學齡前兒童計算能力的發(fā)展

    （課程教材研究所 曹飛羽）
    對兒童進行早期數(shù)學教育，不僅需要研究了解幼兒數(shù)概念發(fā)展的特點，也需要研究了解幼兒計算能力發(fā)展 的特點。只有掌握幼兒計算能力的發(fā)展規(guī)律，才便于正確地確定幼兒計算教學的內(nèi)容，提出適宜的進行計算教 學的方法，同時也便于小學在此基礎上進行較為系統(tǒng)的數(shù)學教學。
    研究表明，幼兒在數(shù)概念發(fā)展的同時，計算能力也在逐步地發(fā)展著，而且與數(shù)概念的發(fā)展有著緊密的聯(lián)系 。幼兒的計算能力也是在各種活動中以及成人的教育影響下逐步發(fā)展起來的。他們在對物體集合的元素反復進 行操作的基礎上形成運算的初步概念，逐步掌握計算的方法，并對一些小的數(shù)目的計算逐步達到比較熟練。
    一、幼兒的加、減計算能力的發(fā)展
    通過測試研究，幼兒的加、減計算能力的發(fā)展大體經(jīng)歷三個階段。
    （一）實物操作階段（三—四歲）
    三歲以下的幼兒，對加、減計算基本上還處于朦朧狀態(tài)。測試結果表明，讓兩歲半以下的幼兒先拿１個木 塊，再添上１個木塊，問一共有幾個木塊，只有了１／３兒童能做對。有１／３兒童不會拿�；蛘呦茸ヒ话�， 再抓一把，或者先拿１個然后又拿走，也說不出有幾個。還有１／３兒童在試者引導下能操作，但說不清一共 有幾個木塊。如果讓兒童先拿１個，再添上２個，則只有１６．７％的兒童能夠操作，但說不出一共是３個。 有少數(shù)兒童還是先拿１個，再拿１個，說一共是２個。這表明這些幼兒只認識數(shù)目２。減法的實物操作有類似 的情況。超過兩歲半而不滿三歲的幼兒，８３．３％能進行“１＋１”“２－１”的實物操作，但當試者提出 “１＋２”“４－２”之類的實物操作要求時，能做對的很少。在出示需要用“１＋１”或“２－１”計算的 實際問題時，兩歲半以下的幼兒基本上都不會做，而且８３．３％的幼兒的回答是加法問題和減法問題的得數(shù) 相同。這表明這些幼兒在操作活動和數(shù)目的計算之間還沒有建立起聯(lián)系。超過兩歲半而不滿三歲的幼兒，對需 用“１＋１”計算的實際問題多數(shù)能正確回答，對需用“２－１”計算的實際問題則有半數(shù)能正確回答；但是 當改換其他數(shù)目，如需用“２＋２”“５－２”計算的實際問題則只有極少數(shù)能正確回答。這說明這個階段的 大多數(shù)幼兒，由于多次操作活動開始形成牢固的個別聯(lián)系，即１個添上１個是２個，２個拿走１個剩１個，但 還不真正理解加、減運算的一般含義。
    三歲多的幼兒開始進入加、減法的實物操作階段。這時約有半數(shù)幼兒能夠進行５以內(nèi)加、減法的實物操作 ，極少數(shù)幼兒還能進行１０以內(nèi)加、減法的實物操作。有些幼兒能夠正確地進行操作，但是說錯了得數(shù)。另外 還有些幼兒由于點數(shù)實物的能力還很差，操作還有困難。開始有一部分幼兒通過操作初步理解加、減法的含義 ，即添上是加，拿走是減。由于多數(shù)幼兒能點數(shù)實物并說出計數(shù)的結果，因而有些幼兒不僅能口頭回答得數(shù)， 而且同時能用手指表示得數(shù)。例如，當提問“１個添上２個是多少？”有些幼兒一邊回答“３個”，一邊伸出 ３個手指。這說明幼兒在做加減計算時在極大程度上需要實物操作的支持。如果讓幼兒做抽象的數(shù)的計算，則 ５以內(nèi)的加法有３７．４％的幼兒做對，５以內(nèi)的減法只有２０％的幼兒做對，而且做對的題目大多是重現(xiàn)他 們生活經(jīng)驗中已經(jīng)形成聯(lián)系，幼兒還不會利用實物操作的方法（以數(shù)手指）去解決他們不熟悉的計算題。