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淺談高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)
摘要： 培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的迫切要求，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終都應(yīng)注重學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)新教材在每章開頭的序言，問題引入，例、習(xí)題，“實(shí)習(xí)作業(yè)”和“研究性課題”中都編排了大量的應(yīng)用問題，應(yīng)根據(jù)高中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維特點(diǎn)進(jìn)行應(yīng)用問題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力。關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué) 課程 應(yīng)用意識(shí) 實(shí)踐
培養(yǎng)和提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生掌握提出、分析和解決帶有實(shí)際意義的或在相關(guān)學(xué)科，生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題，準(zhǔn)確而靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言研究和表述問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的迫切要求，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的始終都應(yīng)注重學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，加大應(yīng)用問題的教學(xué)力度。
一、高中數(shù)學(xué)新教材中的應(yīng)用問題
傳統(tǒng)教材對(duì)知識(shí)的來龍去脈和數(shù)學(xué)的應(yīng)用重視不夠，不重視引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決日常生活、生產(chǎn)中遇到的實(shí)際問題，學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不夠，解決實(shí)際問題的能力脆弱。新教材對(duì)此做了大的調(diào)整，增加了具有廣泛應(yīng)用性、實(shí)踐性的教學(xué)內(nèi)容，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生分析問題，解決問題的能力，把培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)貫穿在教材的各個(gè)方面。
1 、每一章的序言，都編排了一個(gè)現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用問題，引入該章的知識(shí)內(nèi)容，以突出知識(shí)的實(shí)際背景。如在第三章《數(shù)列》以趣味話題：“國王對(duì)國際象棋棋盤發(fā)明者獎(jiǎng)勵(lì)的麥粒數(shù) ”的計(jì)算作為章頭序言，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望，增加教材內(nèi)容的趣味性。
在教材的編排上，既用通俗易懂的語言，陳述問題，又附以插圖增強(qiáng)直觀形象性、趣味性。
2 、在研究“具體問題”時(shí)以實(shí)際例子引入課題
高中數(shù)學(xué)的十章內(nèi)容中，分別就概念引入、實(shí)例說明、數(shù)學(xué)表示等方面有三十一處都恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用了實(shí)際問題和具體情景。如用“不同重量信件的郵資問題”表示分段函數(shù)，用功和位移的關(guān)系引入向量數(shù)量積的概念等。實(shí)例引入增強(qiáng)了問題的實(shí)際背景，為順利解決問題作了鋪墊。
3 、例題中的應(yīng)用問題
例題中安排應(yīng)用問題，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，而且通過范例講解，使學(xué)生掌握解決應(yīng)用問題的一般思想和方法。新教材的十章內(nèi)容中共有 41 個(gè)例題是涉及數(shù)學(xué)應(yīng)用的，占例題總數(shù)的 14.6% ，它們都非常接近學(xué)生的生活實(shí)際和所學(xué)知識(shí)，難易適中，示范性強(qiáng)。
4 、練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題中增加了應(yīng)用問題的分量
為使學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，逐步提高分析問題、解決問題的能力，新教材在練習(xí)題，習(xí)題，復(fù)習(xí)題中增加了大量的應(yīng)用問題，其中練習(xí)題有 45 題，占總數(shù)的 12.4% ；習(xí)題有 105 題，占總數(shù)的 18.15% ；復(fù)習(xí)題有 50 題，占總數(shù)的 14.91% 。分別涉及增長率、行程問題、物理、化學(xué)、生物問題，儲(chǔ)蓄等各個(gè)方面，量大面寬，情景新穎，融知識(shí)性，趣味性，自主實(shí)踐性于一體。
5 、閱讀材料
問題生動(dòng)有趣，貼近學(xué)生生活，擴(kuò)大學(xué)生閱讀面的閱讀材料，新教材中共安排了 15 個(gè)，其中：
（ 1 ）歷史故事方面的，如第二章《函數(shù)》的“對(duì)數(shù)和指數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史”，第五章《平面向量》中的“人們?cè)缙谑窃趺礃訙y(cè)量地球的半徑的？”
