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關(guān)于三角教材與教法的新思考
1998年4月21日，國家教育部專門調(diào)整了高中數(shù)學的部分教學內(nèi)容，其中的調(diào)整意見第(7)條為：“對三角函數(shù)中的和差化積、積化和差的8個公式，不要求記憶�！痹俾�(lián)想到1998年全國高考數(shù)學卷中，已盡可能減少了這8個公式的出現(xiàn)次數(shù)，在僅有的一次應(yīng)用中，還將公式印在試卷上，以供查閱，而當時調(diào)整意見尚未生效（應(yīng)在1999年生效）。這不能不說對和積互化的8個公式（以下簡稱“8公式”）的要求是大大降低了。
但是，這次調(diào)整的，難道僅僅是8個公式嗎？如果認為僅僅是降低了對8公式的要求，那就太表面、太膚淺了。
我們知道，和積互化歷來是三角部分的重點內(nèi)容之一。相當部分的三角題都是圍繞它們而設(shè)計的，它們也確實在很大程度上體現(xiàn)了公式變形的技巧和魅力。現(xiàn)在，要求降低了，有關(guān)的題目已不再適合作為例（習）題選用了。這樣一來，
三角部分還要我們教些什么？又該怎樣教？立刻成了部分教師心頭的一大困惑。
有鑒于此，我認為很有必要重新審視這部分的知識體系，理清新的教學思路，以便真正落實這次調(diào)整的意見，實現(xiàn)“三個有利于”（有利于減輕學生過重的課業(yè)負擔，有利于深化普通高中的課程改革，有利于穩(wěn)定普通高中的教育教學秩序）
的既定目標。
一、是“三角”還是“函數(shù)”
應(yīng)當說，三角函數(shù)是由“三角”和“函數(shù)”兩部分知識構(gòu)成的。三角本是幾何學的衍生物，肇始于古希臘的希帕克，經(jīng)由托勒玫、利提克思等。至歐拉而終于成為一門形態(tài)完備、枝繁葉茂的古典數(shù)學學科。歷史上的很長一段時期，只有《
三角學》盛行于世，卻無“三角函數(shù)”之名。
“三角函數(shù)”概念的出現(xiàn)，自然是在有了函數(shù)概念之后，從時間上看距今不過300余年。但是，此概念一經(jīng)引入，立刻極大地改變了三角學的面貌。特別是經(jīng)過羅巴切夫斯基的開拓性工作。致使三角函數(shù)可以完全獨立于三角形之外，而成
為分析學的一個分支，其中的角也不限于正角，而是任意實數(shù)了。有的學者甚至認為可將它更名為角函數(shù)，這是有見地的。
所以，作為一門學科的《三角學》已經(jīng)不再獨立存在�，F(xiàn)行中學教材也取消了原來的《代數(shù)》、《三角》、《幾何》的格局，將三角并入了代數(shù)內(nèi)容。這本身即足以說明“函數(shù)”在“三角”中應(yīng)占有的比重。
再從《代數(shù)學》的歷史演變來看，在相當長的歷史時期內(nèi)，“式與方程”一直是它的核心內(nèi)容，那時的教材都是圍繞著它們展開的。所以，書中的分式變形、根式變形、指數(shù)式變形和對數(shù)式變形可謂連篇累牘、所在皆是。這是由當時的數(shù)學認知水平?jīng)Q定的。而現(xiàn)在，函數(shù)已取代了式與方程成為代數(shù)的核心內(nèi)容，比起運算技巧和變形套路來，人們更關(guān)注函數(shù)思想的認識價值和應(yīng)用價值。1963年頒布的《數(shù)學教學大綱》提出數(shù)學三大能力時，首要強調(diào)的是“形式演算能力”，1990年的大綱突出強調(diào)的則是“邏輯思維能力”�，F(xiàn)行高中《代數(shù)》課本中，充分闡發(fā)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及應(yīng)用，對這三種代數(shù)式的變形卻輕描淡寫。
所以，三角函數(shù)部分應(yīng)重在“函數(shù)的圖象和性質(zhì)”是無疑的，這也是國際上普遍認可的觀點（下文還將述及）。
現(xiàn)行高中《代數(shù)》的三角函數(shù)部分，也單列了一章專講“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”，這是與數(shù)學發(fā)展的潮流相一致的。但若提起三角函數(shù)，大多數(shù)師生頭腦中反映出來的，還是“眾多的公式，紛繁的變換”，而三角函數(shù)的“圖象和性質(zhì)”倒是在其次的。這一點，與前面所述的“冪、指、對”函數(shù)有著極大的反差，恐怕也與編者的意圖大相徑庭。個中緣由固然與三角本身多公式有關(guān)，其中和積互化8公式的干擾作用尤其明顯。8公式形式類似，記憶也屬不易，變形尤難把握，是師生教與學的共同難點。為此反復記憶、題海操練實所難免。