至于 結合兒童生活經(jīng)驗的實際問題，除了需用“１＋１”“２－１”計算的題目大多數(shù)幼兒能口答以外，其他題目 很少能做對。大多數(shù)幼兒不理解題意，隨便說一個數(shù)來回答；甚至有的幼兒還沒聽完整個問題，就說出一個得 數(shù)。也有極少數(shù)幼兒能答對５以內(nèi)的加、減法應用題，但是不明確是怎樣算的。例如，提問一個三歲十個月的 幼兒，“小明有２塊糖，媽媽又給他２塊，小明一共有幾塊糖？”在說對得數(shù)以后，問她是怎樣想的，她說： “我知道幾個數(shù)，１加１等于２，２加２等于４�！边@說明三歲多幼兒還沒有明確的選用運算方法和已知數(shù)的 意識，有些幼兒雖然初步知道要用加法或減法計算，但是還不會根據(jù)題意選擇已知數(shù)，于是往往把自己所會的 加法算式都說出來作為回答，出現(xiàn)對刺激的反應的泛化現(xiàn)象。
    （二）半具體半抽象階段（四—六歲）
    這一階段幼兒計算能力的發(fā)展有以下幾個特點。
    １．幼兒完全掌握了５以內(nèi)加、減法的實物操作，大多數(shù)掌握了１０以內(nèi)加、減法的實物操作。通過實物 操作大多數(shù)幼兒初步理解加、減法運算的含義。
    ２．能進行一些抽象數(shù)目的加、減計算，但一般離不開具體的實物操作，出現(xiàn)大量扳手指的現(xiàn)象。同三歲 多的幼兒相比，應該說這是一個很大的進步。因為三歲多的幼兒還沒有完全掌握用實物計算的方法，還沒有學 會利用手指進行計算。在測試中，令三歲幼兒用手指算，大多數(shù)都不會。例如，讓三歲七個月女孩伸指算３個 添上２個是多少，她右手伸３個手指，左手伸１個手指；算６個添上３個是多少，就不會伸手指了。讓三歲十 一個月男孩算５個減去３個是多少，他先答“６”。再讓他手指算，他先錯誤地伸４個手指，而且不會去掉３ 個。但是四歲多的幼兒，由于大都有了利用實物計算的能力，有些幼兒開始能把用實物計算的方法應用于抽象 的數(shù)目的計算中去。測試結果表明，５以內(nèi)加、減法，很多幼兒不需用手指就可以算出得數(shù)，５以上１０以內(nèi) 的加、減法，四歲多幼兒基本會用手指計算的只占３３％左右，而五歲多幼兒基本會用手指計算的就達７５％ 左右。但是能用手指計算２０以內(nèi)加減法的仍占少數(shù)，約占２５％左右，而且大多是五歲半以上的兒童。這些 幼兒在用手指算２０以內(nèi)的進位加法時，也明顯地反映出半具體半抽象的特點。例如，讓一個五歲八個月的女 孩算“８＋４”，她先伸出８個手指，然后看著手指接著數(shù)４個數(shù)，說得“１２”；另一個五歲９個月女孩， 采取另外一種方法，他伸出４個手指表示要加的４，然后看著手指點數(shù)９、１０、１１、１２，說得“１２” 。
    ３．口頭解答加、減法應用題能力有較大發(fā)展。四、五歲的幼兒絕大多數(shù)能口頭解答５以內(nèi)加、減法應用 題，一半左右能口頭解答１０以內(nèi)加、減法應用題。這與幼兒掌握了用實物計算加、減法有密切的聯(lián)系。在成 人教育的影響下，幼兒通過大量的用實物計算活動，一方面初步理解加、減法的含義，另一方面逐步學會用實 物（特別是手指）計算的方法，從而就為口頭解答加、減法應用題創(chuàng)造了條件。測試結果表明，這個階段的幼 兒口頭解答５以內(nèi)加、減法應用題，正確率都高于相應范圍的抽象數(shù)目的計算，有些幼兒做得還比較熟練。但 是這不能說明幼兒對加、減法的含義和應用已有較深的理解，仍說明這個階段幼兒的加、減法計算的半具體半 抽象的特點

