含有絕對值的不等式

教學目標

　　（1）掌握絕對值不等式的基本性質(zhì)，在學會一般不等式的證明的基礎上，學會含有絕對值符號的不等式的證明方法；

　�。�2）通過含有絕對值符號的不等式的證明，進一步鞏固不等式的證明中的由因?qū)Ч�、�?zhí)要溯因等數(shù)學思想方法；

　�。�3）通過證明方法的探求，培養(yǎng)學生勤于思考，全面思考方法；

　�。�4）通過含有絕對值符號的不等式的證明，可培養(yǎng)學生辯證思維的方法和能力，以及嚴謹?shù)闹螌W精神。

教學建議

一、知識結構

二、重點、難點分析

　　① 本節(jié)重點是性質(zhì)定理及推論的證明．一個定理、公式的運用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推導過程中所蘊含的數(shù)學思想與方法，通過證明過程的探求，使學生理清思考脈絡，培養(yǎng)學生勤于動腦、勇于探索的精神．
　�、� 教學難點一是性質(zhì)定理的推導與運用；一是證明含有絕對值的不等式的方法選擇．在推導定理中進行的恒等變換與不等變換，相對學生的思維水平是有一定難度的；證明含有絕對值的不等式的方法不外是比較法、分析法、綜合法以及簡單的放縮變換，根據(jù)要證明的不等式選擇適當?shù)淖C明方法是無疑學生學習上的難點．

三、教學建議

　�。�1）本節(jié)內(nèi)容分為兩課時，第一課時為含有絕對值的不等式性質(zhì)定理的證明及簡單運用，第二課時為含有絕對值的不等式的證明舉例．
　　（2）課前復習應充分．建議復習：當 時
　      ；
　      ；

       以及絕對值的性質(zhì)：

       ，為證明例1做準備．
　�。�3）可先不給出含有絕對值的不等式性質(zhì)定理，提出問題讓學生研究： 是否等于 ？大小關系如何？ 是否等于 ？等等．提示學生用一些數(shù)代入計算、比較，以便歸納猜想一般結論．
　　（4）不等式 的證明方法較多，也應放手讓學生去探討．
　　（5）用向量加減法的三角形法則記憶不等式及推論 ．
　�。�6）本節(jié)教學既要突出教師的主導作用，又要強調(diào)學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養(yǎng)學生的團結協(xié)作的團隊精神．

 

教學設計示例

含有絕對值的不等式

教學目標

      理解 及其兩個推論，并能應用它證明簡單含有絕對值不等式的證明問題。

教學重點難點

　　重點是理解掌握定理及等號成立的條件，絕對值不等式的證明。

　　難點是定理的推導過程的探索，擺脫絕對值的符號，通過定理或放縮不等式。

教學過程（www.htc668.com）

一、復習引入

　　我們在初中學過絕對值的有關概念，請一位同學說說絕對值的定義。

　　當 時，則有：

　　那么 與 及 的大小關系怎樣？

　　這需要討論  當

                當

                當

                綜上可知：

　　我們已學過積商絕對值的性質(zhì)，哪位同學回答一下？

.

　　當 時，有： 或 .

二、引入新課

　　由上可知，積的絕對值等于絕對值的積；商的絕對值等于絕對值的商。

　　那么和差的絕對值等于絕對值的和差嗎？

1．定理探索

　　和差的絕對值不一定等于絕對值的和差，我們猜想

  　　　　 .

　　怎么證明你的結論呢？

　　用分析法，要證 .

　　只要證

　　即證

　　即證 ，

　　而 顯然成立，

　　故

　　那么怎么證 ？

　　同樣可用分析法

　　當 時，顯然成立，

　　當 時，要證

　　只要證 ，

　　即證

　　而 顯然成立。

　　從而證得 .

　　還有別的證法嗎？（學生討論，教師提示）

　　由 與 得 .

　　當我們把 看作一個整體時，上式逆用 可得什么結論？

 。

　　能用已學過得的 證明 嗎？

　　可以 表示為 .

　　即 （教師有計劃地板書學生分析證明的過程）

　　就是含有絕對值不等式的重要定理，即 .

　　由于定理中對 兩個實數(shù)的絕對值，那么三個實數(shù)和的絕對值呢？ 個實數(shù)和的絕對值呢？

亦成立

 　

　　這就是定理的一個推論，由于定理中對 沒有特殊要求，如果用 代換 會有什么結果？（請一名學生到黑板演）

 ，

　　用 代 得 ，

　　即 。

　　這就是定理的推論 成立的充要條件是什么？

　　那么 成立的充要條件是什么？

.

　　例1  已知 ，求證 . （由學生自行完成，請學生板演）

　　證明：

     

　

　

　　例2  已知 ，求證 .

　　證明：



　　點評：這是為今后學習極限證明做準備，要習慣和“配湊”的方法。

　　例3  求證 .

　　證法一：（直接利用性質(zhì)定理）在 時，顯然成立.

　　當 時，左邊



 .

　　證法二：（利用函數(shù)的單調(diào)性）研究函數(shù) 在 時的單調(diào)性。

　　設 ，

 , 在 時是遞增的.

　　又 ，將 ， 分別作為 和 ，則有

 （下略）

　　證法三：（分析法）原不等式等價于 ，

　　只需證 ，

　　即證

　　又 ，

 顯然成立.

 原不等式獲證。

　　還可以用分析法證得 ，然后利用放縮法證得結果。

三、隨堂練習

　　1．①已知 ，求證 .

　　  ②已知 求證 .

　　2．已知   求證：

　　�、� ；

　　�、� .

　　3．求證 .

　　答案：1. 2. 略

　　3． 與 同號 

四、小結

      1．定理 . 把 、 、 看作是三角形三邊，很象三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，這樣理解便于記憶，此定理在后面學習復數(shù)時，可以推廣到比較復數(shù)的模長，并有其幾何意義，有時也稱其為“三角形不等式”.

      2．平方法能把絕對值不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號的不等式，但應注意兩邊非負時才可平方，有些證明并不容易去掉絕對值符號，需用定理 及其推論。

     3．對 要特別重視.

五、布置作業(yè)

　　1．若 ，則不列不等式一定成立的是（  ）

　　　  A．      B．

　　　  C．     D．

2．設 為滿足 的實數(shù)，那么（  ）

　　　A．      B．

　　　C．      D．

3．能使不等式 成立的正整數(shù) 的值是__________.

4．求證：

　�。�1） ；

　�。�2） .

5．已知 ，求證 .

答案：1． D   2． B   3．1、2、3  

　　　4．   

　　　5．

　　　  =

　　注：也可用分析法.

六、板書設計

6.5含有絕對值的不等式（一）

1．復習

2．定理

推論

例1

例2

例3

課堂訓練

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