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培養(yǎng)數(shù)學思維的批判性和敏捷性
（文 張?zhí)煨ⅲ?數(shù)學思維的批判性是一種思維品質(zhì)，它指學生在思維活動中善于估計思維材料、檢查思維過程，不盲從、 不輕信。思維的批判性來自學生對思維活動各環(huán)節(jié)、各方面的調(diào)整、校正，即自我意識。這種自我意識的“調(diào) 整”“校正”又來自學生對問題本質(zhì)的認識。只有深刻的認識、周密的思考，才能全面正確地作出判斷。因此 ，思維的批判性是在深刻性基礎(chǔ)上發(fā)展起來的思維品質(zhì)。
小學數(shù)學思維的批判性，在概括過程中表現(xiàn)為善于精細地估計數(shù)學材料，準確選擇推理條件；善于從正反 兩方面思考推理過程，并能及時調(diào)整和校正。在推理過程中表現(xiàn)為善于從不同角度、正反兩方面去理解概念， 區(qū)分相近概念；善于區(qū)別不同的運算法則、定律、性質(zhì)及其適用的條件；善于發(fā)現(xiàn)并指出理解過程中可能出現(xiàn) 的錯誤傾向，排除錯誤的干擾。在運算過程中表現(xiàn)為解決數(shù)學問題時善于排除無關(guān)因素的影響；善于進行辯證 地思索與分析，自覺檢查思維過程，自我控制和調(diào)整思維方向，對解答結(jié)果能自覺作出估計和檢驗。在維理效 果上表現(xiàn)為推斷、估計、自學以及對結(jié)論與推理過程進行評價的能力較強。
怎樣培養(yǎng)和訓練學生科學思維的批判性？
在掌握知識的過程中，教師要鼓勵學生獨立思考，發(fā)表自己的見解，形成“自由爭辯”的學風。小學生往 往受思維定勢的影響，盲目隨從，這不利于增強思維的批判性。為克服學生的盲從心理，教師有時可故意制造 一些錯誤，讓學生去發(fā)現(xiàn)、評價。如教學三角形面積，出示左圖，要求學生根據(jù)圖中數(shù)據(jù)用兩種方法求圖形面 積（單位：厘米）。學生計算后發(fā)現(xiàn)，兩組相對應的底和高求出的面積不相等。這是為什么？教師便引導學生 討論，找原因，從而發(fā)現(xiàn)，兩條直角邊長度之和等于另一條邊，就不可能組成一個三角形。這樣設計，在審題 時即對題目條件的可靠性進行論證，無疑培養(yǎng)了學生思維的批判性。同時還向?qū)W生滲透了“三角形兩邊之和必 大于第三邊”的知識。
（附圖 {圖}）
在運用知識解決數(shù)學問題的過程中，教師應著力培養(yǎng)學生“自我反省”的習慣。由于學生自我意識的發(fā)展 還不成熟，往往忽視自己的內(nèi)部心理活動，對自己思維的破綻、錯誤不易注意。因此，在組織練習的過程中， 要經(jīng)常引導學生反省自己的思維，自覺地表述思維過程，自覺地加以檢驗。另外，進行多項選擇題的訓練，也 有利于思維批判性的發(fā)展。多項選擇題和其它類型相比，問題提法改變了，題目雖然不大，涉及內(nèi)容卻很廣， 有很多的陷井，要想選出正確的答案，必須用批判的態(tài)度去思考。
數(shù)學思維的敏捷性是指思維過程的簡縮性和快速性。具有這一思維品質(zhì)的人處理問題和解決問題時能適應 緊急的情況，迅速作出正確判斷。在數(shù)學學習中，具有這一品質(zhì)的學生能縮短運算環(huán)節(jié)和推理過程，“直接” 得到結(jié)果�？唆斀荽幕难芯勘砻�，推理的縮短取決于概括，“能‘立即’進行概括的學生，也能‘立即’進 行推理的縮短�！�
小學生數(shù)學思維的敏捷性，在概括過程中表現(xiàn)為善于快速地概括出數(shù)、式、形和數(shù)量關(guān)系中的數(shù)學特征、 規(guī)律以及相應的解題技巧。在理解過程中表現(xiàn)為善于迅速地抓住數(shù)學問題的實質(zhì)，熟練地進行等價變換。在運 用過程中表現(xiàn)為用壓縮了的結(jié)構(gòu)進行數(shù)學思維，思路清晰，彎路少。在推理效果上表現(xiàn)為從冗長的分析推理中 解脫出來，減少中間環(huán)節(jié)，簡縮數(shù)學推理過程和相關(guān)的運算系統(tǒng)。