，并在很大程度上是因為聯(lián)系兒童日常生活的事物為兒童提供了具體的直觀的表象。從以下的事實 可以得到證明：１．這個階段的幼兒在操作活動中往往是用“添上”“去掉”等詞語來表示“加”和“減”的 概念的，當出示抽象數(shù)目的式題，如說“３加２”“５減３”時，很多幼兒還不懂“加”“減”的意思，甚至 有用手指計算加法的方法來計算減法。２．有些幼兒不會做５以內(nèi)加、減法的某幾個式題，但是能夠做類似的 應用題，這在減法中尤為明顯。例如，在五歲的幼兒中有５０％不會做式題“５－３”，其中三分之一的幼兒 完全不懂“５－３”的意思，但是都能做對用“５－２”計算的應用題；其中一半幼兒在做式題“５－３”時 不會扳手指，但是做用“５－２”計算的應用題時卻能用扳手指的方法做對了。這說明由于應用題給幼兒提供 了計算活動的情境，使幼兒在頭腦中產(chǎn)生實物計算的表象，借助表象并配合實物計算達到正確地計算出結果。 ３．在口頭解答應用題時，大多數(shù)幼兒只能說出得數(shù)，而說不出加法或減法算式。如五歲多的幼兒能說出加法 算式的只占１／３，能說出減法算式的只有８．３％。說明幼兒雖然能口頭解答一些加、減法應用題，但仍處 在直觀的表象的階段，幼兒對于用加、減法算式來表示生活中的計算問題還沒上升到概括性的認識。
    另外一個值得注意的問題是，這個階段的幼兒在抽象數(shù)目的計算中，一般都表現(xiàn)為加法的成績明顯優(yōu)于減 法的成績。說明減法計算要比加法計算難。這與幼兒的心理發(fā)展有關。按照皮亞杰的觀點，從心理學上講，加 法與減法是一種運算。因為作一個運算，其特點之一是具有可逆的行動。加法作為一種可逆的運算，其本身就 包括了它的逆運算——減法。但是在幼兒期，還缺乏可逆行的運算能力。據(jù)測試，四、五歲幼兒有５０％對提 出的減法題做了加法。其中大多數(shù)是用手指算的。例如，算“３－１”，幼兒左手伸３個手指，右手伸１個手 指，然后合起來數(shù)，說得“４”。少數(shù)幼兒不伸手指，直接按正序數(shù)數(shù)。例如，算“５－３”，一個幼兒按正 序數(shù)１、２、３、４、５、６，說得“６”。在口頭解答減法應用題時，有些幼兒雖然說對了得數(shù)，但是當讓 他們解釋怎樣算的時候，往往說的是加法。例如，提出這樣一道應用題，“小華有５塊餅干，吃了２塊，小華 還剩幾塊餅干？”一個四歲八個月男孩回答，“因為３塊餅干加上２塊餅干，吃了２塊餅干�！币粋�四歲七個 月女孩則回答，“因為３加１等于４，４加１等于５�！保ㄍ瑫r把５個手指和３個手指加起來。）這說明幼兒 在思考減法應用題時，還不會直接用減法計算，而是用嘗試法給減數(shù)添上幾個湊成被減法，從而確定剩余的數(shù) 。在成人看來這樣想似乎是困難的，實際上這是幼兒向可逆行的運算能力發(fā)展的趨型，這樣還為進一步認識加 減法的運算關系做了具體的準備。這種情況在五、六歲的幼兒中也�？吹�。
    （三）抽象數(shù)的加、減計算階段（六—七歲）
    這個階段兒童開始進入抽象數(shù)的加、減計算，這時兒童的加、減計算能力有較快的發(fā)展，主要有以下幾個 特點。
    １．絕大多數(shù)兒童掌握了５以內(nèi)的加、減法，多數(shù)能做１０以內(nèi)加、減法，少數(shù)能做２０以內(nèi)的進位加法 和退位減法，甚至能做１００以內(nèi)比較容易的加、減法。
    ２．依靠實物計算有所減少。特別是５以內(nèi)的加、減法，大多數(shù)兒童能夠不費思索地答出得數(shù)，還需用手 指計算的兒童不到２０％，這同四、五歲幼兒相比已顯著減少。１０以內(nèi)的加、減法，特別是一些數(shù)目較大的 計算，仍有約半數(shù)的兒童往往要用手指計算。至于２０以內(nèi)的加、減法，還有少量兒童不會用手指計算。經(jīng)過 教師的教學，大都能掌握計算的方法。
