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“問題解決”和中學(xué)數(shù)學(xué)課程

時(shí)間:2023-02-20 10:49:47 數(shù)學(xué)論文 我要投稿
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“問題解決”和中學(xué)數(shù)學(xué)課程

一、背景和意義  

“問題解決”和中學(xué)數(shù)學(xué)課程

  19世紀(jì)末,20世紀(jì)初,一些心理學(xué)家首先對(duì)問題解決進(jìn)行了研究,并對(duì)“問題解決”作了諸多的闡釋。在國(guó)際數(shù)學(xué)教育界,從美國(guó)的波利亞首先對(duì)怎樣解題作了詳盡的探討開始,逐漸對(duì)這個(gè)問題展開了研究。尤其是在美國(guó),從60年代“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu),忽視數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系,脫離教學(xué)實(shí)際,到70年代“回到基幢走向另一個(gè)極端,片面強(qiáng)調(diào)掌握低標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)知識(shí),數(shù)學(xué)教學(xué)水平普遍下降。在對(duì)于數(shù)學(xué)教育發(fā)展方向作了長(zhǎng)期探索以后,“問題解決”和“大眾數(shù)學(xué)(mathematicsforal)”已經(jīng)成為美國(guó)數(shù)學(xué)教育的響亮口號(hào),并產(chǎn)生國(guó)際影響。  

  什么是問題解決,由于觀察的角度不同,至今仍然沒有完全統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。  

  有的認(rèn)為,問題解決指的是人們?cè)谌粘I詈蜕鐣?huì)實(shí)踐中,面臨新情景、新課題,發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要的矛盾而自己卻沒有現(xiàn)成對(duì)策時(shí),所引起的尋求處理問題辦法的一種心理活動(dòng)。有的把學(xué)習(xí)分成八種類型:信號(hào)學(xué)習(xí)、……概念學(xué)習(xí)、法則學(xué)習(xí)和問題解決。問題解決是其中最高級(jí)和復(fù)雜的一種類型,意味著以獨(dú)特的方式選擇多組法則,并且把它們綜合起來運(yùn)用,它將導(dǎo)致建立起學(xué)習(xí)者先前不知道的更高級(jí)的一組法則。英國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育調(diào)查委員會(huì)報(bào)告《數(shù)學(xué)算數(shù)》則認(rèn)為:把數(shù)學(xué)應(yīng)用于各種情形的能力就是“問題解決”。全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)《行動(dòng)的議程》對(duì)問題解決的意義作了如下說明:第一,問題解決包括將數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界,包括為現(xiàn)時(shí)和將來出現(xiàn)的科學(xué)理論與實(shí)際服務(wù),也包括解決拓廣數(shù)學(xué)科學(xué)本身前沿的問題;第二,問題解決從本質(zhì)上說是一種創(chuàng)造性的活動(dòng);第三,問題解決能力的發(fā)展,其基礎(chǔ)是虛心、好奇和探索的態(tài)度,是進(jìn)行試驗(yàn)和猜測(cè)的意向;等等。  

  從上述對(duì)問題解決意義的闡述中,我們可以看到一些共性和相通之處。從數(shù)學(xué)教育的角度來看,問題解決中所指的問題來自兩個(gè)方面:現(xiàn)實(shí)社會(huì)生活和生產(chǎn)實(shí)際,數(shù)學(xué)學(xué)科本身。問題的一個(gè)重要特征是其對(duì)于解決問題者的新穎性,使得問題解決者沒有現(xiàn)成的對(duì)策,因而需要進(jìn)行創(chuàng)造性的工作。要順利地進(jìn)行問題解決,其前提是已經(jīng)了解、掌握所需要的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和能力,在問題解決中要綜合地運(yùn)用這些基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和能力。在問題解決中,問題解決者的態(tài)度是積極的。此外,在學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中,所謂創(chuàng)造性地解決問題,有別于數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作,主要指學(xué)習(xí)中的再創(chuàng)造。因而,筆者認(rèn)為,從數(shù)學(xué)教育的角度看,問題解決的意義是:以積極探索的態(tài)度,綜合運(yùn)用已具有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和能力,創(chuàng)造性地解決來自數(shù)學(xué)課或?qū)嶋H生活和生產(chǎn)實(shí)際中的新問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。  

  簡(jiǎn)言之,就數(shù)學(xué)教育而言,問題解決就是創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)以解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。  

