運用等價變形題指導學生解題

有些數(shù)學應用題，因為數(shù)量關系較為復雜，學生會感到無從下手，這時，老師可運用非等價變形引導學生進行分析并解答。

例1、一個面積為20平方厘米的正方形內有一個最大的圓，求這個圓的面積是多少？

分析與解答：這題中正方形的面積是個非完全平方數(shù)，如果要讓學生求出圓的半徑，然后再求出這個圓的面積學生是無從下手的。

因此可先出示這樣一道比較題：“已知一個面積為1平方厘米的正方形內有一個面積最大的圓，求這個圓的面積。”

因為正方形的面積是1平方厘米，學生很快能理解這個正方形的邊長即為1厘米，因此面積為1平方厘米的正方形內面積最大的圓的面積為：3.14×(1÷2)2＝0.785（平方厘米）。

在學生求解出面積為1平方厘米的正方形內面積最大的圓的面積后，老師可再將此題同例1進行比較，這樣學生就能很快求出面積為20平方厘米的正方形內面積最大的圓的面積為：0.785×20＝15.7（平方厘米）。

例2、某校上學期共有學生1040人，本學期有學生1360人，其中男生比上學期增加48%，女生比上學期增加20%，求這所學校本學期有男女生各多少人？

分析與解答：這題中兩個百分率無直接關系，因此給解題帶來了一定的難度。

因此可先出示這樣一道比較題：“某校上學期共有學生1040人，本學期男女生都比上學期增加了20%，求本學期這所學校共有多少人？”

這題學生很快能求出答案：本學期學校有學生：1040×（1＋20%）＝1248（人）。

然后再將這題同原來的題目進行比較，學生可發(fā)現(xiàn)“男女生都比上學期增加了20%”與原題的“男生比上學期增加48%，女生比上學期增加20%”相差的人數(shù)則為：1360－1248＝112（人）。因此可求得，上學期的男生人數(shù)應為：112÷（48%－20%）＝400（人），本學期的男生人數(shù)則為：400×（1＋48%）＝592（人）。本學期的女生人數(shù)則為：1360－592＝768（人）。

例3、某校學生步行去進行郊游活動，在離開學校3千米處，張老師發(fā)現(xiàn)有物品遺留在學校，馬上騎自行車以每小時9千米的速度返回學校，拿了物品后又追趕學生隊伍，已知學生隊伍每小時行4千米，求張老師離開隊伍幾小時又追趕上學生隊伍？

分析與解答：這題不明確張老師從何處追及，以及追及距離有多長，學生會感到無法下手。

因此可設計以下一道比較題：“某校學生去進行郊游活動，每小時行4千米，隊伍離開學校6千米后，張老師才騎自行車以每小時9千米的速度去追趕隊伍，問張老師幾小時能追趕上隊伍？”

這題學生很快能求出答案：張老師追趕上隊伍的時間為：6÷（9－4）＝1.2（小時）。

然后再將此題與例3進行比較，學生很快能看出，張老師在隊伍離開學校3千米處再返回學校去拿取物品，然后再追及隊伍，追及的距離即為當時隊伍與學校的距離的2倍。因此，學生很快能求出例3的答案，張老師追趕上隊伍的時間則為：3×2÷（9－4）＝1.2（小時）。

例4、某計劃在規(guī)定的時間內加工一批零件，若每小時加工30個，則比規(guī)定時間晚完成1小時，若每小時加工48個，則比規(guī)定時間少用半小時，如果要在規(guī)定的時間內完成，每小時要加工幾個零件？

分析與解答：這題中，有的學生對“比規(guī)定時間晚完成1小時”與“比規(guī)定時間少用半小時”這兩個條件不理解，因此會感到難以求解。

所以可出示下列一道比較題：“甲、乙兩人同時騎摩托車從A地到B地，甲每小時行48千米，乙每小時行30千米，經(jīng)過若干個小時，乙離B地還有36千米，甲已超過B地24千米，這時兩人如果立即掉頭往回走，如果兩人的速度不變，問甲追上乙要幾小時？”

這題是一道追及應用題，學生很快能列式解答：甲追上乙要用的時間為：（24＋30）÷（48－30）＝3（小時）。然后再將此題同例4進行比較，學生即能發(fā)現(xiàn)，比較題中的追及時間即為例4中的加工這批零件的規(guī)定時間，因此學生很快求出加工這批零件的規(guī)定時間為：（30＋48÷2）÷（48－30）＝3（小時）。因此，可求得，在規(guī)定的時間內完成這批零件，每小時要加工的零件個數(shù)為：30×（3＋1）÷3＝40（個）。

例5、幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果分給小班，每人5個則余10個，如果分給大班，每人8個，則有一人分到6個，已知小班比大班多3 人。問這筐蘋果有幾個？

分析與解答：這題比一般的盈余問題多了“小班比大班多了3人”，因此有的學生會望而卻步，不知所措。

因此可出示這樣一道比較題：“幼兒園將一筐蘋果分給幼兒園大班的小朋友，如果每人5個，則余25個，如果每人8個，則少2個，問這筐蘋果共幾個？”

這題學生很快能列式求解，大班人數(shù)為：（25＋2）÷（8－5）＝9（人）。這筐蘋果的個數(shù)為：9×8－2＝70（個）；或為：5×9＋25＝70（個）。

再請學生將比較題同例5進行比較，學生很快也能知道，小班比大班多5人，即為小班每人分5個，則要多余：5×3＋10＝25（個）。分給大班，每人8個，一人只分到有個，即為。每人分8個，則少：8－6＝2（個），因此，學生也能夠迅速求出這筐蘋果的個數(shù)為：8×[（25＋2）÷（8－5）]－2＝70（個）。

例6、一項工程，甲、乙兩人合作30天完成，如果甲單獨做24天后，乙再加入合作，兩人合作12天后，甲因有事離開，由乙再單獨做了15天才完成這項工程。問這項工程如果甲單獨做要用幾天才能完成？

分析與解答：這題中，因為甲、乙兩人做的時間前后不同，學生會感到束手無策。

因此可出示這樣一道比較題：“一項工程，甲、乙合作30天完成，如果甲、乙兩人合作27天后，甲再用了9天才完成，求甲單獨完成這項工程要用幾天才能完成？”

這題學生很快能求出甲單獨完成這項工程要用的時間為：9÷（1－  1/30  ×27）＝90（天）。

然后，再引導學生將例6同比較題進行比較，學生即能發(fā)現(xiàn)，例6同比較題相比較，只是轉換了一捉說法，其實解題的思路是完全相同的。因此，學生也能很快求出甲單獨完成這項工程要用的時間為：（24－15）÷[ 1－  1/30 ×（15＋12）]＝90（天）。

江蘇省江陰市青陽鎮(zhèn)旌陽小學：蔣儀

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