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培養(yǎng)和提高小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的實(shí)驗(yàn)研究
提要 數(shù)學(xué)能力在學(xué)生的生活、學(xué)習(xí)和工作中占有很重要的地位。根據(jù)影響數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)的幾個因素選編 訓(xùn)練題，以小學(xué)一年級的學(xué)生做實(shí)驗(yàn)對象，本文得出三點(diǎn)啟示。關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)能力 能力結(jié)構(gòu) 遷移
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一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康�、任�?wù)
培養(yǎng)學(xué)生的能力、發(fā)展學(xué)生的智力是廣大教育工作者和教育研究者極為關(guān)注的問題。而學(xué)生的數(shù)學(xué)能力在 學(xué)生的生活、學(xué)習(xí)和工作中占有很重要的地位。所以，我們更要重視數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和提高。
什么是數(shù)學(xué)能力？認(rèn)知發(fā)展理論、心理計(jì)量學(xué)以及認(rèn)知心理學(xué)都進(jìn)行過大量研究，但并無統(tǒng)一定論。近代 心理學(xué)家們比較一致的看法是：數(shù)學(xué)能力是一種特殊的能力并具有一個復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。西方心理學(xué)家們認(rèn)為一般 智力因素、數(shù)因素和推理因素在數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)中占有重要位置。蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯切茨基認(rèn)為，對數(shù)學(xué)材料及 其關(guān)系的概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心。我們對數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)的認(rèn)識是以中央教科所在全國組織的小學(xué)生數(shù)學(xué)能 力研究的理論為依據(jù)的。
中央教科所曾在１９８２至１９８９年組織全國九個地區(qū)，對小學(xué)１－６年級學(xué)生的數(shù)學(xué)能力進(jìn)行了追蹤 測查與評價。研究認(rèn)為：小學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，主要是形成和運(yùn)用抽象的數(shù)學(xué)概念的能力。在數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)中起 主導(dǎo)作用的因素是對數(shù)量關(guān)系和其它數(shù)學(xué)材料的概括能力以及同這種概括有直接關(guān)系的可逆思考和函數(shù)思考能 力，同時也包括對數(shù)學(xué)材料的感知和空間關(guān)系的想象能力。為提高小學(xué)生數(shù)學(xué)能力，我們試圖把全國對小學(xué)生 測查與評價的研究結(jié)果在小學(xué)實(shí)際教學(xué)中發(fā)揮一定效益，根據(jù)上述數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)的幾個方面，我們編制了系列 訓(xùn)練題，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以期找到提高小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的正確途徑，并給教學(xué)工作提供一 些有參考價值的材料。
二、實(shí)驗(yàn)材料和實(shí)驗(yàn)對象
實(shí)驗(yàn)材料：根據(jù)影響數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)的幾個因素，選編訓(xùn)練題。我們共選編了１０套訓(xùn)練題，２套測驗(yàn)題。
實(shí)驗(yàn)對象：是范西路小學(xué)剛?cè)雽W(xué)的一年級學(xué)生，實(shí)驗(yàn)班由教務(wù)處隨機(jī)指定（共７０人，男３７人，女３３ 人），另兩個班為對比班（分別為６８人和６９人）。
三、實(shí)驗(yàn)方法
