
(1)了解并區(qū)分增函數(shù),減函數(shù),單調(diào)性,單調(diào)區(qū)間,奇函數(shù),偶函數(shù)等概念.
(2)能從數(shù)和形兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)單調(diào)性和奇偶性.
(3)能借助圖象判斷一些函數(shù)的單調(diào)性,能利用定義證明某些函數(shù)的單調(diào)性;能用定義判斷某些函數(shù)的奇偶性,并能利用奇偶性簡化一些函數(shù)圖象的繪制過程.
2.通過函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力;通過函數(shù)奇偶性概念的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生的觀察,歸納,抽象的能力,同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合,從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.
3.通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的理論研究,增學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的體驗(yàn),培養(yǎng)樂于求索的精神,形成科學(xué),嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯繎B(tài)度.
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
�。�1）函數(shù)單調(diào)性的概念。包括增函數(shù)、減函數(shù)的定義，單調(diào)區(qū)間的概念函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖像的關(guān)系.
（2）函數(shù)奇偶性的概念。包括奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，函數(shù)奇偶性的判定方法，奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖像.
二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
(1)本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性概念的形成與認(rèn)識(shí).教學(xué)的難點(diǎn)是領(lǐng)悟函數(shù)單調(diào)性, 奇偶性的本質(zhì),掌握單調(diào)性的證明.
(2)函數(shù)的單調(diào)性這一性質(zhì)學(xué)生在初中所學(xué)函數(shù)中曾經(jīng)了解過,但只是從圖象上直觀觀察圖象的上升與下降,而現(xiàn)在要求把它上升到理論的高度,用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言去刻畫它.這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)高一的學(xué)生來說是比較困難的,因此要在概念的形成上重點(diǎn)下功夫.單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容,學(xué)生在代數(shù)論證推理方面的能力是比較弱的,許多學(xué)生甚至還搞不清什么是代數(shù)證明,也沒有意識(shí)到它的重要性,所以單調(diào)性的證明自然就是教學(xué)中的難點(diǎn).
三、教法建議
（1）函數(shù)單調(diào)性概念引入時(shí),可以先從學(xué)生熟悉的一次函數(shù),,二次函數(shù).反比例函數(shù)圖象出發(fā),回憶圖象的增減性,從這點(diǎn)感性認(rèn)識(shí)出發(fā),通過問題逐步向抽象的定義靠攏.如可以設(shè)計(jì)這樣的問題:圖象怎么就升上去了?可以從點(diǎn)的坐標(biāo)的角度,也可以從自變量與函數(shù)值的關(guān)系的角度來解釋,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自變量與函數(shù)值的的變化規(guī)律,再把這種規(guī)律用數(shù)學(xué)語言表示出來.在這個(gè)過程中對(duì)一些關(guān)鍵的詞語(某個(gè)區(qū)間,任意,都有)的理解與必要性的認(rèn)識(shí)就可以融入其中,將概念的形成與認(rèn)識(shí)結(jié)合起來.
�。�2）函數(shù)單調(diào)性證明的步驟是嚴(yán)格規(guī)定的,要讓學(xué)生按照步驟去做,就必須讓他們明確每一步的必要性,每一步的目的,特別是在第三步變形時(shí),讓學(xué)生明確變換的目標(biāo),到什么程度就可以斷號(hào),在例題的選擇上應(yīng)有不同的變換目標(biāo)為選題的標(biāo)準(zhǔn),以便幫助學(xué)生總結(jié)規(guī)律.
函數(shù)的奇偶性概念引入時(shí),可設(shè)計(jì)一個(gè)課件,以 的圖象為例,讓自變量互為相反數(shù),觀察對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化規(guī)律,先從具體數(shù)值 開始,逐漸讓 在數(shù)軸上動(dòng)起來,觀察任意性,再讓學(xué)生把看到的用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出來.經(jīng)歷了這樣的過程,再得到等式 時(shí),就比較容易體會(huì)它代表的是無數(shù)多個(gè)等式,是個(gè)恒等式.關(guān)于定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的問題,也可借助課件將函數(shù)圖象進(jìn)行多次改動(dòng),幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)定義域的對(duì)稱性,同時(shí)還可以借助圖象(如 )說明定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱只是函數(shù)具備奇偶性的必要條件而不是充分條件.
函數(shù)的奇偶性教學(xué)設(shè)計(jì)方案
教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生了解奇偶性的概念,回 會(huì)利用定義判斷簡單函數(shù)的奇偶性.
2.在奇偶性概念形成過程中,培養(yǎng)學(xué)生的觀察,歸納能力,同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的思想方法.