（ 2 ）介紹數(shù)學(xué)應(yīng)用方面，如第八章《圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及應(yīng)用》，第十章《抽簽有先后，對(duì)各人公平嗎？》。
（ 3 ）擴(kuò)充知識(shí)方面，有第五章《平面向量》中的“向量的三種類型”等。
6 、新增了“實(shí)習(xí)作業(yè)”和“研究性課題”。
為了使學(xué)生親自體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主活動(dòng)性，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。新教材安排了三次實(shí)習(xí)作業(yè)，一是 “函數(shù)關(guān)系的實(shí)習(xí)作業(yè)”，讓學(xué)生調(diào)查研究附近商店、工廠、學(xué)校潛在的函數(shù)問題；二是利用“平面向量”知識(shí)解決不能直接測(cè)量的距離、方向問題。三是“線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用”。
研究性課題是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力的重要內(nèi)容，新教材分別在第三、五、七、九章中安排了四個(gè)研究性課題：“分期付款中的有關(guān)計(jì)算”、“向量在物理學(xué)中的應(yīng)用”、“線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用”、“多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)”，讓學(xué)生動(dòng)手操作，選擇優(yōu)化方案、歸納概括，恰當(dāng)建模，運(yùn)用理論指導(dǎo)實(shí)踐。
二、高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題問題的教學(xué)實(shí)踐
高中學(xué)生年齡一般在 15 — 17 周歲，他們認(rèn)識(shí)過程的各種心理成份雖已接近成人的水平，但智力活動(dòng)帶有明顯的隨意性，其抽象思維從“經(jīng)驗(yàn)型”向“理論型”急劇轉(zhuǎn)化。能夠逐步的擺脫具體形象和直接經(jīng)驗(yàn)的限制，借助于概念進(jìn)行合乎邏輯的抽象思維活動(dòng)，開始在教師幫助下獨(dú)立地搜集事實(shí)材料，進(jìn)行分析綜合，抽象概括事物的本質(zhì)屬性。因此，應(yīng)結(jié)合學(xué)生的心理特點(diǎn)和思維規(guī)律，進(jìn)行應(yīng)用問題的教學(xué)。
1 、重視基本方法和基本解題思想的滲透與訓(xùn)練
為培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力，教學(xué)中首先應(yīng)結(jié)合具體問題，教給學(xué)生解答應(yīng)用題的基本方法、步驟和建模過程，建模思想。
教學(xué)應(yīng)用題的常規(guī)思路是：將實(shí)際問題抽象、概括、轉(zhuǎn)化 -- à 數(shù)學(xué)問題 à 解決數(shù)學(xué)問題 à 回答實(shí)際問題。具體可按以下程序進(jìn)行：
（ 1 ）審題：由于數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及實(shí)際問題非數(shù)學(xué)情景的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題，舍棄與數(shù)學(xué)無關(guān)的因素，抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系。為此，引導(dǎo)學(xué)生從粗讀到細(xì)研，冷靜、慎密的閱讀題目，明確問題中所含的量及相關(guān)量的數(shù)學(xué)關(guān)系。對(duì)學(xué)生生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學(xué)生將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化。
（ 2 ）建模：明白題意后，再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析題目中各量的特點(diǎn)，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數(shù)式表示，它們之間存在著怎樣的聯(lián)系？將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言或圖形語言，找到與此相聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)，建成數(shù)學(xué)模型。
（ 3 ）求解數(shù)學(xué)問題，得出數(shù)學(xué)結(jié)論
（ 4 ）還原：將得到的結(jié)論，根據(jù)實(shí)際意義適當(dāng)增刪，還原為實(shí)際問題。
例：某城市現(xiàn)有人口總數(shù) 100 萬人，如果年自然增長率為 1.2 ％，寫出該城市人口總數(shù) y( 人 ) 與年份 x( 年 ) 的函數(shù)關(guān)系式
這是一道人口增長率問題，教學(xué)時(shí)為幫助學(xué)生審題，我在指導(dǎo)學(xué)生閱讀題時(shí)，提出以下要求：
——粗讀，題目中涉及到哪些關(guān)鍵語句，哪些有用信息？解釋“年自然增長率”的詞義，指出：城市現(xiàn)有人口、年份、增長率，城市變化后的人口數(shù)等關(guān)鍵量。
——細(xì)想，問題中各量哪些是已知的，那些是未知的，存在怎樣的關(guān)系？
——建模，啟發(fā)學(xué)生分析這道題與學(xué)過的、見過的哪些問題有聯(lián)系，它們是如何解決的？對(duì)此有何幫助？
學(xué)生討論后，從特殊的 1 年、 2 年…抽象歸納，尋找規(guī)律，探討 x 年的城市總?cè)丝趩栴}： y=100(1+1.2%) x .
