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從一個(gè)土豆大小談起
這是一堂數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課。同學(xué)們根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容——立體圖形的體積計(jì)算，早把學(xué)具一一作了準(zhǔn)備。有的拿來(lái) 了長(zhǎng)方體的鐵盒，有的拿來(lái)了正方體的紙盒，有的拿來(lái)了圓柱形的鐵桶，有的拿來(lái)了圓錐形的量杯……誰(shuí)知老 師卻提來(lái)半桶水和一包細(xì)砂土，還帶來(lái)一架稱(chēng)重量的天平，弄得同學(xué)們“丈二和尚摸不頭腦”，紛紛議論“老 師要干什么呀？”“是不是換復(fù)習(xí)內(nèi)容了？”……這時(shí)，老師從兜里拿出一個(gè)土豆兒，高高舉起來(lái)，說(shuō)：“今 天咱們復(fù)習(xí)立體圖形的體積計(jì)算，看誰(shuí)能用學(xué)過(guò)的知識(shí)，計(jì)算出土豆兒的體積？”說(shuō)著，神秘地看了看大家。頓時(shí)，教室里靜了下來(lái)。誰(shuí)都知道，我們雖然學(xué)過(guò)正方體、長(zhǎng)方體和圓柱體、圓錐體的體積計(jì)算，但是土 豆兒，方不方、圓不圓，凸凸凹凹，是個(gè)不規(guī)則的形體，那怎么計(jì)算它的體積呢？大家你看看我，我看看你， 一時(shí)，誰(shuí)也不知怎么辦？
正當(dāng)同學(xué)們困惑不解的時(shí)候，老師拿起土豆兒，“咚”的一聲，將它放入長(zhǎng)方體的鐵罐內(nèi)，然后微笑著， 用期待的目光看著同學(xué)們。
“老師，我想出辦法了！”小昆興沖沖地走上講臺(tái)，他先用尺子從里面量出長(zhǎng)方體鐵罐的長(zhǎng)（a）、寬（b ）和高（h[,1]）， 然后將土豆兒放入罐內(nèi)，并用細(xì)砂把鐵罐填滿。他怕砂子表面不平，還用尺子沿罐邊將砂 面刮平。
這時(shí)，有人插話：“要是知道砂子的體積，土豆兒的體積就等于鐵罐的容積減去砂子的體積�！�
小昆看了看插話的同學(xué)，繼續(xù)有條不紊地操作。他小心翼翼地將土豆兒從罐內(nèi)取出，唯恐帶出砂子，接著 再用小三角板將罐內(nèi)的砂面刮平，并測(cè)出砂面的高度（h[,2]）， 然后對(duì)大家說(shuō)：“罐內(nèi)砂面的高度由h[,1]降 到h[,2]，就是因?yàn)槿〕鐾炼箖旱木壒�，所以，土豆兒的體積可以這樣計(jì)算�！闭f(shuō)著，就在黑板上板書(shū)起來(lái)。
土豆兒體積＝長(zhǎng)方體鐵罐容積－鐵罐內(nèi)砂子體積
＝V[,1]－V[,2]＝abh[,1]－abh[,2]
“其實(shí)，小昆的計(jì)算方法可以改進(jìn)”。還是剛才插話的那位同學(xué)，指著小昆的板書(shū)說(shuō)：“abh[,1]－abh[, 2]，就是ab（h[,1]－h(huán)[,2]），也就是說(shuō)，土豆兒的體積只要用鐵罐的底面積乘以砂面的高度差就可以了�！�
“砂子面的高度差就是從罐內(nèi)取出土豆兒后，砂面下降的高度，所以，計(jì)算土豆兒的體積，只要用長(zhǎng)方體 鐵罐的底面積乘以砂面下降的高度就可以了。你們看——”大為同學(xué)不僅進(jìn)一步改進(jìn)了計(jì)算方法，而且還在黑 板上畫(huà)出示意圖。
附圖{圖}
土豆兒體積＝長(zhǎng)方體鐵罐的底面積×砂面下降的高度
V＝abh[,3]
這時(shí)，教室里的氣氛熱烈起來(lái)了。
“要是鐵罐不漏水的話，用水代替砂子，照小昆的方法，也可以計(jì)算出土豆兒的體積�！�
“用小昆的方法，如果用正方體的容器，也可以計(jì)算土豆兒的體積�！保ㄒ�(jiàn)圖）
附圖{圖}
土豆兒的體積＝正方體容器的底面積×砂（水）面下降的的高度
V＝a[2]h
“只要容器的容積大于土豆兒的體積，都可以用上面的方法。你們看，我用這個(gè)鐵盒也照樣可以。”二剛 說(shuō)著，高高地舉起他帶來(lái)的口小底大的鐵皮盒。
這時(shí)，老師一邊在黑板上畫(huà)示意圖，一邊鼓勵(lì)二剛：“可以。請(qǐng)你具體講一講。”
