說課—《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》

說課—《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》 深圳中學(xué) 白教授

教學(xué)目標(biāo)

　　A、知識(shí)目標(biāo)：

　　掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握公式的運(yùn)用。

　　B、能力目標(biāo)：

　　（1）通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。

　　（2）利用以退求進(jìn)的思維策略，遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在實(shí)踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。

　　（3）通過對公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

　　C、情感目標(biāo)：（數(shù)學(xué)文化價(jià)值）

　�。�1）公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。

　　（2）通過公式的運(yùn)用，樹立學(xué)生"大眾教學(xué)"的思想意識(shí)。

　�。�3）通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，令人著迷的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。

教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的靈活運(yùn)用。

教學(xué)方法：啟發(fā)、討論、引導(dǎo)式。

教具：現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。

教學(xué)過程

　　一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。

　　師：上幾節(jié)，我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及其有關(guān)性質(zhì)，今天要進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。提起數(shù)列求和，我們自然會(huì)想到德國偉大的數(shù)學(xué)家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小學(xué)四年級(jí)時(shí)，一次教師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題："把從1到100的自然數(shù)加起來，和是多少？"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050，這使教師非常吃驚，那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計(jì)算出來的呢？如果大家也懂得那樣巧妙計(jì)算，那你們就是二十世紀(jì)末的新高斯。（教師觀察學(xué)生的表情反映，然后將此問題縮小十倍）。我們來看這樣一道一例題。

　　例1，計(jì)算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

　　這道題除了累加計(jì)算以外，還有沒有其他有趣的解法呢？小組討論后，讓學(xué)生自行發(fā)言解答。

　　生1:因?yàn)?+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個(gè)11，得到55。

　　生2：可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根據(jù)加法交換律，又可寫成　　S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

　　上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
　　　　　　　　　　　　　　　10個(gè)

　　所以我們得到S=55，

　　即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

　　師：高斯神速計(jì)算出1到100所有自然數(shù)的各的方法，和上述兩位同學(xué)的方法相類似。

　　理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50個(gè)101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請同學(xué)們想一下，上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個(gè)性質(zhì)呢？

　　生3：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+an=a_p+a_q.

　　二、教授新課（嘗試推導(dǎo)）

　　師：如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a₁，項(xiàng)數(shù)為n，第n項(xiàng)a_n，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，如何來導(dǎo)出它的前n項(xiàng)和Sn計(jì)算公式呢？根據(jù)上面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo)，并請一位學(xué)生板演。

　　生4：Sn=a₁+a₂+......a_n-1+a_n也可寫成

　　Sn=a_n+a_n-1+......a₂+a₁

　　兩式相加得2Sn=（a₁+a_n)+(a₂+a_n-1)+......(a_n+a₁)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　n個(gè)

　　　　　　　　=n(a₁+a_n)

　　　　　　所以Sn=(I)

　　師：好！如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n，則a_n=a₁+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na₁+ d(II)

　　上面（I）、（II）兩個(gè)式子稱為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。公式（I）是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式（上底+下底）×高÷2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項(xiàng)a₁，下底是第n項(xiàng)a_n，高是項(xiàng)數(shù)n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個(gè)量？（a₁，d，n，a_{n，Sn），它們由哪幾個(gè)關(guān)系聯(lián)系？[an=a1+(n-1)d，Sn==na1+ d]；這些量中有幾個(gè)可自由變化？（三個(gè)）從而了解到：只要知道其中任意三個(gè)就可以求另外兩個(gè)了。下面我們舉例說明公式（I）和（II）的一些應(yīng)用。}

　　三、公式的應(yīng)用（通過實(shí)例演練，形成技能）。

　　1、直接代公式（讓學(xué)生迅速熟悉公式，即用基本量觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)公式）例2、計(jì)算：

　　（1）1+2+3+......+n

　　（2）1+3+5+......+(2n-1)

　�。�3）2+4+6+......+2n

　�。�4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

　　請同學(xué)們先完成（1）-（3），并請一位同學(xué)回答。

　　生5：直接利用等差數(shù)列求和公式（I），得

　�。�1）1+2+3+......+n=

　�。�2）1+3+5+......+(2n-1)=

　�。�3）2+4+6+......+2n==n(n+1)

　　師：第（4）小題數(shù)列共有幾項(xiàng)？是否為等差數(shù)列？能否直接運(yùn)用Sn公式求解？若不能，那應(yīng)如何解答？小組討論后，讓學(xué)生發(fā)言解答。

