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如何提高分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題能力
如何提高分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題能力一、課題背景、意義及介紹
1、背景說(shuō)明（怎么會(huì)想到本課題的）：
“百分?jǐn)?shù)”是六年級(jí)較為重要的教學(xué)內(nèi)容，用“百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題”在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用， 如求各種百分率、成數(shù)與折扣、納稅等等，研究性學(xué)習(xí)既擴(kuò)大了學(xué)生所學(xué)的知識(shí)范圍，又能加深對(duì)百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也滲透了概率統(tǒng)計(jì)思想。正是由于這方面思考，促使我運(yùn)用“研究性學(xué)習(xí)”來(lái)開(kāi)展這部分的思考和教學(xué)，希望通過(guò)這一實(shí)踐來(lái)貫徹探究性學(xué)習(xí)理念。
2、課題的意義（為什么要進(jìn)行本課題的研究）：
用“百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題”的實(shí)用性比較強(qiáng)，這一內(nèi)容具有研究性和實(shí)踐性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更具開(kāi)放性，在學(xué)習(xí)中更能激發(fā)學(xué)生的積極性和探究欲望，培養(yǎng)學(xué)生綜合能力。教師更能通過(guò)實(shí)施研究性學(xué)習(xí)來(lái)貫徹新課標(biāo)的理念，豐富我們的課堂教學(xué)。
3、課題介紹
用“百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題”教學(xué)通過(guò)學(xué)生親身經(jīng)歷研究達(dá)標(biāo)率、發(fā)芽率、增長(zhǎng)率、稅率、利率等問(wèn)題，學(xué)習(xí)用百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。
二、研究性學(xué)習(xí)的教學(xué)目的和方法
知識(shí)目標(biāo)：
1、讓學(xué)生理解生活中的百分率的含義，掌握求達(dá)標(biāo)率、發(fā)芽率、增長(zhǎng)率、稅率、利率等百分率的方法。
2、能用百分率解決生活中一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，知道納稅人和負(fù)稅人的區(qū)別聯(lián)系，通過(guò)調(diào)查與研究，認(rèn)識(shí)儲(chǔ)蓄的意義和了解主要的存款方式，掌握利息的計(jì)算方法，會(huì)正確地計(jì)算存款利息。構(gòu)建用百分?jǐn)?shù)計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。
技能目標(biāo)：
1、讓學(xué)生在自主探索、合作交流的過(guò)程中理解百分率的意義，探求百分率的計(jì)算方法，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。
2、培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)、策略意識(shí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
情感目標(biāo)：
1、讓學(xué)生在具體的情況中感受百分?jǐn)?shù)來(lái)源于實(shí)際，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活的意識(shí)，在應(yīng)用中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值。培養(yǎng)學(xué)生初步的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。
2、培養(yǎng)學(xué)生積極探索的科學(xué)精神，使其體會(huì)到在合作中從事科學(xué)研究的魅力。
三、參與者特征分析
起點(diǎn)能力分析：