2 、引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用問題進(jìn)行歸類
為了增強(qiáng)學(xué)生的建模能力，在應(yīng)用問題的教學(xué)中，及時(shí)結(jié)合所學(xué)章節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用問題進(jìn)行歸類使學(xué)生掌握熟悉的實(shí)際原型，發(fā)揮“定勢(shì)思維”的積極作用，可順利解決數(shù)學(xué)建模的困難，如將高中的應(yīng)用題歸為：①增長率（或減少率）問題②行程問題③合力的問題④排列組合問題⑤最值問題⑥概率問題等。這樣，學(xué)生遇到應(yīng)用問題時(shí)，針對(duì)問題情景，就可以，通過類比尋找記憶中與題目相類似的實(shí)際事件，利用聯(lián)想，建立數(shù)學(xué)模型。
3 、針對(duì)不同內(nèi)容采取不同教法
高中新教材的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題遍及教材的各個(gè)方面，教學(xué)時(shí)針對(duì)不同內(nèi)容，有的放矢，各有側(cè)重，就會(huì)取得較好的效果。
（ 1 ）章頭序言，指導(dǎo)閱讀，留下懸念
對(duì)圖文并茂的章頭序言，由教師簡(jiǎn)單提出或由學(xué)生閱讀，使學(xué)生稍作碰壁，留下解題懸念，增強(qiáng)解決問題的欲望。
（ 2 ）重視例題的示范作用
例題是連接理論知識(shí)，與問題之間的橋梁，示范性強(qiáng)。因此在講解例題時(shí)應(yīng)在分析題目各個(gè)量的特點(diǎn)關(guān)系，建模，解決數(shù)學(xué)問題、還原為實(shí)際問題諸環(huán)節(jié)都應(yīng)很好的起示范作用，教師應(yīng)重視例題的分析與講解，積極進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題、尋求基本實(shí)際模型的能力，重視數(shù)學(xué)理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用的聯(lián)系。
（ 3 ）指導(dǎo)練習(xí)，鞏固方法
充分運(yùn)用課本的練習(xí)題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題，讓學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦，應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問題。練習(xí)題位于具體的理論知識(shí)后面，建模方向性強(qiáng)，教師只需稍作指導(dǎo)；而習(xí)題則更多利用教師批改作業(yè)的機(jī)會(huì)，主要糾正數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化過程，及解題的規(guī)范過程；復(fù)習(xí)題由于綜合性強(qiáng)，學(xué)生解決有困難，教師要給予必要的指導(dǎo)、提示。
（ 4 ）課外閱讀，補(bǔ)充提高
對(duì)于不作教學(xué)要求的閱讀材料，根據(jù)教學(xué)進(jìn)度提出閱讀要求，布置學(xué)生進(jìn)行課外閱讀，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，擴(kuò)大知識(shí)面，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
（ 5 ）實(shí)習(xí)作業(yè)，重視實(shí)際操作與團(tuán)結(jié)協(xié)作
完成實(shí)習(xí)作業(yè)，可以打破單一沉寂的課堂教學(xué)氛圍，激發(fā)學(xué)生的探索精神，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和創(chuàng)新能力。但實(shí)際問題的因素是錯(cuò)綜復(fù)雜的，這就要求學(xué)生在調(diào)查、分析、研究的基礎(chǔ)上，抓住本質(zhì)，通過篩選，去粗取精，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行建模解決實(shí)際問題。如第五章《三角函數(shù)》中的實(shí)習(xí)作業(yè)，對(duì)⒛苤苯硬飭康牧降愕木嗬耄?淌ρ《ǚ?弦?蟮牡氐悖?櫓???導(dǎo)什飭浚?ü?撲閆鶻?屑撲悖???酥潞芨擼?乇鶚嵌浴耙閻?獎(jiǎng)吆鴕歡越恰苯餿?切蔚娜?智榭觶?ü??植僮鰨?檔夭飭浚?由鈑跋歟?し⒘搜??奶剿骶?瘢?鑾苛搜??母行勻鮮丁?nbsp;
（ 6 ）研究性課題，重視自主探究
“研究性課題”是新教材中的一個(gè)專題性欄目，具有探究性和應(yīng)用性的特點(diǎn)，它既是所學(xué)內(nèi)容的實(shí)際綜合應(yīng)用，又對(duì)學(xué)生探究和解決問題具有較好的訓(xùn)練價(jià)值。
§ 3.6 的“研究性課題”，一個(gè)有關(guān)分期付款的問題，因?yàn)楹芏嗳艘淮涡缘刂Ц妒蹆r(jià)較高的商品款額有一定困難，另一方面不少商家也不斷改進(jìn)營銷策略，方便顧客購物和付款，它與每個(gè)家庭的日常生活密切相關(guān)，在今天的商業(yè)活動(dòng)中應(yīng)用日益廣泛。對(duì)它的探究將會(huì)引起學(xué)生極大的興趣，教學(xué)這一課題時(shí)，應(yīng)突出以學(xué)生探究為主，教師點(diǎn)拔、介紹為輔，教師不斷提出問題，介紹情況、啟發(fā)誘導(dǎo)。鼓勵(lì)學(xué)生研究和探索。