　　生6：（4）中的數(shù)列共有2n項(xiàng)，不是等差數(shù)列，但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分開，可看成兩個(gè)等差數(shù)列，所以

　　原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

　　　　=n^2-n(n+1)=-n

　　生7：上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個(gè)規(guī)律，兩項(xiàng)結(jié)合都為-1，故可得另一解法：
　　原式=-1-1-......-1=-n
　　　　　　　n個(gè)

　　師：很好！在解題時(shí)我們應(yīng)仔細(xì)觀察，尋找規(guī)律，往往會(huì)尋找到好的方法。注意在運(yùn)用Sn公式時(shí)，要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，否則會(huì)引起錯(cuò)解。

　　例3、（1）數(shù)列{a_n}是公差d=-2的等差數(shù)列，如果a₁+a₂+a₃=12，a₈+a₉+a₁₀=75，求a1，d，S10。

　　生8：（1）由a₁+a₂+a₃=12得3a₁+3d=12，即a₁+d=4

　　　　　又∵d=-2，∴a₁=6

　　　　　∴S12=12 a₁+66×（-2）=-60

　　生9：（2）由a₁+a₂+a₃=12，a₁+d=4
　　　　　　a₈+a₉+a₁₀=75，a₁+8d=25

　　解得a₁=1，d=3 ∴S10=10a₁+=145

　　師：通過上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。在Sn公式有5個(gè)變量。已知三個(gè)變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個(gè)變量（知三求二），請同學(xué)們根據(jù)例3自己編題，作為本節(jié)的課外練習(xí)題，以便下節(jié)課交流。

　　師：（繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，將第（2）小題改編）

　�、贁�(shù)列{a_n}等差數(shù)列，若a₁+a₂+a₃=12，a₈+a₉+a₁₀=75，且Sn=145，求a₁，d，n

　�、谌舸祟}不求a₁，d而只求S10時(shí)，是否一定非來求得a₁，d不可呢？引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)，用整體思想考慮求a₁+a₁₀的值。

　　2、用整體觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)Sn公式。

　　例4，在等差數(shù)列{a_n}， （1）已知a₂+a₅+a₁₂+a₁₅=36，求S16；（2）已知a₆=20，求S11。（教師啟發(fā)學(xué)生解）

　　師：來看第（1）小題，寫出的計(jì)算公式S16==8(a₁+a₆)與已知相比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？

　　生10：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a₁+a₁₆=a₂+a₁₅=a₅+a₁₂=18，所以S16=8×18=144。

　　師：對！（簡單小結(jié)）這個(gè)題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a₁，a₁₆和d的，但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a₁與a_n的和，于是這個(gè)問題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學(xué)問題的體現(xiàn)。

　　師：由于時(shí)間關(guān)系，我們對等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的運(yùn)用一一剖析，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是n的二次函數(shù)，那么從二次（或一次）的函數(shù)的觀點(diǎn)如何來認(rèn)識(shí)Sn公式后，這留給同學(xué)們課外繼續(xù)思考。

　　最后請大家課外思考Sn公式（1）的逆命題：

　　已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，若對于所有自然數(shù)n，都有Sn=。數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列，并說明理由。

　　四、小結(jié)與作業(yè)。

　　師：接下來請同學(xué)們一起來小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。

　　生11：1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

　　2、用所推導(dǎo)的兩個(gè)公式解決有關(guān)例題，熟悉對Sn公式的運(yùn)用。

　　生12：1、運(yùn)用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的值。

　　2、具體用Sn公式時(shí)，要根據(jù)已知靈活選擇公式（I）或（II），掌握知三求二的解題通法。

　　3、當(dāng)已知條件不足以求此項(xiàng)a1和公差d時(shí)，要認(rèn)真觀察，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，看能否用整體思想的方法求a1+an的值。

　　師：通過以上幾例，說明在解題中靈活應(yīng)用所學(xué)性質(zhì)，要糾正那種不明理由盲目套用公式的學(xué)習(xí)方法。同時(shí)希望大家在學(xué)習(xí)中做一個(gè)有心人，去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì)，主動(dòng)積極地去學(xué)習(xí)。

　　本節(jié)所滲透的數(shù)學(xué)方法；觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等。

　　數(shù)學(xué)思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。

　　作業(yè)：P49：13、14、15、17

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