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數(shù)學教案－函數(shù)的應用舉例
教學目標
1. 能夠運用函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題．
(1) 能通過閱讀理解讀懂題目中文字敘述所反映的實際背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學本，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學含義．
(2) 能根據(jù)實際問題的具體背景，進行數(shù)學化設計，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并調(diào)動函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決問題．
(3) 能處理有關(guān)幾何問題，增長率的問題，和物理方面的實際問題．
2. 通過聯(lián)系實際的引入問題和解決帶有實際意義的某些問題，培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的能力和運用數(shù)學的意識，也體現(xiàn)了函數(shù)知識的應用價值，也滲透了訓練的價值．
3. 通過對實際問題的研究解決，滲透了數(shù)學建模的思想．提高了學生學習數(shù)學的興趣，使學生對函數(shù)思想等有了進一步的了解．
教學建議
教材分析
�。�1）本小節(jié)內(nèi)容是全章知識的綜合應用．這一節(jié)的出現(xiàn)體現(xiàn)了強化應用意識的要求，讓學生能把數(shù)學知識應用到生產(chǎn)，生活的實際中去，形成應用數(shù)學的意識．所以培養(yǎng)學生分析解決問題的能力和運用數(shù)學的意識是本小節(jié)的重點，根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型是本小節(jié)的難點．
（2）在解決實際問題過程中常用到函數(shù)的知識有：函數(shù)的概念，函數(shù)解析式的確定，指數(shù)函數(shù)的概念及其性質(zhì)，對數(shù)概念及其性質(zhì)，和二次函數(shù)的概念和性質(zhì)．在方法上涉及到換元法，配方法，方程的思想，數(shù)形結(jié)合等重要的思方法．．事業(yè)本節(jié)的學習，既是對知識的復習，也是對方法和思想的再認識．
教法建議
（1）本節(jié)中處理的均為應用問題，在題目的敘述表達上均較長，其中要分析把握的信息量較多．事業(yè)處理這種大信息量的閱讀題首先要在閱讀上下功夫，找出關(guān)鍵語言，關(guān)鍵數(shù)據(jù)，特別是對實際問題中數(shù)學變量的隱含限制條件的提取尤為重要．
�。�2）對于應用問題的處理，第二步應根據(jù)各個量的關(guān)系，進行數(shù)學化設計建立目標函數(shù)，將實際問題通過分析概括，抽象為數(shù)學問題，最后是用數(shù)學方法將其化為常規(guī)的函數(shù)問題(或其它數(shù)學問題)解決．此類題目一般都是分為這樣三步進行．
�。�3）在現(xiàn)階段能處理的應用問題一般多為幾何問題，利潤最大，費用最省問題，增長率的問題及物理方面的問題．在選題時應以以上幾方面問題為主．
教學設計示例
函數(shù)初步應用
教學目標
1.能夠運用常見函數(shù)的性質(zhì)及平面幾何有關(guān)知識解決某些簡單的實際問題．
2.通過對實際問題的 研究，培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的能力
3.通過把實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化，滲透數(shù)學建模的思想，提高學生用數(shù)學的意識，及學習數(shù)學的興趣．
教學重點，難點
重點是應用問題的閱讀分析和解決．
難點是根據(jù)實際問題建立相應的數(shù)學模型
教學方法
師生互動式
教學用具
投影儀
教學過程（www.htc668.com）
一. 提出問題
