復數(shù)的乘法與除法

教學目標

　　（1）掌握復數(shù)乘法與除法的運算法則，并能熟練地進行乘、除法的運算；

　　（2）能應用i和 的周期性、共軛復數(shù)性質、模的性質熟練地進行解題；
　　
　�。�3）讓學生領悟到“轉化”這一重要數(shù)學思想方法；
　　
　�。�4）通過學習復數(shù)乘法與除法的運算法則，培養(yǎng)學生探索問題、分析問題、解決問題的能力。

 

教學建議

一、知識結構

二、重點、難點分析

　　本節(jié)的重點和難點是復數(shù)乘除法運算法則及復數(shù)的有關性質．復數(shù)的代數(shù)形式相乘，與加減法一樣，可以按多項式的乘法進行，但必須在所得的結果中把 換成－1，并且把實部與虛部分合并．很明顯，兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù)，即在復數(shù)集內，乘法是永遠可以實施的，同時它滿足并換律、結合律及乘法對加法的分配律．規(guī)定復數(shù)的除法是乘法的逆運算，它同多項式除法類似，當兩個多項式相除，可以寫成分式，若分母含有理式時，要進行分母有理化，而兩個復數(shù)相除時，要使分母實數(shù)化，即分式的分子和分母都乘以分母的共軛復數(shù)，使分母變成實數(shù)．

三、教學建議

　　1．在學習復數(shù)的代數(shù)形式相乘時，復數(shù)的乘法法則規(guī)定按照如下法則進行．設 是任意兩個復數(shù)，那么它們的積：

    

　　也就是說．復數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的，注意有一點不同即必須在所得結果中把 換成一1，再把實部，虛部分別合并，而不必去記公式．

　　2．復數(shù)的乘法不僅滿足交換律與結合律，實數(shù)集R中整數(shù)指數(shù)冪的運算律，在復數(shù)集C中仍然成立，即對任何 ， ， 及 ，有：

， ， ；

對于復數(shù) 只有在整數(shù)指數(shù)冪的范圍內才能成立．由于我們尚未對復數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪進行定義，因此如果把上述法則擴展到分數(shù)指數(shù)冪內運用，就會得到荒謬的結果。如 ，若由 ，就會得到 的錯誤結論，對此一定要重視。

3．講解復數(shù)的除法，可以按照教材規(guī)定它是乘法的逆運算，即求一個復數(shù) ，使它滿足 （這里 ， 是已知的復數(shù)）．列出上式后，由乘法法則及兩個復數(shù)相等的條件得：

，

由此

，  

于是

得出商以后，還應當著重向學生指出：如果根據(jù)除法的定義，每次都按上述做來法逆運算的辦法來求商，這將是很麻煩的．分析一下商的結構，從形式上可以得出兩個復數(shù)相除的較為簡捷的求商方法，就是先把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復數(shù)，再把結果化簡即可．

　　4．這道例題的目的之一是訓練我們對于復數(shù)乘法運算、乘方運算及乘法公式的操作，要求我們做到熟練和準確。從這道例題的運算結果，我們應該看出， 也是-1的一個立方根。因此，我們應該修正過去關于“-1的立方根是-1”的認識，想到-1至少還有一個虛數(shù)根 。然后再回顧例2的解題過程，發(fā)現(xiàn)其中所有的“-”號都可以改成“±”。這樣就能找出-1的另一個虛數(shù)根 。所以-1在復數(shù)集C內至少有三個根：-1， ， 。以上對于一道例題或練習題的反思過程，看起來并不難，但對我們學習知識和提高能力卻十分重要。它可以有效地鍛煉我們的逆向思維，拓寬和加深我們的知識，使我們對一個問題的認識更加全面。

　　5．教材194頁第6題 這是關于復數(shù)模的一個重要不等式，在研究復數(shù)模的最值問題中有著廣泛的應用。在應用上述絕對值不等式過程中，要特別注意等號成立的條件。

 

教學設計示例

復數(shù)的乘法

教學目標

　　1．掌握復數(shù)的代數(shù)形式的乘法運算法則，能熟練地進行復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算；

　　2．理解復數(shù)的乘法滿足交換律、結合律以及分配律；

　　3．知道復數(shù)的乘法是同復數(shù)的積，理解復數(shù)集C中正整數(shù)冪的運算律，掌握i的乘法運算性質．

教學重點難點

　　復數(shù)乘法運算法則及復數(shù)的有關性質．

　　難點是復數(shù)乘法運算律的理解．

教學過程設計

1．  引入新課

　　前面學習了復數(shù)的代數(shù)形式的加減法，其運算法則與兩個多項式相加減的辦法一致．那么兩個復數(shù)的乘法運算是否仍可與兩個多項式相乘類似的辦法進行呢？

　　教學中，可讓學生先按此辦法計算，然后將同學們運算所得結果與教科書的規(guī)定對照，從而引入新課．

2．  提出復數(shù)的代數(shù)形式的運算法則：

 ．

　　指出這一法則也是一種規(guī)定，由于它與多項式乘法運算法則一致，因此，不需要記憶這個公式．

3．  引導學生證明復數(shù)的乘法滿足交換律、結合律以及分配律．

4．  講解例1、例2

　　例1　求 ．

　　此例的解答可由學生自己完成．然后，組織討論，由學生自己歸納總結出共軛復數(shù)的一個重要性質： ．

　　教學過程中，也可以引導學生用以上公式來證明：

 ．

　　例2         計算 ．

　　教學中，可將學生分成三組分別按不同的運算順序進行計算．比如說第一組按 進行計算；第二組按 進行計算．討論其計算結果一致說明了什么問題？

5．  引導學生得出復數(shù)集中正整數(shù)冪的運算律以及i的乘方性質

　　教學過程中，可根據(jù)學生的情況，考慮是否將這些結論推廣到自然數(shù)冪或整數(shù)冪．

6．  講解例3

　　例3         設 ，求證：（1） ；（2）

　　講此例時，應向學生指出：（1）實數(shù)集中的乘法公式在復數(shù)集中仍然成立；（2）復數(shù)的混合運算也是乘方，乘除，最后加減，有括號應先處括號里面的．

　　此后引導學生思考：（1）課本中關于（2）小題的注解；（2）如果 ，則 與 還成立嗎？

7．  課堂練習

　　課本練習第1、2、3題．

8．  歸納總結

　　（1）學生填空：

 　　　； ＝　　　＝　　　　．

　　設 ，則 ＝　　　， ＝　　　， ＝　　　， ＝　　　．

　　設 （或 ），則 　　　　， 　　　．

　�。�2）對復數(shù)乘法、乘方的有關運算進行小結．

9．作業(yè)

　　課本習題5.4第1、3題．

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