3.在學(xué)生感受數(shù)學(xué)美的同時(shí),激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生樂于求索的精神.
教學(xué)重點(diǎn),難點(diǎn)
重點(diǎn)是奇偶性概念的形成與函數(shù)奇偶性的判斷
難點(diǎn)是對(duì)概念的認(rèn)識(shí)
教學(xué)用具
投影儀,計(jì)算機(jī)
教學(xué)方法
引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法
教學(xué)過程（www.htc668.com）
一. 引入新課
前面我們已經(jīng)研究了函數(shù)的單調(diào)性,它是反映函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上函數(shù)值隨自變量變化而變化的性質(zhì),今天我們繼續(xù)研究函數(shù)的另一個(gè)性質(zhì).從什么角度呢?將從對(duì)稱的角度來研究函數(shù)的性質(zhì).
對(duì)稱我們大家都很熟悉,在生活中有很多對(duì)稱,在數(shù)學(xué)中也能發(fā)現(xiàn)很多對(duì)稱的問題,大家回憶一下在我們所學(xué)的內(nèi)容中,特別是函數(shù)中有沒有對(duì)稱問題呢?
(學(xué)生可能會(huì)舉出一些數(shù)值上的對(duì)稱問題, 等,也可能會(huì)舉出一些圖象的對(duì)稱問題,此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生把函數(shù)具體化,如 和 等.)
結(jié)合圖象提出這些對(duì)稱是我們?cè)诔踔醒芯康年P(guān)于 軸對(duì)稱和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱問題,而我們還曾研究過關(guān)于 軸對(duì)稱的問題,你們舉的例子中還沒有這樣的,能舉出一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于 軸對(duì)稱的嗎?
學(xué)生經(jīng)過思考,能找出原因,由于函數(shù)是映射,一個(gè) 只能對(duì)一個(gè) ,而不能有兩個(gè)不同的,故函數(shù)的圖象不可能關(guān)于 軸對(duì)稱.最終提出我們今天將重點(diǎn)研究圖象關(guān)于 軸對(duì)稱和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的問題,從形的特征中找出它們?cè)跀?shù)值上的規(guī)律.
二. 講解新課
2.函數(shù)的奇偶性(板書)
教師從剛才的圖象中選出 ,用計(jì)算機(jī)打出,指出這是關(guān)于 軸對(duì)稱的圖象,然后問學(xué)生初中是怎樣判斷圖象關(guān)于 軸對(duì)稱呢?(由學(xué)生回答,是利用圖象的翻折后重合來判定)此時(shí)教師明確提出研究方向:今天我們將從數(shù)值角度研究圖象的這種特征體現(xiàn)在自變量與函數(shù)值之間有何規(guī)律?
學(xué)生開始可能只會(huì)用語言去描述:自變量互為相反數(shù),函數(shù)值相等.教師可引導(dǎo)學(xué)生先把它們具體化,再用數(shù)學(xué)符號(hào)表示.(借助課件演示令 比較 得出等式 ,再令 ,得到 ,詳見課件的使用)進(jìn)而再提出會(huì)不會(huì)在定義域內(nèi)存在 ,使 與 不等呢?(可用課件幫助演示讓 動(dòng)起來觀察,發(fā)現(xiàn)結(jié)論,這樣的 是不存在的)
從這個(gè)結(jié)論中就可以發(fā)現(xiàn)對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè) ,都有 成立.最后讓學(xué)生用完整的語言給出定義,不準(zhǔn)確的地方教師予以提示或調(diào)整.
(1) 偶函數(shù)的定義:如果對(duì)于函數(shù) 的定義域內(nèi)任意一個(gè) ,都有 ,那么 就叫做偶函數(shù).(板書)
(給出定義后可讓學(xué)生舉幾個(gè)例子,如 等以檢驗(yàn)一下對(duì)概念的初步認(rèn)識(shí))
提出新問題:函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,它的自變量與函數(shù)值之間的數(shù)值規(guī)律是什么呢?(同時(shí)打出 或 的圖象讓學(xué)生觀察研究)
學(xué)生可類比剛才的方法,很快得出結(jié)論,再讓學(xué)生給出奇函數(shù)的定義.
(2) 奇函數(shù)的定義: 如果對(duì)于函數(shù) 的定義域內(nèi)任意一個(gè) ,都有 ,那么 就叫做奇函數(shù).(板書)
(由于在定義形成時(shí)已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí),故可以先作判斷,在判斷中再加深認(rèn)識(shí))
例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性(板書)
(1) ; (2) ;
(3) ; ;
(5) ; (6) .