附圖{圖}
“雖然這個(gè)容器的底兒是長(zhǎng)方形，但是計(jì)算容積時(shí)，應(yīng)該用它的橫截面的面積，也就是梯形的面積乘以容 器的長(zhǎng)�！闭f(shuō)著，他干凈利索地操作起來(lái)——放入土豆兒，填滿砂子，刮平砂面，取出土豆兒，刮平盒內(nèi)砂面 ，測(cè)量容器的橫截面上底（a），下底（即砂面的寬度）（b），砂面下降的寬度（h），及容器的長(zhǎng)（f）。然 后，板書(shū)計(jì)算方法：
土豆兒體積＝橫截面面積×容器的長(zhǎng)度
V＝1／2（a＋b）hf
“測(cè)量橫截面的面積，也可以用中位線乘以高。”又有人插話。
“當(dāng)然可以！”二剛指著容器內(nèi)，取出土豆兒后，橫截面上空出部分所呈現(xiàn)的梯形，胸有成竹地說(shuō)，“只 要測(cè)出中位線（m）和高（h）就可以�！�
土豆兒體積＝砂面下降橫截面面積×容器的長(zhǎng)
V＝mhf
“剛才，同學(xué)們都利用計(jì)算直棱柱體積的方法，巧妙地解決了土豆兒體積的計(jì)算。大家想一想，還有別的 方法嗎？”老師指著同學(xué)們帶來(lái)的其它學(xué)具，啟發(fā)大家。
這次，小剛同學(xué)搶先發(fā)了言：“我利用圓柱形的有機(jī)玻璃桶，照樣可以計(jì)算土豆兒體積�！�
“那你試試看�！崩蠋熣f(shuō)。
小剛自信地走上講臺(tái)，開(kāi)始操作：他把圓柱形的有機(jī)玻璃桶舉到圓柱形的玻璃缸上方，用水將桶注滿，然 后把土豆兒輕輕地、慢慢地放進(jìn)桶里。這時(shí)，桶內(nèi)的水沿著桶的邊沿流入缸內(nèi)，直到水滴停止。接著他從里面 測(cè)量了玻璃缸的底面直徑和缸內(nèi)的水面高度，然后，在黑板上板書(shū)：
土豆兒體積＝排出的水的體積
＝玻璃缸的底面積×流入缸內(nèi)的水面高度
V＝sh
＝πr[2]h
＝π（d／2）[2]h
“這樣測(cè)量不準(zhǔn)確！”
“可不，桶的側(cè)面還粘有不少水呢！”不少同學(xué)提出了意見(jiàn)。
老師走上講臺(tái)，親切安慰了小剛幾句，然后對(duì)大家說(shuō)：“誰(shuí)能做得準(zhǔn)確一些呢？”
話音剛落，小昆再次走上講臺(tái)。他先把土豆兒放進(jìn)桶內(nèi)，然后小心地將桶注滿水，接著用兩把小尺子輕輕 地插入桶內(nèi)，去夾土豆兒。雖然動(dòng)作很小心，但是桶內(nèi)的水還是溢出一點(diǎn)兒，不過(guò)量很少，而且他不再測(cè)量流 出的水的體積，而是舉起取出土豆兒后的桶，對(duì)大家說(shuō)：“剛才滿桶的水，現(xiàn)在桶內(nèi)水面下降了。這下降部分 的體積，就是土豆兒的體積�！毙±ヒ�(jiàn)同學(xué)們都在認(rèn)真聽(tīng)講，接著說(shuō)：“所以，只要從里面量出桶底的直徑和 取出土豆兒后水面下降的高度，就可以算出土豆兒的體積了�！�
正當(dāng)小昆拿起尺子要測(cè)量時(shí)，大為高高地舉起右手發(fā)言：“我認(rèn)為小昆的測(cè)量方法還是不夠準(zhǔn)確�！�
“那你來(lái)——”
大為大大方方地走上講臺(tái)，先往圓柱形的空桶內(nèi)注進(jìn)半桶左右的水，并用紅粉筆在桶的外側(cè)面做上水面高 度的記號(hào)，然后對(duì)大家說(shuō)：“桶內(nèi)注水的多少，得估計(jì)能沒(méi)過(guò)整個(gè)土豆兒。”接著他輕輕地將土豆兒放地桶里 ，眼看著桶內(nèi)的水面很快上升，直到土豆兒整個(gè)浸沒(méi)在水中。這時(shí)，他拿起尺子測(cè)量桶內(nèi)水面上升的高度（h） ， 桶底的底面直徑（d）。最后，大為轉(zhuǎn)過(guò)身去，在黑板上畫(huà)出示意圖，并寫(xiě)出計(jì)算土豆兒體積的方法。
附圖{圖}
土豆兒體積＝桶內(nèi)水上升的體積
＝桶的底面積×水上升的高度
V＝sh
＝πr2h
＝π（d／2）[2]h
同學(xué)們都一致認(rèn)為：大為的計(jì)算方法既簡(jiǎn)單又準(zhǔn)確，不過(guò)也有人說(shuō)：“用大為的辦法，必須在放進(jìn)土豆兒 之前，預(yù)先估計(jì)到先注入桶內(nèi)的水，能完全浸沒(méi)整個(gè)土豆兒，否則就更不準(zhǔn)確了�！贝鬄槁�(tīng)了，連連點(diǎn)頭說(shuō)“ 是”。