學(xué)生的數(shù)學(xué)能力主要是在學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識和技能的過程中提高和發(fā)展的，同時也是在掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué) 知識的過程中表現(xiàn)出來的。本實(shí)驗(yàn)配合學(xué)生數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的不同階段進(jìn)行。具體是每星期訓(xùn)練一次，一次一個 小時，期中進(jìn)行一次比較性的測驗(yàn)，后半學(xué)期改為每兩周訓(xùn)練一次，期末進(jìn)行一次比較性的測驗(yàn)。
四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果
（一）期中進(jìn)行的比較性測驗(yàn)的結(jié)果
表１ 實(shí)驗(yàn)班與對比班（１）期中成績及差異
（附圖 {圖}）
表２ 實(shí)驗(yàn)班與對比班（２）期中成績及差異考驗(yàn)
（附圖 {圖}）
由表１、表２可以看出，經(jīng)過５周的訓(xùn)練，實(shí)驗(yàn)班的成績均明顯高于對比班。
（二）學(xué)期結(jié)束時進(jìn)行的比較性測驗(yàn)的結(jié)果
表３ 實(shí)驗(yàn)班與對比班（１）期末成績及差異考驗(yàn)
（附圖 {圖}）
表４ 實(shí)驗(yàn)班與對比班（２）期末成績及差異考驗(yàn)
（附圖 {圖}）
由表３和表４可以看出，實(shí)驗(yàn)班的成績顯著優(yōu)于對比班。
（三）實(shí)驗(yàn)班期中與期末成績比較
從圖１中可以看出實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的成績，整體有很大的提高，尤其中上的學(xué)生人數(shù)，由期中時３３．３％提 高到期末的４２．９％，而中下和差等生比例期末比期中分別降低６．４％和１．６％。
（四）實(shí)驗(yàn)班男、女學(xué)生期末成績及差異考驗(yàn)
（附圖 {圖}）
由此可以看出，男、女學(xué)生成績并無顯著差異
（附圖 {圖}）
圖１ 期中與期末成績五級分配百分比
五、討論
（一）實(shí)驗(yàn)班與對比班共三個班，三個班學(xué)生上過育紅班的比率、男女學(xué)生數(shù)以及獨(dú)生與非獨(dú)生子女?dāng)?shù)等 因素都相差不多，所以我們認(rèn)為訓(xùn)練前實(shí)驗(yàn)班與兩個對比班的基礎(chǔ)是相同的。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，經(jīng)過能力 訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)班成績顯著高于對比班，說明實(shí)驗(yàn)班學(xué)生數(shù)學(xué)能力得到了提高，也說明根據(jù)教學(xué)進(jìn)度，采取定期訓(xùn) 練的方法是可行的。
（二）從實(shí)驗(yàn)班期中與期末成績五級分配的百分比可以看出，學(xué)生成績普遍有所提高，特別是中等學(xué)生比 率增加較大，表明了小學(xué)生數(shù)學(xué)能力不斷發(fā)生變化、不斷提高的一般發(fā)展趨勢，也說明我們這種訓(xùn)練可以加速 學(xué)生的發(fā)展，尤其是對有一定發(fā)展?jié)摿Φ闹械葘W(xué)生有更大的促進(jìn)作用。
（三）從整體看，女生平均成績略高于男生，但未達(dá)到顯著性的差異，說明小學(xué)一年級的數(shù)學(xué)能力不以男 、女性別為轉(zhuǎn)移。
（四）在訓(xùn)練過程中，我們遵循從易到難的原則安排各項(xiàng)訓(xùn)練題目，在掌握和運(yùn)用數(shù)概念的水平上，具體 通過對應(yīng)、守恒、分類、分組數(shù)數(shù)、數(shù)的分解與組合等項(xiàng)目進(jìn)行訓(xùn)練；在數(shù)的概括與推理能力上，具體通過數(shù) 的推理、序數(shù)以及數(shù)量之間的關(guān)系概括等項(xiàng)目來訓(xùn)練；在空間知覺和空間觀念上，考慮到小學(xué)低年級兒童的思 維特點(diǎn)，只進(jìn)行了初步的三維空間觀念的訓(xùn)練。這些項(xiàng)目的訓(xùn)練都是相互聯(lián)系、互相補(bǔ)充而不是孤立進(jìn)行的。 例如：在分類項(xiàng)目的訓(xùn)練中，同時也訓(xùn)練了對數(shù)量和數(shù)學(xué)材料的比較與概括能力。通過以上這些內(nèi)容的訓(xùn)練， 我們對小學(xué)一年級數(shù)學(xué)能力各方面的發(fā)展水平有了較明確的認(rèn)識：