學(xué)生以前學(xué)過(guò)求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題與分?jǐn)?shù)應(yīng)用題分析過(guò)程一致的地方，即明確以誰(shuí)作單位“1”,確定了誰(shuí)和誰(shuí)比，根據(jù)所學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，找到計(jì)算方法，懂得計(jì)算結(jié)果用百分?jǐn)?shù)表示。
認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析：
學(xué)生原有的對(duì)用分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題與當(dāng)前所學(xué)用百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題的分析方法是相同的，具有可利用性、可分辨性的特點(diǎn)，有利于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)新知。
學(xué)習(xí)態(tài)度分析：
在活動(dòng)的安排上有調(diào)查研究、小組合作、動(dòng)手操作（畫(huà)圖表）等學(xué)生所喜歡的學(xué)習(xí)方式，能增進(jìn)學(xué)生的學(xué)校興趣。
學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)分析：
學(xué)習(xí)者是六年級(jí)的學(xué)生，具有一定的研究性學(xué)習(xí)經(jīng)歷，善于思考和同學(xué)交流，語(yǔ)言表達(dá)能力較強(qiáng)，對(duì)研究問(wèn)題有著濃厚的興趣。
四、研究過(guò)程
數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種學(xué)習(xí)方式。它不僅可以鞏固學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且能夠幫助學(xué)生更加深入地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的文化意蘊(yùn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。
一、等價(jià)變換——數(shù)量關(guān)系的不同表述
教學(xué)片段一
師：同學(xué)們，你們能根據(jù)所給的線段圖說(shuō)出它們的數(shù)量關(guān)系嗎？
生：紅花是白花的50%（或 ）；
白花是紅花的2倍；
白花比紅花多100%;
紅花和白花的朵數(shù)比是1∶2;
紅花是紅白花總數(shù)的 ;
……
師：可見(jiàn)同一個(gè)數(shù)量關(guān)系可以用不同方式來(lái)表達(dá)。
師：你能將下面的數(shù)量關(guān)系換個(gè)說(shuō)法嗎？
一桶油，第一次吃去它的20%,比第二次吃的少2千克……
生：一桶油，第一次吃去它的20%,第二次吃了這桶油的20%再加2千克……
一桶油，第一次和第二次共吃去這桶油的40%還多2千克……
……
線段圖表示的數(shù)量關(guān)系可以用不同的方式表述出來(lái)，這不僅給學(xué)生思維發(fā)散性的培養(yǎng)提供了機(jī)會(huì)，更重要的是這種運(yùn)用不同類型知識(shí)表示不同數(shù)量關(guān)系行為的實(shí)質(zhì)，是學(xué)生運(yùn)用不同方式來(lái)表征同一個(gè)對(duì)象。不同的表征方式對(duì)問(wèn)題的解決具有不同的影響作用，可能某種表征方式比其他方式更有效，因?yàn)椴煌碚髂芗せ铋L(zhǎng)時(shí)記憶中的不同事實(shí)和程序。從問(wèn)題決的角度看，重述數(shù)量關(guān)系不僅有理解題意的作用，而且這種做法的本身就是在進(jìn)行解題方案的設(shè)計(jì)。G·波利亞認(rèn)為，改變已知數(shù)據(jù)或未知量，以及將兩者同時(shí)改變，從而使新的已知數(shù)據(jù)和未知量彼此更加接近的做法就是在設(shè)計(jì)解題方案。
百分?jǐn)?shù)表示的是一個(gè)數(shù)占另一個(gè)數(shù)的百分之幾，用它表示數(shù)量關(guān)系與倍數(shù)、比或分?jǐn)?shù)（一個(gè)數(shù)占另一個(gè)數(shù)的幾分之幾）表示數(shù)量關(guān)系形異而實(shí)同，它們之間可以進(jìn)行等價(jià)變換。這種等價(jià)的變換，使問(wèn)題得到重新組織，從而激活某個(gè)適當(dāng)?shù)慕忸}知識(shí)塊，如倍數(shù)知識(shí)塊、比的知識(shí)塊和分?jǐn)?shù)知識(shí)塊等，有助于學(xué)生接近或找到解題的路徑。其實(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)解題的過(guò)程是一個(gè)填補(bǔ)已知條件與所求問(wèn)題之間空隙的過(guò)程，而這種填補(bǔ)從一定程度上可以被視為已知條件、所求問(wèn)題或兩者兼而有之的持續(xù)的等價(jià)變換行為。