第一步，讓學(xué)生閱讀教材 P 134 的方案表，明確每個(gè)付款方案的次數(shù)、方式。
第二步，引導(dǎo)學(xué)生探究第二種方案，即分 6 次付清，購買后第 2 個(gè)月第一次付款，再過 2 個(gè)月第 2 次付款，…購買后 12 個(gè)月第 6 次付款，月利率為 0.89 ％，每月利息按復(fù)數(shù)計(jì)算。
首先，學(xué)生根據(jù)要求試做，不少學(xué)生得出每期付款 元，也有學(xué)生得出每期付款 元。這時(shí)教師不必指出對(duì)錯(cuò)，進(jìn)一步分析、調(diào)整學(xué)生思維，這兩種方式對(duì)誰有利？學(xué)生計(jì)算后，自然得出前者對(duì)顧客有利，商家吃虧，而后者對(duì)商家有利，顧客吃虧，都不符合買賣公平的原則。
然后，教師適時(shí)的指出分期付款的條件，引導(dǎo)學(xué)生將原問題進(jìn)行以下分解：
①商品售價(jià)時(shí)的貨款到全部付清時(shí)增值到多少？
②各期所付款額到貸款全部付清時(shí)分別增值到多少？
③利用付款中的有關(guān)規(guī)定列出方程：
最后，引導(dǎo)深化——研究不同方案及一般結(jié)論，讓學(xué)生計(jì)算方案 1 、 3 ，教師巡視指導(dǎo)，再由學(xué)生分組交流、比較結(jié)果，選擇最優(yōu)方案，得出一般結(jié)論。
三、對(duì)高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)建議
1 、在數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)和對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)中，應(yīng)重視介紹數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈。
一般情況下，數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生不外乎實(shí)際的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要，高中階段所學(xué)的知識(shí)大都是來源于實(shí)際生活，許多的數(shù)學(xué)知識(shí)都有具體直接的應(yīng)用，如高二運(yùn)用不等式的性質(zhì)計(jì)算最值，線性規(guī)劃，高三的概率統(tǒng)計(jì)等。應(yīng)該讓學(xué)生充分實(shí)踐和體驗(yàn)這些知識(shí)是如何使用的，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。
2 、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)語言描述周圍世界中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象
數(shù)學(xué)語言可以清楚、簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地描述日常生活中的許多現(xiàn)象，讓學(xué)生養(yǎng)成樂意運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的習(xí)慣，既可以增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，也可以提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。在教學(xué)中，需幫助學(xué)生形成一個(gè)開闊的視野，了解數(shù)學(xué)對(duì)于人類發(fā)展的應(yīng)用價(jià)值。在知識(shí)實(shí)踐，能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)主動(dòng)地向?qū)W生展示現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，向?qū)W生提供豐富的閱讀材料，讓學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)知識(shí)是密切相關(guān)，處處聯(lián)系的。
3 、關(guān)于應(yīng)用問題中的算法問題
新教材要求用科學(xué)計(jì)算器，處理、計(jì)算數(shù)值，在例題、習(xí)題中給出的數(shù)據(jù)都比較復(fù)雜，我認(rèn)為高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的重點(diǎn)是數(shù)學(xué)建模，所以正確建模，明白算法、算理應(yīng)占主流，一味追求“實(shí)際”，多次出現(xiàn)一些復(fù)雜數(shù)據(jù)，會(huì)沖淡主要問題的解決。事實(shí)上，每節(jié)中只要有一兩道實(shí)際數(shù)據(jù)的題目，其他的可選擇特殊數(shù)據(jù)或干脆用字母表示，不僅可突出算理，而且會(huì)加強(qiáng)應(yīng)用問題的分析，節(jié)省時(shí)間，體現(xiàn)字母代數(shù)的優(yōu)越性。
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