; １、對應(yīng)是數(shù)學(xué)中一個重要的思維方法。對應(yīng)的過程是整數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)求差問題的基礎(chǔ)， 同時也是函數(shù)概念的基礎(chǔ)。訓(xùn)練中我們發(fā)現(xiàn)小學(xué)一年級大部分學(xué)生能基本掌握對應(yīng)觀念，他們在解決比較簡單 的、直觀性較強(qiáng)的題目時，完成比較好。如：在完成一對一的對應(yīng)題目時，通過率為９３．６％，在完成一對 二的對應(yīng)題目時，通過率為７８．６％。但對比較復(fù)雜需要應(yīng)用對應(yīng)知識解決實(shí)際問題的題目，有許多人發(fā)生 了困難。如：“下圖有２４個三角，你能很快說出有多少個嗎？”
（附圖 {圖}）
訓(xùn)練前，通過率為５４．９％，學(xué)生的困難在于他們雖有了一定的對應(yīng)觀念，但還不能實(shí)際地運(yùn)用，認(rèn)識 不到各圖形間的關(guān)系。所有不能解答這個問題的學(xué)生的共同特點(diǎn)是，總是試圖通過數(shù)數(shù)來解決問題。這說明小 學(xué)一年級學(xué)生還保留著學(xué)齡前期的直覺行動思維的特點(diǎn)。但經(jīng)過幾次訓(xùn)練之后，對于同等難度的題目通過率上 升為６７．６％。這說明雖然低年級學(xué)生思維直觀性較強(qiáng)，但教師有意識地培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生的抽象概括、靈活運(yùn) 用知識的能力，還是能發(fā)揮學(xué)生的潛力的。
２、守恒是指改變一個物體的物理性質(zhì)－－改變其形狀、長度、方向和位置，并不改變其原有的總量。守 恒是隨著可逆性概念的發(fā)展而來的。按照皮亞杰的理論，小學(xué)一年級學(xué)生正處于思維發(fā)展的具體運(yùn)算的開始階 段，他們已具有進(jìn)行更高級的構(gòu)造型數(shù)學(xué)活動的準(zhǔn)備性，但還沒有達(dá)到守恒性。我們的訓(xùn)練證實(shí)了這一點(diǎn)，訓(xùn) 練開始時學(xué)生對數(shù)量守恒、重量守恒、液體守恒、面積守恒的通過率分別為４７．１％、５８．３％、５２． ４％、５４．３％，都只有一半左右的同學(xué)具有一定的守恒性。所有不能完成題目的學(xué)生，他們都不能根據(jù)物 體的各種屬性的關(guān)系來分辯物體的不變性，如：高、矮和寬、窄之間的抽象關(guān)系，他們的思維受物體的空間排 列和形體變化的影響。但經(jīng)過訓(xùn)練后，學(xué)生對各種守恒基本上都能掌握，通過率在７５％－８４％之間，說明 小學(xué)一年級兒童已具有一定的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備性，可利用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容與方法使這種準(zhǔn)備性成為現(xiàn)實(shí)。
３、分類。學(xué)生對于有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)的題目及單因素特征的題目掌握較好，訓(xùn)練前通過率分別是７６． ８％和７１．６％。經(jīng)過訓(xùn)練后，同等難度的題目８０％以上的學(xué)生均能掌握，說明一年級學(xué)生部分與整體及 有關(guān)的概括能力在適宜的教學(xué)條件下可以得到一定發(fā)展。但對于自定分類標(biāo)準(zhǔn)和多因素特征分類的題目，學(xué)生 掌握得很差，訓(xùn)練前通過率僅為４．５％，大部分學(xué)生對這種類型的題目無從下手，有一部分學(xué)生只能按一種 標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。通過訓(xùn)練，同類型題目通過率上升為２４．４％，這說明小學(xué)一年級學(xué)生思維主要以直觀思維 為主，自定標(biāo)準(zhǔn)分類要求學(xué)生有較強(qiáng)的獨(dú)立工作能力，尤其多因素的分類，涉及到同時既是一種屬性的全部， 又是另一種屬性的一部分的部分與整體關(guān)系，這要求學(xué)生能理解全類中的一小類與全類的大小關(guān)系即解決分類 包含的問題，也要理解一事物具有幾種屬性和不同事物具有同一屬性的邏輯關(guān)系，從多因素的分析中解決分類 問題。這種對數(shù)學(xué)材料的較高水平的概括不是一年級學(xué)生所能解決的。這個結(jié)果提醒我們，數(shù)學(xué)教學(xué)要適合兒 童的思維特點(diǎn)，不能單純求快求難，超出兒童的認(rèn)知發(fā)展水平。