調(diào)整以后，降低這部分的要求，大面積地減少了題量，目標中“第一和第三”兩個有利于是可以實現(xiàn)的。但另一個（有利于深化課程改革）該如何理解呢？把“函數(shù)”作為關(guān)鍵詞，將目光放在“圖象和性質(zhì)”上，應(yīng)當是正確的選擇，負擔輕
了，障礙小了，這更方便于我們將注意力轉(zhuǎn)移到對函數(shù)圖象和性質(zhì)的關(guān)注上，這才是“三個有利于”得以貫徹的根本。
二、國外的觀點及啟示
下面來看一下美國和德國的觀點：
美國沒有全國統(tǒng)一的教材和《考試說明》，只有一個《課程標準》，在《課程標準》中，他們對三角函數(shù)提出了下面的要求：
會用三角學的知識解三角形；會用正弦、余弦函數(shù)研究客觀實際中的周期現(xiàn)象；掌握三角函數(shù)圖象；會解三角函數(shù)方程；會證基本的和簡單的三角恒等式；懂得三角函數(shù)同極坐標、復數(shù)等之間的聯(lián)系。
他們還特別指出：不要在推導三角恒等式上花費過多的時間。只要掌握一些簡單的恒等式推導，如：之類就可以了。比較復雜的恒等式如之類，就應(yīng)該完全避免了。
德國在10到12年級（相當于中國的高一到高三）每年都有三角內(nèi)容。10年級要求如下：
(1)一個角的弧度。
(2)三角函數(shù)sinx·cosx·tgx和它們的圖象周期性。
(3)三角形中角和邊的計算。
(4)重要關(guān)系（特指同角三角函數(shù)的平分關(guān)系、商數(shù)關(guān)系和倒數(shù)關(guān)系——筆者注）。
另外，在11年級和12年級的“無窮小分析”中，繼續(xù)研究三角函數(shù)的圖象變換、求導、求積分、求極限。
從以上羅列，我們可以看出下面的共同點：
第一，突出強調(diào)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
第二，淡化三角式的變形，僅涉及同角變換。而且要求較低；8公式根本不予介紹。
第三，明確變換的目的是為了三角形中的實際計算。
第四，注意三角函數(shù)和其它知識（復數(shù)、極坐標）的聯(lián)系。
這帶給我們的啟示還是很強烈的。美國和德國的中學教育以實用為主，并不太在乎教材體系是否嚴謹，知識系統(tǒng)是否完整。我國的教材雖作調(diào)整，對8公式不要求記憶。同期頒布的《考試說明》仍要求“能推導并掌握（8公式）”。不要求記憶卻要求推導并掌握，怎樣實施且不去細說，有一個意圖是可猜到的，那就是要讓學生知道教材是嚴謹與完整的。我認為這大可不必。嚴謹與完整是相對的�，F(xiàn)在看來嚴謹?shù)臇|西，在更高的觀點下是否還嚴謹？在圈內(nèi)看是完整的，跳出圈子看，是否還完整？在一個小地方鉆得太深，在另外更大的地方就可能無暇顧及。人家能在中學學到向量、行列式、微分、積分。我們卻熱衷于在個別地方窮追不舍，這早已引起行家的注意。從這個意義上說。此次調(diào)整應(yīng)當只是第一步。在中學階段即試圖嚴謹與完整。其實是受前蘇聯(lián)教育家贊可夫的三高（高速度、高難度、高理論）影響太深的緣故。
三、調(diào)整后的知識體系分析
根據(jù)以上的分析，我認為本部分知識應(yīng)分為兩大塊。即“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”與“三角變換”，雖然筆者認為后者該進一步刪減，但畢竟目前沒有做到。即使以后能大幅刪減，也肯定會保留適當篇幅，因為三角變換在理論和實際中都有廣泛的應(yīng)用。
現(xiàn)將本部分知識體系列表如下：
這些知識點中，重點應(yīng)是①③⑦⑧⑨⑩(11)(14)(15)(18)，其實前幾年的高考對它們也都有充分的體現(xiàn)。只是被8公式的光環(huán)所籠罩，我們的重視程度不夠而已。當然，現(xiàn)在我們要提高對這些內(nèi)容的重視程度。千萬要避免無限拔高。那樣形成前門拒狼（8公式）后門引虎的局面。就大有違調(diào)整的初衷。
參考文獻
1 黃建宏。聯(lián)邦德國完全中學的數(shù)學基礎(chǔ)學力介紹。數(shù)學教學，190(4)
2 陳昌平。介紹美國最新課程標準。數(shù)學教學，1990(3-4)
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