數(shù)的概念的發(fā)展

教學目標

　�。�1）了解數(shù)的概念發(fā)展的過程和動力；
　　（2）了解引進虛數(shù)單位i的必要性和作用；理解i的性質．
　�。�3）正確對復數(shù)進行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關系；
　�。�4）了解數(shù)系從自然數(shù)到有理數(shù)到實數(shù)再到復數(shù)擴充的基本思想．

教學建議

1．教材分析

（1）知識結構

　　首先簡明扼要地對已經學過的數(shù)集因生產與科學發(fā)展的需要而逐步擴充的過程作了概括；然后說明，數(shù)集的每一次擴充，對數(shù)學學科本身來說，也解決了原有數(shù)集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，使得某些代數(shù)方程在新的數(shù)集中能夠有解。從而引出虛數(shù)單位i及其性質，接著，將數(shù)的范圍擴充到復數(shù)，并指出復數(shù)后來由于在科學技術中得到應用而進一步發(fā)展。
①從實際生產需要推進數(shù)的發(fā)展

 自然數(shù) 整數(shù) 有理數(shù) 無理數(shù)

　�、趶慕夥匠痰男枰�推進數(shù)的發(fā)展

 負數(shù) 分數(shù) 無理數(shù) 虛數(shù)

（2）重點、難點分析

　�。ㄒ唬┱J識數(shù)的概念的發(fā)展的動力

　　從正整數(shù)擴充到整數(shù)，從整數(shù)擴充到有理數(shù)，從有理數(shù)擴充到實數(shù)，數(shù)的概念是不斷發(fā)展的，其發(fā)展的動力來自兩個方面。

　�、俳鉀Q實際問題的需要

　　由于計數(shù)的需要產生了自然數(shù)；為了表示具有相反意義的量的需要產生了整數(shù)；由于測量的需要產生了有理數(shù)；由于表示量與量的比值（如正方形對角線的長度與邊長的比值）的需要產生了無理數(shù)（既無限不循環(huán)小數(shù)）。

　�、诮夥匠痰男枰�。

　　為了使方程 有解，就引進了負數(shù)；為了使方程 有解，就要引進分數(shù)；為了使方程 有解，就要引進無理數(shù)。

　　引進無理數(shù)后，我們已經能使方程 永遠有解，但是，這并沒有徹底解決問題，當 時，方程 在實數(shù)范圍內無解。為了使方程 （ ）有解，就必須把實數(shù)概念進一步擴大，這就必須引進新的數(shù)。

　�。ǘ�）注意數(shù)的概念在擴大時要遵循的原則

　　第一，要能解決實際問題中或數(shù)學內部的矛盾�，F(xiàn)在要解決的就是在實數(shù)集中，方程 無解這一矛盾。

　　第二，要盡量地保留原有數(shù)集（現(xiàn)在是實數(shù)集）的性質，特別是它的運算性質。

　�。ㄈ�）正確確認識數(shù)集之間的關系

　　①有理數(shù)就是一切形如 的數(shù)，其中 ，所以有理數(shù)集實際就是分數(shù)集．

　�、凇把�環(huán)節(jié)不為0的循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)”．

　�、郏�有理數(shù)｝=｛分數(shù)｝=｛循環(huán)小數(shù)｝，｛實數(shù)｝=｛小數(shù)｝．

　�、茏匀粩�(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、復數(shù)集C之間有如下的包含關系：

2．教法建議

　　（1）注意知識的連續(xù)性：數(shù)的發(fā)展過程是漫長的，每一次發(fā)展都來自于生產、生活和計算等需要，所以在教學時要注意使學生認識到數(shù)的發(fā)展的兩個動力．

　�。�2）創(chuàng)造良好的課堂氣氛：由于本節(jié)課要了解擴充實數(shù)集的必要性，所以，教師可以多向學生介紹一些數(shù)的發(fā)展過程中的一些科學史，課堂學習的氣氛可以營造成一種師生共同研究、共同交流的氣氛。

 

數(shù)的概念的發(fā)展

教學目的

　　1.使學生了解數(shù)是在人類社會的生產和生活中產生和發(fā)展起來的，了解虛數(shù)產生歷史過程；

　　2.理解并掌握虛數(shù)單位的定義及性質；

　　3.掌握復數(shù)的定義及復數(shù)的分類．

教學重點

　　虛數(shù)單位的定義、性質及復數(shù)的分類．

教學難點

　　虛數(shù)單位的性質．

教學過程

　　一、復習引入

　　原始社會，由于計數(shù)的需要產生了自然數(shù)的概念，隨著文字的產生和發(fā)展，出現(xiàn)了記數(shù)的符號，進而建立了自然數(shù)的概念。自然數(shù)的全體構成自然數(shù)集.

