集合
1.理解集合的概念；2.掌握集合的兩種表示方法；3.會(huì)正確使用符號(hào)這三個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)即可
1.集合
點(diǎn)、線、面等概念都是幾何中原始的、不加定義的概念，集合則是集合論中原始的、不加定義的概念.一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱集.一般用大括號(hào)表示集合，例如“汽車(chē)，飛機(jī)，輪船”等交通運(yùn)輸工具組成的集合可以寫(xiě)成｛汽車(chē)、飛機(jī)、輪船｝為了方便.我們還通常用大寫(xiě)的拉丁字母A、B、C……表示集合，例如A＝｛a,b,c｝.
2.集合中的元素
集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.例如“中國(guó)的直轄市”這一集合的元素是：北京、上海、天津、重慶.
集合中的元素常用小寫(xiě)的拉丁字母a,b,c，…表示.
如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A；
如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a A.
3.集合中元素的特性
(1)確定性 對(duì)于集合A和某一對(duì)象x，有一個(gè)明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)是x∈A，還是x A，二者必成其一，不會(huì)模棱兩可.
例如，“著名的數(shù)學(xué)家”，“漂亮的人”這類對(duì)象，一般不能構(gòu)成數(shù)學(xué)意義上的集合，因?yàn)檎也坏接靡耘袆e每一具體對(duì)象是否屬于集合的明確標(biāo)準(zhǔn).
(2)互異性.對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的；因此，集合中的相同元素只能算作一個(gè)，如方程x2-2x+1=0的兩個(gè)等根，x1＝x2＝1，用集合記為｛１｝，而不寫(xiě)為｛1，1｝，如果把集合｛１，２，３｝，｛2,3,4｝的元素合并起來(lái)構(gòu)成一個(gè)新集合，那么新集合只有1，2，3，4這四個(gè)元素.
(3)無(wú)序性 集合中的元素是不排序的，如集合｛1，2｝與｛2，1｝是同一個(gè)集合，但實(shí)際上在書(shū)寫(xiě)時(shí)還是按一定順序書(shū)寫(xiě)的，如｛-1，0，1，2｝而不寫(xiě)成｛0，1，-1，2｝，這樣寫(xiě)不方便，其更深刻的含義是揭示了集合元素的“平等地位”.
4.集合表示法
(1)列舉法 將集合中的所有元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi).
(2)描述法 用描述表示的集合，對(duì)其元素的屬性要準(zhǔn)確理解.例如，集合｛y｜y=x2｝表示函數(shù)y值的全體，即｛y｜y≥0｝；集合｛x｜y＝x2｝表示自變量x的值的全體，即｛x｜x為任一實(shí)數(shù)｝；集合｛x,y｜y=x2｝表示拋物線y=x2上的點(diǎn)的全體，是點(diǎn)集(一條拋物線)；而集合｛y=x2｝則是用列舉法表示的單元素集，也就是只有一個(gè)元素(方程y=x2)的有限集.
(3)圖示法 為了形象地表示集合，我們常常畫(huà)一條封閉曲線，用它的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合，例如，如圖可表示集合｛1,2,3,4｝
5.特定集合表示法
自然數(shù)集(或非負(fù)整數(shù)集)，記作N，自然數(shù)集內(nèi)排除0的集，也稱正整數(shù)集，記作N*或N+(注意，自然數(shù)集包括0)；
整數(shù)集，記作Z；
有理數(shù)集，記作Q；
實(shí)數(shù)集，記作R；
Z，Q，R等數(shù)集內(nèi)排除0的集，分別表示為Z*(或Z+)，Q*(或Q+)，R*(或R+).
6.集合的分類
①有限集：含有限個(gè)元素的集合叫做有限集.例如：A＝｛1,2,3,4｝
②無(wú)限集：含有無(wú)限多個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.例如：集合N+
③空集：不含任何元素的集合稱為空集.例如：集合方程x2+2x+3=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解集. 例1 下列各組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合?指出其中的集合是無(wú)限集還是有限集?并用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎境鰜?lái).
(1)直角坐標(biāo)平面內(nèi)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)；
(2)高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題；
(3)方程x4+x2+2＝0的實(shí)數(shù)根；
(4)圖甲中陰影部分的點(diǎn)(含邊界上的點(diǎn)).
圖甲 圖乙
解：(1)是無(wú)限集合.其中元素是點(diǎn)，這些點(diǎn)要滿足橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù).
可用兩種方法表示這個(gè)集合：
描述法：｛(x,y)｜y＝?x｜｝；
圖示法：如圖乙中直線l上的點(diǎn).
(2)不是集合.難題的概念是模糊的不確定的，實(shí)際上一道數(shù)學(xué)題是“難者不會(huì)，會(huì)者不難”.因而這些難題不能構(gòu)成集合.
(3)是空集.其中元素是實(shí)數(shù)，這些實(shí)數(shù)應(yīng)是方程x4+x2+2=0的根，這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，它的解集是空集.可用描述法表示為：
或者｛x∈R｜x4+x2+2=0｝.
(4)是無(wú)限集合.其中元素是點(diǎn)，這些點(diǎn)必須落在圖甲的陰影部分(包括邊界上的點(diǎn)).