    ３．有些兒童能夠部分地或完全擺脫實物計算，進入抽象數(shù)的加、減計算。他們的推想方法是多種多樣的 。在做加法時主要采用以下幾種方法：（１）在第一個加數(shù)后面接著數(shù)數(shù)。如８加４，有的兒童能從８起接著 數(shù)４個數(shù)，得到１２。（２）分組加。如６加９，有的兒童想到６加４等于１０，１０再加５等于１５。（３ ）利用熟悉的相同數(shù)加得的和來推算。如４加３，有的兒童想出４加４等于８，再減少１個，得７。這表明這 些兒童已初步理解整體與部分間的某些增減關系和變化規(guī)律。在做減法時主要采用以下幾種方法：（１）倒著 數(shù)數(shù)。如１５減８，從１５起一個一個地倒數(shù)到７。（２）利用加減關系。如８減５，有些兒童能說出，“因 為５加３等于８，８減５就等于３�！北砻鬟@些兒童已經(jīng)具有可逆行的運算能力。（３）利用已熟悉的減法來 推算。如１１減６，有些兒童說１０減６等于４，１１減６等于５。這實際上也是利用了整體與部分間的增減 關系和變化規(guī)律。以上這些推想方法，在一定程度上具有邏輯運算的性質，只是在兒童的頭腦中還是直觀的、 具體的，還沒有形成抽象概括，但是無疑為以后的進一步抽象概括打下了重要基礎。在測試中也發(fā)現(xiàn)有些兒童 對所給的題目能夠正確答出得數(shù)，卻說不出所用的推想方法，或者對１０以內(nèi)加、減法能說清楚，而對２０以 內(nèi)加、減法就說不清楚。這表明這個階段很多兒童對自己的思維還缺乏自我意識的能力。
    這個階段的兒童在做用加、減計算的應用題時，比前一階段也有所發(fā)展。但是由于兒童對加、減法的概念 主要從合并、添加、去掉等方面來理解，因此所能解答的應用題也主要限于這個范圍之內(nèi)。至于求兩數(shù)相差多 少的應用題，兒童還很少理解。據(jù)研究［①］，五、六歲的幼兒理解合并、添加用加法，去掉用減法，可達９ ０％以上，而理解求差需用減法的，只占３０％左右。
    二、幼兒乘、除計算能力的發(fā)展
    幼兒的乘、除計算能力的發(fā)展與加、減計算能力的發(fā)展不同，一般地說是在非教學影響下自發(fā)地發(fā)展起來 的，其發(fā)展的起始較晚，發(fā)展的速度較慢。但是即使如此，不少幼兒用非乘、除計算的方法口頭解答實際問題 的能力也達到一定的水平。
    測試結果表明，能夠用非乘、除計算的方法口頭解答乘、除法應用題的幼兒，最早始于四歲半左右。四歲 半以下的幼兒都不理解題意，很少作出反應。四歲半以上至五歲多的幼兒一般都有反應，但是多數(shù)回答是錯誤 的，能正確算出結果的約占２５％左右。四、五歲幼兒在進行計算時，同做加、減法類似，大多數(shù)依靠實物， 主要是看手指。例如，提出一道乘法應用題，“一個小朋友給２個蘋果，３個小朋友一共要給幾個蘋果？”五 歲八個月的女孩邊伸手指邊說，“一個小朋友給２個，２個小朋友給４個，再來一個小朋友是６個�！碧岢鲆� 道除法應用題，“老師有８支鉛筆，一個小朋友分給２支，可以分給幾個小朋友？”五歲一個月的男孩伸出８ 個手指，把每２個并起來，邊扳手指邊說，“這倆是一個小朋友的，這倆是兩個小朋友的，這倆是３個小朋友 的，這倆是４個小朋友的�！毖哉Z表達雖不確切，但從他的操作過程看，思路是很清楚的。六歲多的幼兒做乘 、除法應用題能正確算出結果的可達半數(shù)左右，而且需要憑借實物操作的有所減少，