二、條件變換——基本解法的訓(xùn)練
教學(xué)片段二
師：現(xiàn)在我們?cè)谏厦娴木�段圖上增加一個(gè)數(shù)量——20朵，你想將它作為紅花的朵數(shù)還是白花的朵數(shù)？你能求出另一種花的朵數(shù)嗎？
生1:我想將它作為白花的朵數(shù)。
生2:我想將它作為紅花的朵數(shù)。
師：你們會(huì)解答嗎？
師：如果將20朵作為紅花和白花一共的朵數(shù)可以嗎？你能根據(jù)它算出紅花和白花各是多少朵嗎？
師：如果將條件“紅花是白花的50%”換成“紅花比白花少50%”,你們還會(huì)解答嗎？
生：……
常見(jiàn)的百分?jǐn)?shù)問(wèn)題依據(jù)解法有幾種基本形式，如A×B%、A÷B%、A×（1±B%）等。學(xué)生對(duì)這幾種基本形式的理解和掌握是學(xué)生解答較復(fù)雜問(wèn)題的基礎(chǔ)，其理解的程度和運(yùn)用的熟練性直接影響著較復(fù)雜問(wèn)題解決的效率。通過(guò)條件變化的方式將百分?jǐn)?shù)問(wèn)題幾種基本形式進(jìn)行比較，有助于學(xué)生系統(tǒng)、全面地理解和掌握這幾種題型的數(shù)量關(guān)系及其解法。對(duì)于前面所論的等價(jià)變換而言，其最終歸宿就在于解題者已經(jīng)掌握的基本問(wèn)題及其解法。
三、畫(huà)線段圖——數(shù)量關(guān)系的直觀化
教學(xué)片段三
問(wèn)題情境：
一桶油，第一次吃去它的
20%,是第二次吃的50%.
師：你能用線段圖表示上面的數(shù)量關(guān)系嗎？
學(xué)生嘗試畫(huà)圖，然后師生交流。
師：你為什么這樣畫(huà)？
生：我是將上面的話換了一種說(shuō)法�！暗谝淮纬缘氖堑诙蔚�50%”可以說(shuō)成“第二次吃的是第一次的2倍”,這樣就好畫(huà)了。
師：是��！這樣我們很容易地從圖上看出第二次吃了一桶油的40%.
師：現(xiàn)在將條件中的“是第二次吃的50%”換成“比第二次吃的50%少2千克”,你還能畫(huà)出線段圖嗎？
學(xué)生嘗試畫(huà)圖，然后師生交流。
師：在這里，我們可以將“比第二次吃的50%少2千克”這個(gè)條件等價(jià)變換為“第一次吃的加上2千克是第二次吃的一半”,即“第二次吃的=（一桶油× 20%+2千克）×2”.
“畫(huà)一張圖”,這是許多解題高手常用的解題策略。圖形較之于文字可以直觀形象地呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，使許多隱藏在文字背后的數(shù)量關(guān)系顯現(xiàn)于解題者的眼前，從而使解題者易于找到解題的突破口。根據(jù)皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識(shí)論原理，小學(xué)生的認(rèn)知主要處于具體運(yùn)演階段（2——7歲）。其特點(diǎn)是外部的行為活動(dòng)逐步轉(zhuǎn)化為內(nèi)部的心理運(yùn)演，即是在心理上進(jìn)行內(nèi)部的組合、對(duì)應(yīng)、分類等思維活動(dòng)，而這在很大程度上離不開(kāi)直觀的支撐，脫離不了對(duì)圖形表象的依賴。因此，畫(huà)圖對(duì)小學(xué)的解題來(lái)說(shuō)尤為重要。從小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)看，解決某些具體的問(wèn)題不是最主要的目的，學(xué)會(huì)解題才是最重要的。秉持這種“學(xué)解”的教學(xué)觀點(diǎn)，教會(huì)學(xué)生通過(guò)畫(huà)線段圖直觀顯示數(shù)量關(guān)系的方法是一項(xiàng)重要而必須完成的任務(wù)。畫(huà)圖是解題過(guò)程中的理解題意階段，其實(shí)質(zhì)是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行形象表征，從某種角度上說(shuō)，它也是一種等價(jià)變換——將題目的條件和問(wèn)題及其相互關(guān)系等價(jià)變換為一種直觀的狀態(tài)。
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