下學(xué)期 4.8正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)1

4.8  正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)（第一課時）

（一）教學(xué)具準(zhǔn)備

　　直尺、圓規(guī)、投影儀．

（二）教學(xué)目標(biāo)

　　1．了解作正、余弦函數(shù)圖像的四種常見方法．

　　2．掌握五點作圖法，并會用此方法作出 上的正弦曲線、余弦曲線．

　　3．會作正弦曲線的圖像并由此獲得余弦曲線圖像．

（三）教學(xué)過程（可用課件輔助教學(xué)）

　　1．設(shè)置情境

　　引進弧度制以后， 就可以看做是定義域為 的實變量函數(shù)．作為函數(shù)，我們首先要關(guān)注其圖像特征．本節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)作正、余弦函數(shù)圖像的方法．

　　2．探索研究

　�。�1）復(fù)習(xí)正弦線、余弦線的概念

　　前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過三角函數(shù)線的概念及作法，請同學(xué)們回憶一下什么叫正弦線？什么叫余弦線？（師畫圖1）

　　設(shè)任意角 的終邊與單位圓相交于點 ，過點作 軸的垂線，垂足為 ，則有向線段 叫做角 的正弦線，有向線段 叫做角 的余弦線．

　�。�2）在直角坐標(biāo)系中如何作點

　　由單位圓中的正弦線知識，我們只要已知一個角 的大小，就能用幾何方法作出對應(yīng)的正弦值 的大小來，請同學(xué)們思考一下，如何用幾何方法在直角坐標(biāo)系中作出點 ？

　　教師引導(dǎo)學(xué)生用圖2的方法畫出點 ．

　　我們能否借助上面作點 的方法在直角坐標(biāo)系中作出正弦函數(shù) ， 的圖像呢？

　　 ①用幾何方法作 ， 的圖像

　　我們知道，作函數(shù)的圖像的步驟是：列表、描點、連結(jié)；如果我們用列表法得出各點的坐標(biāo)，就會因各點的縱坐標(biāo)都是查三角函數(shù)表得到的數(shù)值不夠精確，使得描點后畫出的圖像誤差也大，為克服這一不足，我們用前面作點 的幾何方法來描點，從而使圖像的精確度有了提高．

　　（邊畫圖邊講解），我們先作 在 上的圖像，具體分為如下五個步驟：

　　a．作直角坐標(biāo)系，并在直角坐標(biāo)系中 軸左側(cè)畫單位圓．

　　b．把單位圓分成12等份（等份越多，畫出的圖像越精確）．過單位圓上的各分點作 軸的垂線，可以得到對應(yīng)于0， ， ， ，…， 角的正弦線．

　　c．找橫坐標(biāo)：把 軸上從0到 （ ）這一段分成12等分．

　　d．找縱坐標(biāo)：將正弦線對應(yīng)平移，即可指出相應(yīng)12個點．

　　e．連線：用平滑的曲線將12個點依次從左到右連接起來，即得 ， 的圖像．

　�、谧髡�弦曲線 ， 的圖像．

　　圖為終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，所以函數(shù) ， ， 且 的圖像與函數(shù) ， 的圖像的形狀完全一樣，只是位置不同，于是我們只要將函數(shù) ， 的圖像向左、右平移（每次 個單位長度），就可以得到正弦函數(shù)數(shù) ， 的圖像，如圖1．

　　正弦函數(shù) ， 的圖像叫做正弦曲線．

　　③五點法作 ， 的簡圖

　　師：在作正弦函數(shù) ， 的圖像時，我們描述了12個點，但其中起關(guān)鍵作用的是函數(shù) ， 與 軸的交點及最高點和最低點這五個點，你能依次它們的坐標(biāo)嗎？

　　生：（0，0）， ， ， ，

　　師：事實上，只要指出這五個點， ， 的圖像的形狀就基本確定了，以后我們常先找出這五個關(guān)鍵點，然后用光滑的曲線將它們連結(jié)起來，就得到函數(shù)的簡圖，這種作圖的方法稱為“五點法”作圖．

　　④用變換法作余弦函數(shù) ， 的圖像

　　因為 ，所以 ， 與 是同一個函數(shù)，即余弦函數(shù)的圖像可以通過正弦曲線向左平移 個長度單位角得到，余弦函數(shù)的圖像叫做余弦曲線，如圖2，師：請同學(xué)們說出在函數(shù) ， 的圖像上，起關(guān)鍵作用的五個點的坐標(biāo)．

　　生：（0，1）， ， ， ，

　　3．例題分析

　　【例1】畫出下列函數(shù)的簡圖：

　�。�1） ， ；

　�。�2） ， ．

　　解：（1）按五個關(guān)鍵點列表

0

0

1

0

－1

0

1

2

1

0

1

利用五點法作出簡圖3

　　師：請說出函數(shù) 與 的圖像之間有何聯(lián)系？

　　生：函數(shù) ， 的圖像可由 ， 的圖像向上平移1個單位得到．

　�。�2）按五個關(guān)鍵點列表

0

 

 

 

1

0

－1

0

1

 

－1

0

1

0

－1

　　利用五點法作出簡圖4

　　師： ， 與 ， 的圖像有何聯(lián)系？

　　生：它們的圖像關(guān)于 軸對稱．

練習(xí)：

　�。�1）說出 ， 的單調(diào)區(qū)間；

　�。�2）說出 ， 的奇偶性．

參考答案：（1）由 ， 圖像知、 ， 為其單調(diào)遞增區(qū)間， 為其單調(diào)遞減區(qū)間

　　（2）由 ， 圖像知 是偶函數(shù)．

4．總結(jié)提煉

　�。�1）本課介紹了四種作 ， 圖像的方法，其中五點作圖法最常用，要牢記五個關(guān)鍵點的選取特點．

　�。�2）用平移誘變法，由 這不是新問題，在函數(shù)一章學(xué)習(xí)平移作圖時，就使用過，請同學(xué)們作比較．應(yīng)該說明的是由 平移量是不惟一的，方向也可左可右．

5．演練反饋，（投影）

　　（1）在同一直角坐標(biāo)系下，用五點法分別作出下列函數(shù)的圖像

　�、� ， 　�、� ，

　　（2）觀察正弦曲線和余弦曲線，寫出滿足下列條件的 的區(qū)間．

　　① ，　　② ，　　③ ，　　④

　�。�3）畫出下列函數(shù)的簡圖

　�、� ，   ② ，   ③ ，

參考答案：

（1）

（2）① ， ，   ② 、 ，

　　③    ④

（3）

　　

（五）板書設(shè)計

課題

1．正、余弦函數(shù)線

2．作點

3．作 ， 的圖像

4．五點法作正弦函數(shù)圖像

 

5．變換法作 的圖像

6．五點法作余弦函數(shù)圖像

7．例題

（1）

（2）

演練反饋

總結(jié)提煉

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