開始能夠依靠表象進行思 考。例如，在做乘法應用題時，有的幼兒能用連加法計算，如“２個和２個合起來是４個，再２個，合起來是 ６個�！庇行┯變翰扇×硗庖环N加法，他們的思路是，“一人給１個就要給３個，一人給２個就要加上３個， 所以是６個。”實際上是把人數(shù)作為相同數(shù)相加，這反映了實際分物品的一種方法。在做除法應用題時，有的 幼兒能用同數(shù)連減的方法推算出來；還有的幼兒壓縮了思維過程，簡化了推算步驟，如說“８支鉛筆分給３個 小朋友（以后）還剩２支”，從而確定一共可以分給４個小朋友。從幼兒的推想可以看出，他不僅把除法應用 題與減法應用題聯(lián)系起來，而且注意到他們之間的區(qū)別，即做除法應用題時，不是求剩余多少，而是看分盡時 減去了幾個２支，就是分給幾個小朋友。但是也還有相當數(shù)量的幼兒由于缺乏實際分的經(jīng)驗，不理解題意，把 除法計算與減法計算混同起來。例如，有些幼兒回答說，“給一個小朋友２支，還剩６支，就是發(fā)給６個小朋 友�！边�有些幼兒回答說，“能發(fā)出６支鉛筆。”五歲多的幼兒的回答也有類似的情況。
    三、對發(fā)展幼兒計算能力的幾點意見
    從上面的調查研究可以看出，學齡前兒童計算能力的發(fā)展也具有一定的順序性和階段性。一般地說，稍遲 于兒童數(shù)概念的發(fā)展。三歲以下的幼兒，對加、減計算基本上處于朦朧狀態(tài)。三歲多幼兒開始進入加、減法的 實物操作階段。他們能夠用實物操作（包括數(shù)手指）做一些簡易的加、減計算，但是還不能用來解決他們不熟 悉的或數(shù)目稍大的計算題。四、五歲的幼兒，進入半具體半抽象的階段。一方面逐步完善較小數(shù)目的加、減計 算的實物操作，另一方面逐步擴大數(shù)的計算范圍；但是他們在很大程度上仍依靠實物操作的方法來進行抽象數(shù) 目的計算，只對較小的數(shù)目的加、減法能夠擺脫實物或手指來進行計算。六、七歲的幼兒開始進入抽象數(shù)的加 、減計算階段。這一時期幼兒依靠實物操作進行計算有所減少，一部分幼兒能夠進行抽象數(shù)目的加、減計算， 有些幼兒的抽象思維還達到較高的水平。四歲半以后，有些幼兒的乘、除計算能力也開始發(fā)展，但是仍限于用 非乘、除的計算方法來口頭解答乘、除法應用題。幼兒的這些計算能力發(fā)展的特點，不僅為學前的數(shù)學教育提 供有利的科學依據(jù)，也對小學的數(shù)學啟蒙教育具有很大的參考價值。
    下面就如何根據(jù)幼兒的年齡特點，發(fā)展幼兒的計算能力，談一點個人意見。
    （一）幼兒的計算教學的內(nèi)容和要求要適應兒童的年齡特點，不宜要求過高。學齡前兒童的教育屬于預備 教育的性質，計算知識和技能的教育也要在這一基本前提下根據(jù)幼兒的發(fā)展特點適當教給一些極初步的、簡易 的計算知識和技能，不能要求過多過高，否則不利于幼兒德、智、體、美、勞的全面發(fā)展。
    從國際上看，很多國家對幼兒的計算教育也是比較低的。例如，在日本，幼兒在六歲上小學以前完全不教 加、減計算。在羅馬尼亞，幼兒進入小學前只教加１減１的計算。在俄羅斯，幼兒在學前只教一些簡易的１０ 以內(nèi)加、減法，加法只限較大數(shù)加較小數(shù)，減法只限減數(shù)小于差的，計算方法也只限于逐次加１或逐次減１。 美國學前也只教１０以內(nèi)簡易的加、減法。從前邊測試的結果看，我國六歲以下的幼兒，由于教學和家庭的影 響，雖然能做一些加、減計算，但是大都依靠手指，有些幼兒還不會利用手指進行計算；六歲以上的幼兒做加 、減法，也還有少一半要依靠手指。從普及的角度考慮，為了不加重幼兒的學習負擔，使幼兒的身心得到健康 的發(fā)展，也避免造成幼兒園與小學的過多重復，可以把幼兒園的計算內(nèi)容限定在１０以內(nèi)加、減法，而且不宜 要求達到像小學一年級那樣熟練，只要通過實物操作初步理解加、減法的含義，能正確算出較容易的１０以內(nèi) 加、減法的得數(shù)就可以了。