  問題解決中,問題本身常具有非常規(guī)性、開放性和應(yīng)用性,問題解決過程具有探索性和創(chuàng)造性,有時(shí)需要合作完成。  

二、“問題解決”的重要性  
  問題解決已引起國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育界的廣泛重視,把它和數(shù)學(xué)課程緊密聯(lián)系起來,已是國(guó)際數(shù)學(xué)教育的一個(gè)趨勢(shì)。究其原因,筆者認(rèn)為主要有以下幾方面:  

(一)時(shí)代呼喚創(chuàng)新  

  在國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的當(dāng)今世界,各國(guó)政府乃至普通老百姓都越來越清楚認(rèn)識(shí)到,國(guó)家的富強(qiáng),乃至企業(yè)的興衰,無(wú)不取決于對(duì)科學(xué)技術(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)、掌握及其創(chuàng)造性的開拓和應(yīng)用。但創(chuàng)造能力并非與生俱有,必須通過有意識(shí)的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練才能形成。學(xué)校教育必須重視培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行創(chuàng)造性工作的能力。問題解決正反映了這種社會(huì)需要。  

(二)我國(guó)數(shù)學(xué)教育的成功和不足  

  我國(guó)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與國(guó)際上其它一些國(guó)家的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)比較,具有重視基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué),基本技能訓(xùn)練,數(shù)學(xué)計(jì)算、推理和空間想象能力的培養(yǎng)等顯著特點(diǎn),因而我國(guó)中學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功比較扎實(shí),學(xué)生的整體數(shù)學(xué)水平較高。然而,改革開放也使我國(guó)數(shù)學(xué)教育界看到了我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一些不足。其中比較突出的兩個(gè)問題是,學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng),創(chuàng)造能力較弱。學(xué)生往往不能把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題,不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題中去,對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景了解不多;學(xué)生機(jī)械地模仿一些常見數(shù)學(xué)問題解法的能力較強(qiáng),而當(dāng)面臨一種新的問題時(shí)卻辦法不多,對(duì)于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學(xué)思維方法了解不夠。面對(duì)這種情況,我國(guó)數(shù)學(xué)教育界采取了一些相應(yīng)措施。例如,北京、上海等地分別開展了中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用競(jìng)賽,在近年高校招生數(shù)學(xué)考試中,也加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)和創(chuàng)造性思維方法與能力的考查等。雖然這些措施收到了一定的成效,然而要從根本上改變現(xiàn)狀,還應(yīng)在中學(xué)數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)上有所突破。一些學(xué)者認(rèn)為,在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中體現(xiàn)問題解決的思想,是解決上述問題的有效途徑。  

(三)數(shù)學(xué)觀的發(fā)展  

  數(shù)學(xué)發(fā)展至今,人們對(duì)數(shù)學(xué)的總的看法由相對(duì)靜態(tài)的觀點(diǎn)轉(zhuǎn)向靜態(tài)和動(dòng)態(tài)相結(jié)合的觀點(diǎn)。對(duì)于數(shù)學(xué)是什么,經(jīng)典的是恩格斯的定義:數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。恩格斯對(duì)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)是相對(duì)靜止的,它主要指出了數(shù)學(xué)的客觀真理性,然而,當(dāng)今的社會(huì)實(shí)踐告訴人們還應(yīng)該用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué),即從數(shù)學(xué)與人類實(shí)踐的關(guān)系去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。就數(shù)學(xué)教育而言,學(xué)生之所以要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),除了數(shù)學(xué)的客觀真理性,更在于數(shù)學(xué)是改造客觀世界的重要工具。學(xué)數(shù)學(xué),首先是為了應(yīng)用。應(yīng)用數(shù)學(xué)是學(xué)數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。所以,數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)是教給學(xué)生在實(shí)際生活和生產(chǎn)實(shí)踐中最有用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),并在教學(xué)過程中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用這些知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力。  

(四)問題解決過程和方法的一般性  

  在解決來自實(shí)際和數(shù)學(xué)內(nèi)部的數(shù)學(xué)問題中,問題解決的過程和方法是基本相同的。不僅如此,這種過程和方法與解決一般的、其它學(xué)科中問題的過程和方法有很多共同之處。在數(shù)學(xué)問題解決中學(xué)習(xí)的過程和方法可以遷移到其它學(xué)科的問題解決過程中。此外,相對(duì)于其它學(xué)科的問題來學(xué),解決數(shù)學(xué)問題所需要的工具和材料要少得多,有時(shí)只需要一支筆,一張紙。因而通過數(shù)學(xué)問題解決,可以較快地教給學(xué)生一般的問題解決的過程和思想方法,具有較高的效率。  

