圓的方程

教學(xué)目標(biāo)

　�。�1）掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑熟練地寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程熟練地寫(xiě)出圓的圓心坐標(biāo)和半徑．
　�。�2）掌握?qǐng)A的一般方程，了解圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程之間的互化．
　�。�3）了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程，能夠進(jìn)行圓的普通方程與參數(shù)方程之間的互化，能應(yīng)用圓的參數(shù)方程解決有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．
　�。�4）掌握直線和圓的位置關(guān)系，會(huì)求圓的切線．
　　（5）進(jìn)一步理解曲線方程的概念、熟悉求曲線方程的方法．

 

教學(xué)建議

教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)

（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
　�、俦竟�(jié)內(nèi)容教學(xué)的重點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程的推導(dǎo)，根據(jù)條件求圓的方程，用圓的方程解決相關(guān)問(wèn)題．
　　②本節(jié)的難點(diǎn)是圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，以及圓方程的求解和應(yīng)用．

教法建議
　�。�1）圓是最簡(jiǎn)單的曲線．這節(jié)教材安排在學(xué)習(xí)了曲線方程概念和求曲線方程之后，學(xué)習(xí)三大圓錐曲線之前，旨在熟悉曲線和方程的理論，為后繼學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備．同時(shí)，有關(guān)圓的問(wèn)題，特別是直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，也是解析幾何中的基本問(wèn)題，這些問(wèn)題的解決為圓錐曲線問(wèn)題的解決提供了基本的思想方法．因此教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)，使學(xué)生確實(shí)掌握這一單元的知識(shí)和方法．
　�。�2）在解決有關(guān)圓的問(wèn)題的過(guò)程中多次用到配方法、待定系數(shù)法等思想方法，教學(xué)中應(yīng)多總結(jié)．
　　（3）解決有關(guān)圓的問(wèn)題，要經(jīng)常用到一元二次方程的理論、平面幾何知識(shí)和前邊學(xué)過(guò)的解析幾何的基本知識(shí)，教師在教學(xué)中要注意多復(fù)習(xí)、多運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程的意識(shí)．
　�。�4）有關(guān)圓的內(nèi)容非常豐富，有很多有價(jià)值的問(wèn)題．建議適當(dāng)選擇一些內(nèi)容供學(xué)生研究．例如由過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程引申到切點(diǎn)弦方程就是一個(gè)很有價(jià)值的問(wèn)題．類似的還有圓系方程等問(wèn)題．

 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

圓的一般方程

教學(xué)目標(biāo)：

　�。�1）掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn)．

　�。�2）能將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心和半徑．

　　（3）能用待定系數(shù)法，由已知條件求出圓的一般方程．

　�。�4）通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí)，進(jìn)一步掌握配方法和待定系數(shù)法．

教學(xué)重點(diǎn)：（1）用配方法，把圓的一般方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑．

　　　　�。�2）用待定系數(shù)法求圓的方程．

教學(xué)難點(diǎn)：圓的一般方程特點(diǎn)的研究．

教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)．

教學(xué)方法：?jiǎn)�發(fā)引導(dǎo)法，討論法．

教學(xué)過(guò)程（www.htc668.com）：

【引入】

前邊已經(jīng)學(xué)過(guò)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

把它展開(kāi)得

任何圓的方程都可以通過(guò)展開(kāi)化成形如

　　　　　　　　�、�

的方程

【問(wèn)題1】

形如①的方程的曲線是否都是圓？

師生共同討論分析：

　　如果①表示圓，那么它一定是某個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)整理得到的．我們把它再寫(xiě)成原來(lái)的形式不就可以看出來(lái)了嗎？運(yùn)用配方法，得