數(shù)學來自生活，又應用于生活和生產(chǎn)實踐．而實際問題中又蘊涵著豐富的數(shù)學知識，數(shù)學思想與方法．如剛剛學過的函數(shù)內(nèi)容在實際生活中就有著廣泛的應用．今天我們就一起來探討幾個應用問題．
問題一：如圖，△ 是邊長為2的正三角形，這個三角形在直線 的左方被截得圖形的面積為 ，求函數(shù) 的解析式及定義域． (板書)
(作為應用問題由于學生是初次研究，所以可先選擇以數(shù)學知識為背景的應用題，讓學生研究)
首先由學生自己閱讀題目，教師可利用計算機讓直線運動起來，觀察三角形的變化，由學生提出研究方法．由學生說出由于圖形的不同計算方法也不同，應分類討論．分界點應在 ，再由另一個學生說出面積的 計算方法．
當 時， ，(采用直接計算的方法)
當 時，
．(板書)
(計算第二段時，可以再畫一個相應的圖形，如圖)
綜上，有 ，
此時可以問學生這是什么函數(shù)?定義域應怎樣計算?讓學生明確是分段函數(shù)的前提條件下，求出定義域為 ．(板書)
問題解決后可由教師簡單小結(jié)一下研究過程中的主要步驟(1)閱讀理解；(2)建立目標函數(shù)；(3)按要求解決數(shù)學問題．
下面我們一起看第二個問題
問題二：某工廠制定了從1999年底開始到2005年底期間的生產(chǎn)總值持續(xù)增長的兩個三年計劃，預計生產(chǎn)總值年平均增長率為 ，則第二個三年計劃生產(chǎn)總值 與第一個三年計劃生產(chǎn)總值 相比，增長率 為多少?(投影儀打出)
首先讓學生搞清增長率的含義是兩個三年總產(chǎn)值之間的關(guān)系問題，所以問題轉(zhuǎn)化為已知年增長率為 ，分別求兩個三年計劃的總產(chǎn)值．
設1999年總產(chǎn)值為 ，第一步讓學生依次說出2000年到2005年的年總產(chǎn)值，它們分別為：
2000年 2003年
2001年 2004年
2002年 2005年 (板書)
第二步再讓學生分別算出第一個三年總產(chǎn)值 和第二個三年總產(chǎn)值
= + +
= ．
= + +
= ．(板書)
第三步計算增長率 ．
．(板書)
計算后教師可以讓學生總結(jié)一下關(guān)于增長率問題的研究應注意的問題．最后教師再指出關(guān)于增長率的問題經(jīng)常構(gòu)建的數(shù)學模型為 ，其中 為基數(shù)， 為增長率， 為時間．所以經(jīng)常會用到指數(shù)函數(shù)有關(guān)知識加以解決．
總結(jié)后再提出最后一個問題
問題三：一商場批發(fā)某種商品的進價為每個80元，零售價為每個100元，為了促進銷售，擬采用買一個這種商品贈送一個小禮品的辦法，試驗表明，禮品價格為1元時，銷售量可增加10%，且在一定范圍內(nèi)禮品價格每增加1元銷售量就可增加10%．設未贈送禮品時的銷售量為 件．
(1)寫出禮品價值為 元時，所獲利潤 (元)關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式;
(2)請你設計禮品價值，以使商場獲得最大利潤． (為節(jié)省時間，應用題都可以用投影儀打出)
題目出來后要求學生認真讀題，找出關(guān)鍵量．再引導學生找出與利潤相關(guān)的量．包括銷售量，每件的利潤及禮品價值等．讓學生思考后，列出銷售量的式子．再找學生說出每件商品的利潤的表達式，完成第一問的列式計算．
解： ．(板書)
完成第一問后讓學生觀察解析式的特點，提出如何求這個函數(shù)的最大值(此出最值問題是學生比較陌生的，方法也是學生不熟悉的)所以學生遇到思維障礙，教師可適當提示，如可以先具體計算幾個值看一看能否發(fā)現(xiàn)規(guī)律，若看不出規(guī)律，能否把具體計算改進一下，再計算中能體現(xiàn)它是最大?也就是讓學生意識到應用最大值的概念來解決問題．最終將問題概括為兩個不等式的求解即
(2)若使利潤最大應滿足
同時成立即 解得
當 或 時， 有最大值．
由于這是實際應用問題，在答案的選擇上應考慮價值為9元的禮品贈送，可獲的最大利潤．
三．小結(jié)
通過以上三個應用問題的研究，要學生了解解決應用問題的具體步驟及相應的注意事項．
四．作業(yè) 略
五．板書設計
2．9 函數(shù)初步應用
問題一：
解：
問題二
分析
問題三
分析
小結(jié)：
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