“下面請(qǐng)二林同學(xué)發(fā)言�！彪S著老師的話音，二林高高地舉著圓錐形的玻璃容器，神氣地問(wèn)：“你們能用 它來(lái)測(cè)量土豆兒的體積嗎？”
“那你會(huì)嗎？”同學(xué)們反問(wèn)。
“請(qǐng)大家看——”二林先在黑板上畫(huà)了兩幅示意圖，然后指著左邊的圖對(duì)大家說(shuō)：“這是照小昆方法，先 將土豆兒放入容器內(nèi)，用砂子把容器填滿，刮平砂面，再取出土豆兒；然后從里面測(cè)量圓錐形容器的底面直徑 （d[,1]）、高（h[,1]），測(cè)量取出土豆兒后容器內(nèi)砂面的直徑（d[,2]）、高（h[,2]）。這樣，就可以利用 圓錐體積計(jì)算公式，求出土豆兒的體積�！�
附圖{圖}
土豆兒體積＝圓錐形容器的容積－取出土豆兒后容器內(nèi)砂子體積
V＝1／3s[,1]h[,1]－1／3s[,2]h[,2]
＝1／3πr[2][,1]h[,1]－1／3πr[2][,2]h[,2]
＝1／3π（d[,1]／2）[2]h[,1]－1／3π（d[,2]／2）[2]h[,2]
接著，二林指著右邊的示意圖，說(shuō)：“這是照大為的方法，先在容器內(nèi)注入一定量的水（能整個(gè)沒(méi)過(guò)土豆 兒），從里面量出水面高度（h[,1]）和水面的直徑（d[,1]），然后再放入土豆兒，待土豆兒完全被浸沒(méi)，再 從里面量出水面上升的高度h[,2]）和直徑（d[,2]）。這樣也可以計(jì)算出土豆兒的體積。”
附圖{圖}
土豆兒體積＝放入土豆兒后容器內(nèi)的體積－容器內(nèi)原有的水的體積
V＝1／3s[,2]h[,2]－1／3s[,1]h[,1]
＝1／3πr[2][,2]h[,2]－1／3πr[2][,1]h[,1]
＝1／3π（d[,2]／2）[2]h[,2]－1／3π（d[,1]／2）[2]h[,1]
二林的話剛講完，二剛邊舉手邊站起來(lái)，說(shuō)：“為什么不直接利用底面積乘以砂面下降或水面上升的高度 ，來(lái)計(jì)算呢？”
二林指了指圖上——取出土豆兒后，砂子下降部分和放入土豆兒后，水面上升部分。“這——”一時(shí)不知 道說(shuō)什么好。
這時(shí)，老師走上前，在黑板上另行畫(huà)出二林所指的部分——
附圖{圖}
，說(shuō)：“大家還記得‘趣自旋轉(zhuǎn)來(lái)’一文中提到的圓臺(tái)嗎？現(xiàn)在我們能理解到二林的程度就可以了。不過(guò) ，大家在計(jì)算1／3π（d[,2]／2）[2]h[,2]－1／3π（d[,1]／2）[2]h[,1]時(shí)，可以把1／3π提出來(lái)，使計(jì)算 簡(jiǎn)便些。那么，下面請(qǐng)大家再想想，還有別的計(jì)算方法嗎？”說(shuō)著，指了指講臺(tái)上的天平，對(duì)大家說(shuō)：“我還 可以用它來(lái)計(jì)算土豆兒的體積呢！你們行嗎？”
教室里暫時(shí)安靜下來(lái)。
“老師，我行！”隨著一聲自信的回答，小玲走上講臺(tái)，先把土豆兒放在平天上稱(chēng)出重量，然后用小刀切 出棱長(zhǎng)1 厘米的小方塊土豆兒——修改了好幾次才切成，并稱(chēng)出這小塊的重量，就在黑板上板書(shū)：
土豆兒體積＝土豆兒重量÷每立方厘米的土豆兒重量
“其實(shí)，用不著非切成小正方體。”大為補(bǔ)充，“只要切成長(zhǎng)方體的小塊，量出它的長(zhǎng)、寬、高，稱(chēng)出它 的重量就可以�！�
附圖{圖}
老師對(duì)同學(xué)們的發(fā)言非常滿意，不時(shí)地點(diǎn)頭稱(chēng)好。
最后，老師作總結(jié)：“同學(xué)們，剛才我們通過(guò)計(jì)算土豆兒的體積，系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了立體圖形的體積計(jì)算。課 下，請(qǐng)大家思考下面兩個(gè)問(wèn)題：
（1）柱體（棱柱和圓柱）的體積計(jì)算與哪兩個(gè)基本因素有關(guān)？
（2）物體的體積大小與它的形狀變化有沒(méi)有關(guān)系？ 與它的重量之間有沒(méi)有關(guān)系？
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