　　　　　　�、�

顯然②是不是圓方程與 是什么樣的數(shù)密切相關(guān)，具體如下：

　　（1）當(dāng) 時(shí)，②表示以 為圓心、以 為半徑的圓；

　�。�2）當(dāng) 時(shí)，②表示一個(gè)點(diǎn) ；

　�。�3）當(dāng) 時(shí)，②不表示任何曲線．

　　總結(jié)：任意形如①的方程可能表示一個(gè)圓，也可能表示一個(gè)點(diǎn)，還有可能什么也不表示．

圓的一般方程的定義：

　　當(dāng) 時(shí)，①表示以 為圓心、以 為半徑的圓，

　　此時(shí)①稱作圓的一般方程．

　　即稱形如 的方程為圓的一般方程．

【問(wèn)題2】圓的一般方程的特點(diǎn)，與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同．

　�。�1） 和 的系數(shù)相同，都不為0．

　　（2）沒(méi)有形如 的二次項(xiàng)．

圓的一般方程與一般的二元二次方程

　　　　　　　�、�

相比較，上述（1）、（2）兩個(gè)條件僅是③表示圓的必要條件，而不是充分條件或充要條件．

圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程各有千秋：

　　（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和半徑一目了然．

　�。�2）圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)的形式與結(jié)構(gòu)，更適合方程理論的運(yùn)用．

【實(shí)例分析】

例1：下列方程各表示什么圖形．

　�。�1） ；

　�。�2） ；

　�。�3） ．

學(xué)生演算并回答

　�。�1）表示點(diǎn)（0，0）；

　�。�2）配方得 ，表示以 為圓心，3為半徑的圓；

　�。�3）配方得 ，當(dāng) 、 同時(shí)為0時(shí)，表示原點(diǎn)（0，0）；當(dāng) 、 不同時(shí)為0時(shí)，表示以 為圓心， 為半徑的圓．

　　例2：求過(guò)三點(diǎn) ， ， 的圓的方程，并求出圓心坐標(biāo)和半徑．

　　分析：由于學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程，那么本題既可以用標(biāo)準(zhǔn)方程求解，也可以用一般方程求解．

　　解：設(shè)圓的方程為

因?yàn)?sub> 、 、 三點(diǎn)在圓上，則有

解得： ， ，

所求圓的方程為

可化為

圓心為 ，半徑為5．

請(qǐng)同學(xué)們?cè)儆脴?biāo)準(zhǔn)方程求解，比較兩種解法的區(qū)別．

【概括總結(jié)】通過(guò)學(xué)生討論，師生共同總結(jié)：

　　（1）求圓的方程多用待定系數(shù)法．其步驟為：由題意設(shè)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程）；根據(jù)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組；解方程組求出系數(shù)，寫(xiě)出方程．

　�。�2）如何選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程．一般地，易求圓心和半徑時(shí)，選用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果給出圓上已知點(diǎn)，可選用一般方程．

下面再看一個(gè)問(wèn)題：

　　例3： 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 作圓 的割線，交圓 于 、 兩點(diǎn)，求線段 的中點(diǎn) 的軌跡．

　　解：圓 的方程可化為 ，其圓心為 ，半徑為2．設(shè) 是軌跡上任意一點(diǎn)．

　　∵ 

　　∴ 

即

化簡(jiǎn)得

點(diǎn) 在曲線上，并且曲線為圓 內(nèi)部的一段圓弧．

【練習(xí)鞏固】

　�。�1）方程 表示的曲線是以 為圓心，4為半徑的圓．求 、 、 的值．（結(jié)果為4，－6，－3）

　�。�2）求經(jīng)過(guò)三點(diǎn) 、 、 的圓的方程．

　　分析：用圓的一般方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程組得圓的方程為 ．

　�。�3）課本第79頁(yè)練習(xí)1，2．

【小結(jié)】師生共同總結(jié)：

（1）圓的一般方程及其特點(diǎn)．

（2）用配方法化圓的一般方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求圓心坐標(biāo)和半徑．

（3）用待定系數(shù)法求圓的方程．

【作業(yè)】課本第82頁(yè)5，6，7，8．

【板書(shū)設(shè)計(jì)】

圓的一般方程

圓的一般方程

例1：

例2：

例3：

練習(xí)：

小結(jié)：

作業(yè)：

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