三、“問題解決”和中學(xué)數(shù)學(xué)課程  

  問題解決在各國(guó)的中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的引入方式各不相同,英國(guó)SMP數(shù)學(xué)課程專門設(shè)置了一種問題解決課,我國(guó)人民教育出版社出版的義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)課程中設(shè)立了實(shí)習(xí)作業(yè)、應(yīng)用題、想一想、做一做等,在高中數(shù)學(xué)試驗(yàn)課本中也增加了研究題等,這些和問題解決思想是一致的。筆者認(rèn)為,從目前中國(guó)的

實(shí)際情況出發(fā),重要的是在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中去體現(xiàn)問題解決的思想精髓,這就是它所強(qiáng)調(diào)的創(chuàng)造能力和應(yīng)用意識(shí)。就是說,在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn):  

(一)鼓勵(lì)學(xué)生去探索、猜想、發(fā)現(xiàn)  

  要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力,首先是要讓學(xué)生具有積極探索的態(tài)度,猜想、發(fā)現(xiàn)的欲望。教材要設(shè)法鼓勵(lì)學(xué)生去探索、猜想和發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí),經(jīng)常地啟發(fā)學(xué)生去思考,提出問題。  

  學(xué)生學(xué)習(xí)的過程本身就是一個(gè)問題解決的過程。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)一門嶄新的課程、一章新的知識(shí)、乃至一個(gè)新的定理和公式時(shí),對(duì)學(xué)生來說,就是面臨一個(gè)新問題。例如,高中數(shù)學(xué)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了初中代數(shù)、幾何課以后開設(shè)的,學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)已經(jīng)有比較豐富的感性認(rèn)識(shí),教科書中是否可以提出,或者說應(yīng)該教學(xué)生提出以下的一些問題:高中數(shù)學(xué)課是怎樣的一門課?高中數(shù)學(xué)課和小學(xué)數(shù)學(xué)、初中代數(shù)、初中幾何課有什么關(guān)系?數(shù)學(xué)是怎樣的一門科學(xué)?這門科學(xué)是怎樣產(chǎn)生和發(fā)展起來的?高中數(shù)學(xué)將要學(xué)習(xí)哪些知識(shí)?這些知識(shí)在實(shí)際中有什么用?這些知識(shí)和以后將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)、高中其它學(xué)科知識(shí)有些什么關(guān)系,有怎樣的地位作用?要學(xué)好高中數(shù)學(xué)應(yīng)注意些什么問題?當(dāng)然,對(duì)這些問題,即使是學(xué)完整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程以后,也不一定能完全回答好,但在學(xué)這門課之前還是要引導(dǎo)學(xué)生去思考這些問題,這也正是教科書編者所要考慮并應(yīng)該盡可能在教科書中回答的。筆者認(rèn)為,在高中數(shù)學(xué)課中可以安排一個(gè)引言課。同樣,在每一章,乃至每一單元都應(yīng)該考慮類似的問題。在這一點(diǎn),初中《幾何》的引言值得參考。在教科書中經(jīng)常提一些啟發(fā)性的問題,就會(huì)讓學(xué)生逐步養(yǎng)成求知、好問的習(xí)慣和獨(dú)立思考、勇于探索的精神。  

  無(wú)論是教科書的編寫還是實(shí)際教學(xué),在講到探索、猜想、發(fā)現(xiàn)方面的問題時(shí)要側(cè)重于“教”:有時(shí)候可以直接教給學(xué)生完整的猜想過程,有時(shí)候則要較多地啟發(fā)、誘導(dǎo)、點(diǎn)撥學(xué)生。不要在任何時(shí)候都讓學(xué)生親自去猜想、發(fā)現(xiàn),那樣要花費(fèi)太多的教學(xué)時(shí)間,降低教學(xué)效率。此外,在探索、猜想、發(fā)現(xiàn)的方向上,要把好舵,不要讓學(xué)生在任意方向上去費(fèi)勁。  

(二)打好基礎(chǔ)  