    （二）計算教學的順序要適合幼兒的心理發(fā)展順序。教幼兒計算按照什么順序進行，過去往往帶有盲目性 。例如，有一些家長一開始就教幼兒抽象數(shù)目的加、減計算，有些幼兒園或學前班則基本按照教小學生的順序 來教幼兒計算，這都是違反客觀規(guī)律的。如前所述，幼兒的加、減計算能力的發(fā)展特點是，從實物操作過渡到 半具體半抽象再過渡到抽象數(shù)目的加、減計算。因此加、減計算的教學應基本符合這一發(fā)展順序。也要教幼兒 認數(shù)那樣，適當分散教學，循序前進，逐步擴展和提高�？梢詮乃臍q開始，先教幼兒進行實物操作，如把兩堆 物品合并起來（總數(shù)不能過５），數(shù)出物品的總數(shù)；或從一堆物品（總數(shù)不超過５）中拿走一部分，數(shù)一數(shù)還 剩多少。通過操作給幼兒積累一些加、減法的感性經(jīng)驗，初步體會“添上”“去掉”的含義就行了。對五歲的 幼兒，可以先結合認數(shù)并通過實物操作教給一個數(shù)添上１個得到它后面的一個數(shù)，從一個數(shù)里去掉１個得到它 前面的一個數(shù)。在此基礎上出現(xiàn)“加”和“減”的含義以及加１、減１的計算。由于把最簡單的加、減計算與 數(shù)數(shù)密切結合起來，便于理解和掌握。以后進一步可以教加２、減２的計算方法，使幼兒學會在一個數(shù)后面接 著數(shù)２個數(shù)（即逐次加１），或由這個數(shù)往前倒數(shù)２個數(shù)（即逐次減１）。再往后可引導幼兒脫離實物操作來 推想。這種方法雖然比較原始，但是在幼兒已有的感性經(jīng)驗的基礎上逐步概括提高，比利用數(shù)的組成容易掌握 ，也有助于理解加、減法的含義；而且幼兒掌握了方法以后，即使沒有學過的加、減法，也可以推想出來，從 而有助于發(fā)展幼兒的初步遷移能力。此外還要重視口頭解答應用題的教學。如果在上述這些內(nèi)容給幼兒打好基 礎，就可為小學進行較系統(tǒng)的學習做較好的準備。
    （三）教學方法也要適應幼兒的年齡特點。幼兒的計算教學是極初步的啟蒙性質的數(shù)學教學，同時培養(yǎng)幼 兒對數(shù)的計算的興趣，為以后上小學做些初步的準備。要達到這一目的，選用適當?shù)慕虒W方法就非常重要。首 先要注意通過各種游戲和有趣的活動來進行計算的教學，使幼兒在游戲、玩耍中學到極初步的計算知識，并且 自始至終注意培養(yǎng)幼兒對計算的興趣。其次教學時選用的方法要符合幼兒的年齡特點。例如，教四歲的幼兒計 算只要進行一些實物操作就可以了，活動的時間不宜太長。就是到了大班，教學一些以抽象為目的的計算也不 能完全離開實物操作，注意在實物操作的基礎上進行適當?shù)某橄�、概括。因為整個幼兒階段思維的特點還是以 形象思維為主。此外，在游戲、操作等活動中都要注意啟發(fā)幼兒的思考，調動幼兒思維的積極性，使幼兒在學 到極初步的計算知識的同時，思維能力也得到初步的發(fā)展。
    ＊本文引用的材料，主要是對北京市一所街道幼兒園和一所小學初入學的兒童，以及河北省萬全、陽原兩 縣農(nóng)村兒童的調查結果，同時參考了全國九個地區(qū)３—７歲兒童數(shù)概念和運算能力發(fā)展的研究報告。
    ①見佐藤俊太郎《兒童加減法概念的發(fā)展》，數(shù)學教育國際會議論文摘要，１９８３年，東京。＊

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