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縱論中學數(shù)學教材研究
一般地，中學生在初中和高中兩個階段將面臨數(shù)學課程對他們的四次大的挑戰(zhàn)，任何一次的不適應，都可能使他們喪失對教學的學習興趣，產(chǎn)生畏懼情緒，從而在兩極分化中成為被淘汰者。這就是本文所說的四大難關(guān)，現(xiàn)列舉如下：（1）算術(shù)到代數(shù)的過渡（初一）（2）代數(shù)到幾何的過渡（初二）（3）常量數(shù)學到變量數(shù)學的過渡（初三、高一）（4）有限到無限的過渡（高二）一、“四大難關(guān)”的成因
立足于幫助學生順利度過“四大難關(guān)”，教材研究的首要任務是應該搞清各個“難關(guān)”的成因。對此作宏觀分析，我們?nèi)菀赘爬ǔ鱿旅嫒齻�方面的成因：
（1）抽象層次的提高
教學內(nèi)容的抽象性是眾所周知的，但作為數(shù)學教材的數(shù)學內(nèi)容，則著意體現(xiàn)由直觀到抽象的漸變過程，以適應學生認識的發(fā)展，在這種變化過程中，起伏程度有所不同，各大難關(guān)所表現(xiàn)的正是抽象程度的驟變過程，抽象層次驟然提高，這種變化若學生不能立即適應，就成為學習數(shù)學的巨大障礙，就成為“難關(guān)”了。
如從算術(shù)到代數(shù)的過渡，其重要標志就是用字母表示數(shù)，特別是字母代替的數(shù)既是確定的，又是任意的，這種兩重性與小學階段的數(shù)學內(nèi)容相比，抽象程度顯著提高，可以說表現(xiàn)為一次飛躍；從代數(shù)到幾何的過渡，其抽象程度的飛躍則表現(xiàn)在由以前的單純的以計算為主到對數(shù)學問題的推理論證、大量抽象符號和數(shù)學語言的運用過渡；由常量數(shù)學到變量數(shù)學的過渡，以函數(shù)概念的引入為標志，宣布了數(shù)學問題的研究由處理相對穩(wěn)定的數(shù)學問題進入處理運動、變化的量與量關(guān)系的數(shù)學問題的領(lǐng)域，標志著抽象層次的又一次大的邁進；而由有限到無限的過渡，是以極限概念的引入為標志的，其推理方式由對有限問題的處理進入對無限問題的處理，抽象程度又一次發(fā)生了質(zhì)的改變。由此可見，抽象層次的提高，是“難關(guān)”的成因之一。
（2）研究對象的轉(zhuǎn)變
恩格斯在《反杜林論》中曾指出：“……純數(shù)學是以現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系－－這是非�，F(xiàn)實的材料－－為對象的”這給數(shù)學尤其是初等數(shù)學的本質(zhì)作出了很科學的概括。圍繞“數(shù)”和“形”這兩個方面討論而展開的。而在教材內(nèi)容的發(fā)展過程中，由以數(shù)為主要研究對象的內(nèi)容轉(zhuǎn)變到以形為主要研究對象的內(nèi)容時，其角度、特點以及抽象程度都有顯著的變化，這一轉(zhuǎn)變過程中，學生不能很快適應，就會形成由代數(shù)到幾何的過渡－－初二平面幾何入門的一大難關(guān)。由數(shù)到形，又到數(shù)形結(jié)合，研究量與量之間運動、變化過程中表現(xiàn)出的關(guān)系，則又是一類研究對象，這就是函數(shù)概念的引進－－因研究對象與研究方法的轉(zhuǎn)變而導致的不適應，就出現(xiàn)了由常量數(shù)學到變量數(shù)學過渡的這一難關(guān)。而其它幾大難關(guān)也不同程度的涉及到研究對象的改變。由此可知，數(shù)學內(nèi)容研究對象的轉(zhuǎn)變也是“難關(guān)”的成因之一。