４、數(shù)概念是集合數(shù)（基數(shù)）和順序數(shù)（序數(shù)）兩者的結(jié)合，學(xué)生要理解和運(yùn)用數(shù)概念，需要在序列化的 集合中把握數(shù)的概念。一年級學(xué)生對序數(shù)已初步掌握，對單純的序數(shù)題，通過率為８３％，對復(fù)雜一些的基、 序數(shù)混合題通過率僅為４８．３％。許多學(xué)生在回答這種類型的題目時，往往弄不清什么是基數(shù)，什么是序數(shù) ，以致把題做錯，說明學(xué)生對基、序數(shù)概念的掌握還不是很牢固。經(jīng)過講解、訓(xùn)練，大部分學(xué)生對這類題目都 能完成。但對運(yùn)用基、序數(shù)知識解決實(shí)際問題的題目，完成得很差。如：“小朋友排成一隊(duì)，從前面數(shù)林林排 第８名，從后面數(shù)林林排第７名，問這隊(duì)小朋友共有多少人？”此題通過率僅為１４．１％，沒有答對的學(xué)生 遇到此種類型的題目，往往將８與７進(jìn)行相加，而沒有考慮到序列的排列，將結(jié)果減１。而在做“小朋友排成 一隊(duì)，林林前面有７個人，后有８個人，問這隊(duì)小朋友共幾人？”題目時，沒有考慮到這是個基數(shù)問題，在計(jì) 算時結(jié)果忘記加１。這些結(jié)果說明，小學(xué)一年級只有少部分學(xué)生具有對基、序數(shù)關(guān)系的概括運(yùn)用能力。
５、數(shù)概念形成的最重要標(biāo)志是：能明確地把握住數(shù)群結(jié)構(gòu)，自由地進(jìn)行分解組合。小學(xué)一年級學(xué)生對１ ０以內(nèi)數(shù)的分解組合已經(jīng)基本掌握，對于與書上形式一樣的題目，通過率可達(dá)９５．７％，但他們使用數(shù)的分 解組合的知識解決實(shí)際問題的能力卻很差，如“有１２個小朋友排成兩隊(duì)，如果一隊(duì)有１人，那么另一隊(duì)有１ １人，想一想，這些小朋友共有幾種排法？”
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如果一隊(duì)有→１……………………
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那么別一隊(duì)有→１１……………………
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這道題的通過率只有５．１％，說明小學(xué)一年級學(xué)生對數(shù)概念的理解深度和概括化程度還很低，對于那些 需要重新組織自己的已有知識經(jīng)驗(yàn)，具有較大的思維靈活性和創(chuàng)造性的題目，還不能順利解決，經(jīng)訓(xùn)練后通過 率則上升為３７．８％。這個結(jié)果說明，只要我們抓住數(shù)概念的基本內(nèi)容，在教學(xué)中注意與實(shí)際問題相結(jié)合， 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有知識，他們的成績會有顯著的進(jìn)步。
６、對數(shù)量關(guān)系及其它數(shù)學(xué)材料的概括與推理能力，是數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)中起主導(dǎo)作用的因素，也是學(xué)生掌握 和運(yùn)用數(shù)概念所必需具備的最基本的能力。從訓(xùn)練中我們可以看到，小學(xué)一年級學(xué)生對具體事物的概括以及數(shù) 列間異同的概括能力較好，通過率在８０％以上，說明大部分同學(xué)已具有一定的概括能力。
推理題目類型有形象的圖形推理、抽象的文字推理以及數(shù)列推理，通過訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)，小學(xué)一年級學(xué)生總體來 講，推理能力較差，而相對這三種形式的推理情況來看，形象的圖形推理最好，數(shù)列推理次之，文字推理最差 。如：
（附圖 {圖}）
通過圖形表示出來，通過率為３５．９４％，而相似的題目用文字表示出來，通過率僅為１９．１％，這 說明直觀形象的推理早于抽象的推理。
７、對空間關(guān)系的知覺能力，也是數(shù)學(xué)能力的主要因素之一。學(xué)生們對一維（線段圖）、二維（平面圖） 空間的題目回答較好，對于三維空間題目回答較差，如：
有２０％的學(xué)生能正確回答出１０塊，說明這部分學(xué)生已基本具有一定的“體”的概念，有立體空間表象 ，能夠從三維空間角度來辯別當(dāng)前對象，而大部分學(xué)生只是試圖從三維空間角度來識別對象，他們的空間表象 還受當(dāng)前視野范圍內(nèi)所見到的“面”的限制，不能發(fā)現(xiàn)圖中被完全遮蔽的３塊立方，所以他們大都回答為７塊 ，有的學(xué)生甚至把“面”當(dāng)“體”，不區(qū)分維度，回答為１７塊。這說明剛?cè)雽W(xué)的兒童仍明顯地保留著幼兒階 段的三維空間的知覺特點(diǎn)。
六、對教學(xué)工作的建議
通過以上的數(shù)學(xué)訓(xùn)練實(shí)驗(yàn)，我們對剛?cè)雽W(xué)的小學(xué)一年級學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的發(fā)展水平有一個初步認(rèn)識，對此 我們也得到一些啟示，這可以作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的參考：