培養(yǎng)和訓練學生思維的敏捷性，在掌握知識的過程中，要注意抓基礎(chǔ)促遷移，于簡明的結(jié)構(gòu)中包含較大的 知識容量，把小學數(shù)學中的基本概念和基本原理放在教材的中心地位，作為教材的基本結(jié)構(gòu)，并充分發(fā)揮這種 知識結(jié)構(gòu)所具有的知識之間的聯(lián)結(jié)和轉(zhuǎn)換功能。例如，以“兩商之差”數(shù)量關(guān)系為基本結(jié)構(gòu)的應用題，抓住a/ b-a/c=f這一結(jié)構(gòu)形式，就可把以下具有可逆關(guān)系的12種題型統(tǒng)一在這個關(guān)系之中。
(1)原計劃30天生產(chǎn)360臺機器，實際20天完成。實際每天比原計劃多生產(chǎn)多少臺？(360/20-360/30=f)
(2)生產(chǎn)360臺機器，原計劃每天生產(chǎn)12臺，實際每天生產(chǎn)18臺。實際可提前幾天？(360/12-360/18=f)
(3)原計劃30天生產(chǎn)360臺機器，實際每天多生產(chǎn)6臺，實際多少天完成？(360/b-360/30=6)
(4)生產(chǎn)360臺機器，實際每天生產(chǎn)18臺，結(jié)果提前10天完成。原計劃每天生產(chǎn)幾臺？(360/b-360/18=10)
(5)生產(chǎn)360臺機器，實際20天完成，每天比原計劃多生產(chǎn)6臺，原計劃多少天完成？(360/20-360/c=6)
(6)生產(chǎn)360臺機器，原計劃每天生產(chǎn)12臺，實際提前10天完成，實際每天生產(chǎn)幾臺？(360/12-360/c=10)
(7)生產(chǎn)一批機器，原計劃30天完成，實際20天完成。實際每天比原計劃多生產(chǎn)6臺，這批機器有多少臺？ (a/20-a/30=6)
(8)生產(chǎn)一批機器，原計劃每天生產(chǎn)12臺，實際每天生產(chǎn)18臺，結(jié)果提前10天完成，這批機器有多少臺？( a/12-a/18=10)
(9)生產(chǎn)360臺機器，原計劃完成的時間是實際的1.5倍，實際每天比原計劃多生產(chǎn)6臺，實際多少天完成？ (360/b-360/1.5b=6)
(10)生產(chǎn)360臺機器，實際每天生產(chǎn)的是原計劃的1.5倍，實際提前6天完成。原計劃每天生產(chǎn)多少臺？(36 0/b-360/1.5b=6)
(11)生產(chǎn)360臺機器，實際完成的天數(shù)是原計劃的2/3，實際每天比原計劃多生產(chǎn)6臺，原計劃多少天完成？ [360/(2c/3)-360/c=6]
(12)要生產(chǎn)360臺機器，原計劃每天生產(chǎn)的是實際的2/3，實際提前10天完成，實際每天生產(chǎn)多少臺？[360 /(2c/3)-360/c=10]
這是一種結(jié)構(gòu)的方法。這種方法高于用單純分析和說明數(shù)量關(guān)系的解釋方法。其本質(zhì)是從相互聯(lián)系相互作 用的內(nèi)在規(guī)律上揭示數(shù)量關(guān)系。而且研究數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)形式，可以運用遷移的規(guī)律解決同構(gòu)異素問題。某些 應用題盡管在具體內(nèi)容上不同，但實際上具有相似的結(jié)構(gòu)形式，這就是同構(gòu)異素問題。教學時可以使形式超脫 內(nèi)容，把不同題材中共同的結(jié)構(gòu)形式分離出來，進一步抽象化、符號化，只研究結(jié)構(gòu)形式之間的關(guān)系。一般來 說，概括程度越高，遷移量也就越大。小學數(shù)學中按照抓基礎(chǔ)、促遷移、簡結(jié)構(gòu)、大容量的原則來組織教學內(nèi) 容，有利于培養(yǎng)學生數(shù)學思維的敏捷性。
在運用知識解決問題的過程中，教師可引導學生自覺地、合理地聯(lián)想來訓練他們思維的敏捷性。聯(lián)想，即 把解決簡單問題所采用的手段和所獲得的結(jié)論，類推到較復雜的情境中，迅速找到解決問題的辦法。解決數(shù)學 問題的聯(lián)想，大都可以看作關(guān)系聯(lián)想。數(shù)學概念之間、數(shù)學現(xiàn)象之間的聯(lián)系是多種多樣的。關(guān)系聯(lián)想是這多種 多樣聯(lián)想的反映。聯(lián)想豐富了，想象也就豐富了，思維的活力增強，思維的敏捷性自然就提高了。
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