（3）思維方式的轉(zhuǎn)變
每一次“難關(guān)”的出現(xiàn)，都相應地出現(xiàn)思維方式上大的轉(zhuǎn)變，都是對前面習慣思維的揚棄。當教學思維從特殊轉(zhuǎn)入對一般情況的研究時，就是相應的第一大難關(guān)的來臨，此時可以說思維進入歸納思維的范圍；而當平面幾何以全新的研究對象出現(xiàn)時，演繹推理－－從一般到特殊的思維方式占了主導地位，這種改變又導致了第二大難關(guān)的產(chǎn)生，而對辯證思維要求的提高，是導致后兩大難關(guān)的重要因素，因為這要經(jīng)受由相對穩(wěn)定－－運動變化－－無限領(lǐng)域的一系列重大變革，數(shù)學中的靜與動、有限與無限等矛盾在運動中被一一揭示出來，在思想方向上使中學生經(jīng)受一次又一次的重大洗禮。由此可見，思維方式的轉(zhuǎn)變是“難關(guān)”的重要成因。
二、對策
（1）廣泛聯(lián)系、挖掘量變因素
前面已經(jīng)指出，“難關(guān)”的出現(xiàn)其實質(zhì)是一個質(zhì)變過程，它需要量變的積累，如果量變有了充分準備，質(zhì)變就顯得自然，“難關(guān)”也就容易克服。因此，就需要深刻挖掘量變因素，將教材抽象程度加工到使學生通過努力能夠接受的水平上來。在代數(shù)關(guān)系的研究中，積極注意挖掘與幾何結(jié)合較緊密的內(nèi)容，廣泛聯(lián)系，縮小接觸新內(nèi)容時的陌生度，避免因研究對象的變化而產(chǎn)生的心理障礙。
（2）重點深入，合理設置問題
要將“難關(guān)”分散到普通教材中來，就需要注意對普通教材由微觀到宏觀的透徹研究與重點深入。首先，明確局部內(nèi)容在整體數(shù)學教材體系中的地位和作用；其次，運用前文所述的教材研究方法，合理設置問題，使問題的步子與學生的思維水平同步前進，以局部知識的掌握為整體服務，例如，針對某一概念，可圍繞下面幾個角度設置問題：概念的構(gòu)成；概念所涉及的子概念；概念的外延；概念的內(nèi)涵；概念的確定與否定；概念之間的關(guān)系；概念的應用以及由概念而設計的一些構(gòu)造性問題等等。當然有些問題可設置一些啟發(fā)性的提問以使學生獨立獲得知識。問題與問題之間要有一定的梯度，以利于教學時啟發(fā)學生思維。
（3）合理吸收，突出思想方法
教材研究為了服務于學生思維能力的培養(yǎng)，適應在“難關(guān)”中思維方式的轉(zhuǎn)變，除了在教材中深入挖掘能突出思想方法的內(nèi)容之外，還應合理吸收生活中、其它學科中甚至游戲中的一些問題，并從數(shù)學角度去分析，以潛移默化的方式培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，同時也可起到在教材中降低“難關(guān)”中所出現(xiàn)的大跨度的抽象落差的作用。例如，有這樣的一個游戲：有兩堆火柴，兩個人輪流去拿，每人每次只能從其中一堆中拿任意根，規(guī)定拿到最后一根者為勝。將這一游戲拿來讓學生做，并幫助它們分析，就可以訓練學生由特殊到一般的思考方法（即先考慮最簡單的情況：兩堆火柴各有一根的情況）和化歸轉(zhuǎn)化的推理意識；再如，在抽象落差較大的內(nèi)容之間增加一些直觀材料（為學生所熟悉的）以作緩減，也是重要的教材加工手段，從中培養(yǎng)學生觀察、總結(jié)、概括的能力。總之，合理吸收教材之外的輔助材料，突出數(shù)學思想方法的挖掘，是教材研究的重要手段，它在幫助學生克服難關(guān)中也起到了很重要的作用。
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