圖甲本身也可看成圖示法表示，我們還可用描述表示這個(gè)集合；
｛(x,y)｜-1≤x≤2，- ≤y≤2，且xy≤0｝
例2 下面六種表示法：
(1)｛x＝-1，y=2｝，(2)｛(x,y)｜x=-1,y=2｝，(3)｛-1，2｝，(4)(-1，2)，(5)｛(-1，2)｝，(6)｛(x,y)｜x＝-1或y＝2｝，能正確表示方程組 的解集的是：
A. (1)(2)(3)(4)(5)(6) B.(1)(2)(4)(5)
C.(2)(5) D.(2)(5)(6)
分析 由于此方程組的解是 因而寫(xiě)成集合時(shí)，應(yīng)表示成一對(duì)有序?qū)崝?shù)(-1，2).
解：因?yàn)椋?x,y)｜ ＝｛(x,y)｜ ＝｛(-1，2)｝故選C.
評(píng)析 集合(1)既非列舉法，又非描述法.集合(3)表示由-1和2兩個(gè)數(shù)組成的集合.(4)是一個(gè)點(diǎn).(6)中的元素是(-1，y)或(x,2)，x,y∈R是一個(gè)無(wú)限集.以上均不合題意.
例3 用符號(hào)∈或 填空.
(1)3.14 Q，0 N， Z，(-1)0 N，0
(2)2 ｛x｜x＜ ＝，3 ｛x｜x＞4｝， + ｛x｜x≤2+ ｝；
(3)3 ｛x｜x＝n2+1，n∈N｝，5 ｛x｜x＝n2+1，n∈N｝；
(4)(-1，1) ｛y｜y＝x2｝,(-1,1) ｛(x,y)｜y＝x2｝
解：(1)∈、∈、 、∈、 (空集?不含任何元素)；
(2)2 ＝ ＞ ，3 ＝ ＞ ＝4，
+ ＝
＝ ＜
＝
＝2+ ，故填 、∈、∈；
(3)令n2+1=3，n＝± n N.令n2+1＝5，
n＝±2，2∈N，故填 、∈；
(4) ，∈.(因?yàn)椋鹹｜y＝x2｝中元素是數(shù)而(-1，1)代表一個(gè)點(diǎn))
例4 用另一種形式表示下列集合
(1)｛絕對(duì)值不大于3的整數(shù)｝
(2)｛所有被3整除的數(shù)｝
(3)｛x｜x＝｜x｜，x∈Z且x＜5｝
(4)｛x｜（3x-5）(x+2)(x2+3)＝0，x∈Z｝
(5)｛(x,y)｝｜x+y=6，x∈N+，y∈N+｝
解：(1)絕對(duì)值不大于3的整數(shù)｝還可以表示為｛x｜｜x｜≤3，x∈Z｝，也可表示為｛-3，-2，-1，0，1，，2，3｝；
(2)｛x｜x＝3n，n∈Z｝；(說(shuō)明：｛被3除余1的整數(shù)｝可表示為｛x｜x=3n+1,n∈Z｝)；
(3)∵x＝｜x｜，∴x≥0，又∵x∈Z且x＜5，∴｛x｜x＝｜x｜，x∈Z且x＜5｝還可以表示為｛0,1,2,3,4｝
(4)｛-2｝(注意x∈Z｝)
(5)｛(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)｝
例5。用另一種形式表示下面的集合：｛x｜(2x-1)(x+2)(x2+1)=0,x∈Z｝.
錯(cuò)誤解答 集合的元素x是由方程(2x-1)(x+2)(x2+1)＝0的根組成的，解方程，得x＝ ，x＝-2，x＝
∴ 原集合可以表示為｛ ，-2， ｝
錯(cuò)誤存在于解方程的過(guò)程和最后的集合表示當(dāng)中，解方程時(shí)應(yīng)注意到x2+1≠0，x∈R，所以，方程的根為x＝ ，x＝-2.注意到已知條件x∈z R，才不致造成錯(cuò)誤.
因?yàn)?Z 所以，
正確答案應(yīng)為｛-2｝或?qū)懽鳎鹸｜x=-2｝.
例6 已知A＝｛x｜x＝a+b ，a,b∈Z｝，分析判斷下列元素x與集合A之間的關(guān)系：
(1)x＝0，(2)x＝ ，(3)x＝ .
分析 x與A的關(guān)系只有x∈A和x A兩種.判斷x是不是A中的元素，即觀察x能否寫(xiě)成a+b (a,b∈Z)的形式.
解：(1)因?yàn)?＝0+0× ，所以0∈A.
(2)因?yàn)閤＝ ＝ - ，無(wú)論a、b為何整數(shù)，a+b ＝ - 不能成立，所以x＝ A.
(3)因?yàn)閤＝ ＝ ＝1+2 ，
所以 ∈A.
評(píng)析 研究元素與集合的關(guān)系，一要注意集合的表示方法(列舉法或描述法)，二要準(zhǔn)確判斷元素的屬性.
例7 已知集合A＝｛p｜x2+2(p-1)x+1=0,x∈R｝，求一次函數(shù)y＝2x-1，x∈A的取值范圍.
分析 關(guān)鍵是理解集合A中元素的屬性.p的取值范圍必須滿足關(guān)于x的一元二次方程x2+2(p-1)x+1=0有實(shí)數(shù)根.
解：由已知，Δ＝4(p-1)2-4≥0.得p≥2或p≤0.所以A＝｛p｜p≥2或p≤0｝.因?yàn)閤∈A，所以x≥2或x≤0，所以2x-1≥3或2x-1≤-1，所以y的取值范圍是｛y｜y≤-1或y≥3｝.
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