(要求學(xué)生口答,選出1-2個(gè)題說過程)
解: (1) 是奇函數(shù).(2) 是偶函數(shù).
(3) , 是偶函數(shù).
前三個(gè)題做完,教師做一次小結(jié),判斷奇偶性,只需驗(yàn)證 與 之間的關(guān)系,但對(duì)你們的回答我不滿意,因?yàn)轭}目要求是判斷奇偶性而你們只回答了一半,另一半沒有作答,以第(1)為例,說明怎樣解決它不是偶函數(shù)的問題呢?
學(xué)生經(jīng)過思考可以解決問題，指出只要舉出一個(gè)反例說明 與 不等.如 即可說明它不是偶函數(shù).(從這個(gè)問題的解決中讓學(xué)生再次認(rèn)識(shí)到定義中任意性的重要)
從(4)題開始,學(xué)生的答案會(huì)有不同,可以讓學(xué)生先討論,教師再做評(píng)述.即第(4)題中表面成立的 = 不能經(jīng)受任意性的考驗(yàn),當(dāng) 時(shí),由于 ,故 不存在,更談不上與 相等了,由于任意性被破壞,所以它不能是奇偶性.
教師由此引導(dǎo)學(xué)生,通過剛才這個(gè)題目,你發(fā)現(xiàn)在判斷中需要注意些什么?(若學(xué)生發(fā)現(xiàn)不了定義域的特征,教師可再從定義啟發(fā),在定義域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,從而發(fā)現(xiàn)定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再提出定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的什么條件?
可以用(6)輔助說明充分性不成立,用(5)說明必要性成立,得出結(jié)論.
(3) 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件.(板書)
由學(xué)生小結(jié)判斷奇偶性的步驟之后,教師再提出新的問題:在剛才的幾個(gè)函數(shù)中有是奇函數(shù)不是偶函數(shù),有是偶函數(shù)不是奇函數(shù),也有既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),那么有沒有這樣的函數(shù),它既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)呢?若有,舉例說明.
經(jīng)學(xué)生思考,可找到函數(shù) .然后繼續(xù)提問:是不是具備這樣性質(zhì)的函數(shù)的解析式都只能寫成這樣呢?能證明嗎?
例2. 已知函數(shù) 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),求證: .(板書) (試由學(xué)生來完成)
證明: 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),
= ,且 ,
= .
,即 .
證后,教師請(qǐng)學(xué)生記住結(jié)論的同時(shí),追問這樣的函數(shù)應(yīng)有多少個(gè)呢?學(xué)生開始可能認(rèn)為只有一個(gè),經(jīng)教師提示可發(fā)現(xiàn), 只是解析式的特征,若改變函數(shù)的定義域,如 , , , ,它們顯然是不同的函數(shù),但它們都是既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).由上可知函數(shù)按其是否具有奇偶性可分為四類
(4) 函數(shù)按其是否具有奇偶性可分為四類: (板書)
例3. 判斷下列函數(shù)的奇偶性(板書)
(1) ; (2) ; (3) .
由學(xué)生回答,不完整之處教師補(bǔ)充.
解: (1)當(dāng) 時(shí), 為奇函數(shù),當(dāng) 時(shí), 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
(2)當(dāng) 時(shí), 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),當(dāng) 時(shí), 是偶函數(shù).
(3) 當(dāng) 時(shí), 于是 ,
當(dāng) 時(shí), ,于是 = ,
綜上 是奇函數(shù).
教師小結(jié) (1)(2)注意分類討論的使用,(3)是分段函數(shù),當(dāng) 檢驗(yàn) ,并不能說明 具備奇偶性,因?yàn)槠媾夹允菍?duì)函數(shù)整個(gè)定義域內(nèi)性質(zhì)的刻畫,因此必須 均有 成立,二者缺一不可.
三. 小結(jié)
1. 奇偶性的概念
2. 判斷中注意的問題
四. 作業(yè) 略
五. 板書設(shè)計(jì)
2.函數(shù)的奇偶性 例1. 例3.
(1) 偶函數(shù)定義
(2) 奇函數(shù)定義
(3) 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù) 例2. 小結(jié)
具備奇偶性的必要條件
(4)函數(shù)按奇偶性分類分四類
(1) 定義域?yàn)?sub> 的任意函數(shù) 都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和,你能試證明之嗎?
(2) 判斷函數(shù) 在 上的單調(diào)性,并加以證明.
在此基礎(chǔ)上試?yán)眠@個(gè)函數(shù)的單調(diào)性解決下面的問題:
設(shè) 為三角形的三條邊,求證: .
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