　　為了表示具有相反意義的量引進了正負數(shù)以及表示沒有的零，這樣將數(shù)集擴充到有理數(shù)集

　　有些量與量之間的比值，如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數(shù)表示，為解決這種矛盾，人們又引進了無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)合并在一起，構成實數(shù)集．

　　數(shù)的概念是人類社會的生產和生活中產生和發(fā)展起來的，數(shù)學理論的研究和發(fā)展也推動著數(shù)的概念的發(fā)展，數(shù)已經成為現(xiàn)代社會生活和科學技術時刻離不開的科學語言和工具．

二、新課教學

(一)虛數(shù)的產生

　　我們知道，在實數(shù)范圍內，解方程 是無能為力的，只有把實數(shù)集擴充到復數(shù)集才能解決．對于復數(shù) （a、b都是實數(shù)）來說，當 時，就是實數(shù)；當 時叫虛數(shù)，當 時，叫做純虛數(shù)．可是，歷史上引進虛數(shù)，把實數(shù)集擴充到復數(shù)集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進虛數(shù)的呢？

　　16世紀意大利米蘭學者卡當（1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當公式”．他是第一個把負數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成 ，盡管他認為 和 這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40．給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學》（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)’‘與“實的數(shù)”相對應，從此，虛數(shù)才流傳開來．

　　數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星——虛數(shù)，于是引起了數(shù)學界的一片困惑，很多大數(shù)學家都不承認虛數(shù)．德國數(shù)學家菜不尼茨（1664—1716）在1702年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”．瑞士數(shù)學大師歐拉（1707—1783）說：“一切形如 ， 習的數(shù)學式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因為它們所表示的是負數(shù)的平方根．對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻．”然而，真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地．法國數(shù)學家達蘭貝爾（．1717—1783）在 1747年指出，如果按照多項式的四則運算規(guī)則對虛數(shù)進行運算，那么它的結果總是 的形式（a、b都是實數(shù)）（說明：現(xiàn)行教科書中沒有使用記號 而使用 ）．法國數(shù)學家棣莫佛（1667—1754）在1730年發(fā)現(xiàn)公式了 ，這就是著名的探莫佛定理．歐拉在 1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關系式 ，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位．“虛數(shù)”實際上不是想象出來的，而它是確實存在的．挪威的測量學家未塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學術界的重視．

　　德國數(shù)學家高斯（1777—1855）在 1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個平面上的點來表示．在直角坐標系中，橫軸上取對應實數(shù)a的點A，縱軸上取對應實數(shù)b的點B，并過這兩點引平行于坐標軸的直線，它們的交點C就表示復數(shù) ．象這樣，由各點都對應復數(shù)的平面叫做“復平面”，后來又稱“高斯平面”．高斯在1831年，用實數(shù)組（a，b）代表復數(shù) ，并建立了復數(shù)的某些運算，使得復數(shù)的某些運算也象實數(shù)一樣地“代數(shù)化”．他又在1832年第一次提出了“復數(shù)”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合．統(tǒng)一于表示同一復數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點與實數(shù)—一對應，擴展為平面上的點與復數(shù)—一對應．高斯不僅把復數(shù)看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復數(shù)與向量之間—一對應的關系，闡述了復數(shù)的幾何加法與乘法．至此，復數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了．

　　經過許多數(shù)學家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復數(shù)理論，才使得在數(shù)學領域游蕩了200年的幽靈——虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛呵．虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實數(shù)集才擴充到了復數(shù)集．

　　隨著科學和技術的進步，復數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據．

(二)、虛數(shù)單位

1.規(guī)定i叫虛數(shù)單位，并規(guī)定：

(1)

(2)實數(shù)與它進行四則運算時，原有的加、乘運算律仍然成立

2.形如 ( )的數(shù)叫復數(shù)，常用一個字母z表示，即 ( )

注：(1)  ( )叫復數(shù)的代數(shù)形式；

(2)以后說復數(shù) 都有 ；

(3)a叫復數(shù) ( )的實部記作 ；b叫復數(shù) ( )的虛部，用 表示；

(4)全體復數(shù)的所成的集合叫復數(shù)集用C表示．

例1.指出下列復數(shù)的實部、虛部：

(1    (2)    (4)   (5)   

(6)    (7)   (8)10

3. 復數(shù) ( )當 時z是實數(shù)，當 時,z是虛數(shù)．

　　例2. ( )取什么值時，復數(shù) 是（?）

　　(1) 實數(shù)    (2) 純虛數(shù)  (3)    零

　　解：∵ ，∴ ，

　　(1)z為實數(shù)，則 解得： 或

　　(2) z為實數(shù)，則 解得：

　　(3)z為零，則 解得：

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