  這里的基礎(chǔ)有兩重含義:首先,中學(xué)教育是基礎(chǔ)教育,許多知識(shí)將在學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)中得到應(yīng)用,有為學(xué)生進(jìn)一步深造打基礎(chǔ)的任務(wù),因而不能要求所學(xué)的知識(shí)立即在實(shí)際中都能得到應(yīng)用。其次,要解決任何一個(gè)問題,必須有相關(guān)的知識(shí)和基本的技能。當(dāng)人們面臨新情景、新問題,試圖去解決它時(shí),必須把它與自己已有知識(shí)聯(lián)系起來,當(dāng)發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)不足以解決面臨的新問題時(shí),就必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)的知識(shí),訓(xùn)練相關(guān)的技能。應(yīng)看到,知識(shí)和技能是培養(yǎng)問題解決能力的必要條件。在提倡問題解決的時(shí)候,不能削弱而要更加重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)和基本技能的訓(xùn)練。  

  教給學(xué)生哪些最重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,是問題的關(guān)系。目前,《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(供試驗(yàn)用)》中關(guān)于課程內(nèi)容的確定,已為更好地培養(yǎng)我國(guó)高中學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)分析和解決實(shí)際問題的能力提供了良好的條件。我們要繼承高中數(shù)學(xué)教材編寫中重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的優(yōu)良傳統(tǒng)和豐富經(jīng)驗(yàn),編出一套高質(zhì)量的高中數(shù)學(xué)教材,以下僅對(duì)數(shù)學(xué)概念的處理談點(diǎn)看法。  

  數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)研究對(duì)象的高度抽象和概括,它反映了數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性,是最重要的數(shù)學(xué)知識(shí)之一。概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基矗概念教學(xué)的基本要求是對(duì)概念闡述的科學(xué)性和學(xué)生對(duì)概念的可接受性。目前,對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué),有兩種不同的觀點(diǎn):一種觀點(diǎn)是要“淡化概念,注重實(shí)質(zhì)”,另一種觀點(diǎn)是要保持概念闡述的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。高中數(shù)學(xué)課程的建設(shè)也面臨著同樣的問題。筆者認(rèn)為,對(duì)這一問題的處理應(yīng)該“輕其所輕,重其所重”,不能一概而論。提出“淡化概念,注重實(shí)質(zhì)”是有針對(duì)性的,它指出了教材和教學(xué)中的一些弊端。一些次要和學(xué)生一時(shí)難以深刻理解但又必須引入的概念,在教學(xué)中必須對(duì)其定義作淡化(或者說淺化)的處理,有的可以用白體字印刷,來表明概念被淡化。但一些重要概念的定義還是應(yīng)以比較嚴(yán)格的形式給出為妥,否則,雖然老師容易判定這些概念的定義是被淡化的,但是學(xué)生容易對(duì)概念產(chǎn)生誤解和歧義,關(guān)鍵在于教師在教學(xué)中把握好度,突出教學(xué)的重點(diǎn)。還有一些概念,在數(shù)學(xué)學(xué)科體系中有重要的地位和作用,對(duì)這類概念,不但不能作淡化處理,反之,還要花大力處理好,讓學(xué)生對(duì)概念能較好地理解和掌握。例如,初中幾何的點(diǎn)概念、高中數(shù)學(xué)的集合等概念,是人們從現(xiàn)實(shí)世界廣泛對(duì)象中抽象而得,在教材處理中要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到概念所涉及的對(duì)象的廣泛性,從而認(rèn)識(shí)到概念應(yīng)用的廣泛性,另外學(xué)生也在這里學(xué)到了數(shù)學(xué)的抽象方法。對(duì)于數(shù)學(xué)概念,應(yīng)該注意到不同數(shù)學(xué)概念的重要性具有層次性?傊瑢(duì)于數(shù)學(xué)概念的處理,要取慎重的態(tài)度,繼承和改革都不能偏廢。  

(三)重視應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)  

  用數(shù)學(xué)是學(xué)數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。教科書必須重視從實(shí)際問題出發(fā),引入數(shù)學(xué)課題,最后把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題?梢钥紤]把與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)的銀行事務(wù)、利率、投資、稅務(wù)中的常識(shí)寫進(jìn)課本。  

  當(dāng)然,并不是所有的數(shù)學(xué)課題都要從實(shí)際引入,數(shù)學(xué)體系有其內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)和規(guī)律,許多數(shù)學(xué)概念是從前面的概念中通過演繹而得,又返回到數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)。  