（附圖 {圖}）
１、數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)諸因素的發(fā)展客觀上存在不平衡性，數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)及數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循兒童心理發(fā)展中 所存在的這種客觀性�？偟闹v，小學(xué)時期兒童數(shù)學(xué)能力不斷地發(fā)生變化，不斷地提高水平，這是兒童發(fā)展的一 般趨勢，但具體到數(shù)學(xué)能力各因素的時候，這個一般趨勢又表現(xiàn)出很大的不平衡，這在小學(xué)一年級學(xué)生數(shù)學(xué)能 力發(fā)展中就顯著地體現(xiàn)出來了。如：對應(yīng)關(guān)系、守恒、分類整理（子集與全集的關(guān)系）以及單純序列等經(jīng)過一 定的訓(xùn)練，學(xué)生成績提高很快。而可逆運(yùn)算、函數(shù)思考、對數(shù)字和數(shù)學(xué)材料的概括能力以及空間想象力等，即 使經(jīng)過多次訓(xùn)練，學(xué)生成績提高也很困難，這說明數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)各因素的發(fā)展是不同步的。我們的教學(xué)必須針 對學(xué)生必理發(fā)展特點(diǎn)進(jìn)行，一切落后或逾越兒童心理發(fā)展水平的教學(xué)都將獲益甚微，事倍功半，甚至?xí)璧K學(xué) 生智力的發(fā)展。
２、遷移和培養(yǎng)。從訓(xùn)練來看，凡能將課堂所掌握的知識、運(yùn)算技能遷移到同類的以不同形式出現(xiàn)的題目 上去，成績就高，反之就低。由此可見，培養(yǎng)學(xué)生遷移能力是至關(guān)重要的。培養(yǎng)學(xué)生遷移能力，首先要注意使 學(xué)生牢固地掌握數(shù)學(xué)的基本知識和技能，這是遷移的前提與基礎(chǔ)。其次要努力提高學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的分析、概 括能力，這是遷移的關(guān)鍵。遷移從本質(zhì)上講就是概括，學(xué)生之所以能解決新的數(shù)學(xué)問題，就是因?yàn)閷W(xué)生能把當(dāng) 前遇到的新課題納入到已有的相應(yīng)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中，并從中找到與新課題的共同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)新課題的本質(zhì)，從而 提取出原有的知識去解決當(dāng)前的具體問題。所以，發(fā)展學(xué)生的分析、概括能力是遷移的關(guān)鍵，如果從低年級就 開始注意這個問題，那么在六年的學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)能力會有一個長足的發(fā)展。
３、了解學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。教學(xué)應(yīng)走在發(fā)展的前面，而不應(yīng)落在發(fā)展的后面 。維果茨基把兒童發(fā)展劃分為兩個水平：第一種水平是兒童現(xiàn)有發(fā)展水平，表現(xiàn)為兒童能獨(dú)立地解決問題，獨(dú) 立地學(xué)得知識；第二種水平是兒童尚處在形成狀態(tài)，在發(fā)展過程中，表現(xiàn)為兒童還不能獨(dú)立地解決問題，獨(dú)立 地獲得知識，需要成人的幫助，這就是兒童的“最近發(fā)展區(qū)”。教育者應(yīng)著眼于兒童的“最近發(fā)展區(qū)”�！白� 近發(fā)展區(qū)”決定著教學(xué)的可能性和教學(xué)的最高閾限，所以，了解教學(xué)對象的總體“最近發(fā)展區(qū)”及每個學(xué)生的 “最近發(fā)展區(qū)”，使我們的教學(xué)走在發(fā)展的前面，那么，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力將會得到最充分的發(fā)展，這也是我們 進(jìn)行數(shù)學(xué)能力訓(xùn)練的目的。
（曹啟剛、苗學(xué)宜老師對于我們的實(shí)驗(yàn)研究給予了許多具體指導(dǎo)，杜玉鳳、龔容老師在統(tǒng)計(jì)上做了大量工 作，同時也得到范西路小學(xué)領(lǐng)導(dǎo)及老師們的支持與合作，在此我們一并致謝）
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