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下學(xué)期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切2
4.7二倍角的正弦、余弦、正切（第二課時）
（一）教學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀
（二）教學(xué)目標(biāo)
1．應(yīng)用倍角公式解決本章開頭的一個應(yīng)用問題．
2．活用倍角公式，推求半角公式．
（三）教學(xué)過程
1．設(shè)置情境
請同學(xué)看教材第3頁上的一段文字，它敘述的是一個生活中的實(shí)際問題：
“如圖1，是一塊以點(diǎn) 為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上畫出一個內(nèi)接矩形 辟為綠地，使其一邊 落在半圓的直徑上，另兩點(diǎn) 、 落在半圓的圓周上．已知半圓的半徑為 ，如何選擇關(guān)于點(diǎn) 對稱的點(diǎn) 、 的位置，可以使矩形 的面積最大？”根據(jù)教材提示應(yīng)用所學(xué)的倍角公式，同學(xué)們能嘗試解答它嗎？
2．探索研究
分析：要使矩形 的面積最大，就必須想辦法把面積表示出來，不妨利用我們所學(xué)的三角知識，從角的方面進(jìn)行考慮，設(shè) ，則 ， ，所以 可以用 表示．
解：設(shè) 則
∵ ∴
當(dāng) 時， 即 ，
這時 ，
答：點(diǎn) 、 分別位于點(diǎn) 的左、右方 處時 取得最大值 ．
變式：把一段半徑為 的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大？
生：根據(jù)上題的結(jié)果可知這時圓內(nèi)接矩形為內(nèi)接正方形時面積最大．
以上是倍角公式在實(shí)際生活中的運(yùn)用，請同學(xué)們觀察以下例題，并分析、思考后能否得出證明．
3．例題分析
【例1】求證：
�。�1） ；（2） ；
�。�3） ．
思考，討論．
我們知道公式 中 是任意的，所以我們可以用 來替換 ，這樣就得到
即
上面三式左邊都是平方形式，當(dāng) 的值已知， 角的終邊所在象限已知時，就可以將右邊開方，從而求得：
以上兩式相除又得：
這三個式子稱之為半角公式，“±”號的取舍得由 終邊所在象限確定．
【例2】求證：
．
分析：從例1引出例2， ，右邊是同一個三角函數(shù)，并且還要附上正負(fù)號，而所要證明的式子右邊有兩個三角函數(shù)，不帶正負(fù)號．故我們不能利用上法，得另想辦法．
師：（邊敘述邊板書）
∴
上式不含根號也不必考慮“±”號選取，通常用于化簡或證明三角恒等式，同樣可作半角公式運(yùn)用．
【例3】已知： ，求 ， ， ．
解：
說明：①例1中（1）、（2）兩式使用頻率極高，正、逆使用都非常普遍．習(xí)慣從左到右，常稱“擴(kuò)角降冪公式”，從右到左常謂“縮角升冪公式”，
�、诎虢枪绞嵌督枪降牧硪环N表達(dá)方式，倍半關(guān)系是相對的．
練習(xí)（投影）
1．已知： （ ），
求：（1） ；（2） ．
2．若 ，求： 的值．
3．求： 的值．
參考答案：
解：1．∵
兩邊平方得 ∴
又∵ ∴
∴ ∴
2．∵ ∴
原式
�。�3）
另解：設(shè) ……………………①
……………………②
①＋②得 …………………………③
�、伲诘� ……④
�、郏艿� ∴
4．總結(jié)提煉
�。�1）本節(jié)課我們由倍角公式出發(fā)解決了實(shí)際應(yīng)用問題，得出結(jié)論“在一個圓的所有內(nèi)接矩形中，以內(nèi)接正方形的面積為最大”，另外由倍角公式解答了例1、例2，從而推導(dǎo)出半角公式，公式“±”號的選取決定于 終邊所在的象限，例2的應(yīng)用也很廣泛，大家可根據(jù)題目的條件選擇使用較為方便的形式．
（2）從半角公式可以看出，半角的正弦、余弦、正切公式都可以用單角的余弦來表示．
�。�3）若給出的 是象限角，則可根據(jù)下表決定符號．
的終邊
一
二
三
四
的終邊
一或三
一或三
二或四
二或四
若給出的 是區(qū)間角，則先求 所在區(qū)間再確定符號．
若沒有給出確定符號的條件，則應(yīng)在根號前保留“±”號．
（五）板書設(shè)計(jì)
二倍角的正弦、余弦、正切
1．復(fù)述二倍角公式
2．由 ， 推出半角公式
1．課本例
2．例1
3．例2
4．例3
練習(xí)（投影）
總結(jié)提煉
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