  此外,理論聯(lián)系實(shí)際的目的是為了使學(xué)生更好地掌握基礎(chǔ)知識(shí),能初步運(yùn)用數(shù)學(xué)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題,不宜于把實(shí)際問題搞得過于繁復(fù)費(fèi)解,以致于耗費(fèi)學(xué)生寶貴的學(xué)習(xí)時(shí)間。  

(四)教一般過程和方法  

  在一些典型的數(shù)學(xué)問題教學(xué)中,教給學(xué)生比較完整的解決實(shí)際問題的過程和常用方法,以提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。  

  由于實(shí)際問題常常是錯(cuò)綜復(fù)雜的,解決問題的手段和方法也多種多樣,不可能也不必要尋找一種固定不變的,非常精細(xì)的模式。筆者認(rèn)為,問題解決的基本過程是:1.首先對(duì)與問題有關(guān)的實(shí)際情況作盡可能全面深入的調(diào)查,從中去粗取精,去偽存真,對(duì)問題有一個(gè)比較準(zhǔn)確、清楚的認(rèn)識(shí);2.?dāng)M定解決問題的計(jì)劃,計(jì)劃往往是粗線條的;3.實(shí)施計(jì)劃,在實(shí)施計(jì)劃的過程中要對(duì)計(jì)劃作適時(shí)的調(diào)整和補(bǔ)充;4.回顧和總結(jié),對(duì)自己的工作進(jìn)行及時(shí)的評(píng)價(jià)。  

  問題解決的常用方法有:1.畫圖,引入符號(hào),列表分析數(shù)據(jù);2.分類,分析特殊情況,一般化;3.轉(zhuǎn)化;4.類比,聯(lián)想;5.建模;6.討論,分頭工作;7.證明,舉反例;8.簡(jiǎn)化以尋找規(guī)律(結(jié)論和方法);9.估計(jì)和猜測(cè);10.尋找不同的解法;11.檢驗(yàn);12.推廣。  

(五)創(chuàng)設(shè)問題情景  

1.一個(gè)好問

題或者說一個(gè)精彩的問題應(yīng)該有如下的某些特征:(1)有意義,或有實(shí)際意義,或?qū)W(xué)習(xí)、理解、掌握、應(yīng)用前后數(shù)學(xué)知識(shí)有很好的作用;(2)有趣味,有挑戰(zhàn)性,能夠激發(fā)學(xué)生的興趣,吸引學(xué)生投入進(jìn)來;(3)易理解,問題是簡(jiǎn)明的,問題情景是學(xué)生熟悉的;(4)時(shí)機(jī)上的適當(dāng);(5)難度的適中。  

2.應(yīng)該對(duì)現(xiàn)有習(xí)題形式作些改革,適當(dāng)充實(shí)一些應(yīng)用題,配備一些非常規(guī)題、開放性題和合作討論題。  

(1)應(yīng)用題的編制要真正反映實(shí)際情景,具有時(shí)代氣息,同時(shí)考慮教學(xué)實(shí)際可能。  

(2)非常規(guī)題是相對(duì)于學(xué)生的已學(xué)知識(shí)和解題方法而言的。它與常見的練習(xí)題不同,非常規(guī)題不能通過簡(jiǎn)單模仿加以解決,需要獨(dú)特的思維方法,解非常規(guī)題能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。  

(3)開放性問題是相對(duì)于“條件完備、結(jié)論確定”的封閉性練習(xí)題而言的。開放性問題中提供的條件可能不完備,從而結(jié)論常常是豐富多彩的,在思維深度和廣度上因人而異具有較大的彈性。  

  對(duì)于這類問題,要注意開放空間的廣度,有時(shí)可以是整個(gè)三維空間、二維空間、扇形區(qū)域中,有時(shí)也可以限于一維空間甚至若干個(gè)點(diǎn)上,把問題的討論限制在一定的范圍內(nèi)。  

(4)合作討論題是相對(duì)于常見的獨(dú)立解決題而言的。有些題所涉及的情況較多,需要分類討論,解答有較多的層次性,需要小組甚至全班同學(xué)共同合作完成,以便更好地利用時(shí)間和空間。這種題可以編入課堂練習(xí)題中。實(shí)際教學(xué)中可以把學(xué)生分成若干小組,通過分類討論得到解決。合作討論題能使學(xué)生互相啟發(fā)、互相學(xué)習(xí),激發(fā)靈感。英國(guó)的SMP高中數(shù)學(xué)教科書中的一些問題可供參考。


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