淺論新課程下數(shù)學(xué)直覺思維能力的培養(yǎng)

政和縣鎮(zhèn)前中學(xué)   鄭美華

摘要： 本文主要闡述了本人對數(shù)學(xué)直覺思維的認(rèn)識，以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺思維的重要性和必要性，進(jìn)一步闡述了如何培養(yǎng)的問題。
關(guān)鍵詞： 直覺思維 邏輯思維 創(chuàng)新 猜想 數(shù)型結(jié)合
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試驗修訂本)將培養(yǎng)學(xué)生的三大能力之一”邏輯思維能力”改為”思維能力”，雖然只是去掉兩個字，概念的內(nèi)涵卻更加豐富，反映了人們在教育的實踐中實現(xiàn)了認(rèn)識上的轉(zhuǎn)變。
我們在注重邏輯思維能力培養(yǎng)的同時，還應(yīng)該注重觀察力、直覺力、想象力的培養(yǎng)。特別是直覺思維能力的培養(yǎng)，由于長期直覺思維得不到重視，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的，對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。過多地注重邏輯思維能力的培養(yǎng)，不利于思維能力的整體發(fā)展。培養(yǎng)直覺思維能力是社會發(fā)展的需要，是適應(yīng)新時期社會對人才的需求。
一、對數(shù)學(xué)直覺思維的認(rèn)識
1、直覺是發(fā)明的源泉。偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家彭加勒說：”邏輯用于證明，直覺用于發(fā)明�！鼻疤K聯(lián)科學(xué)家凱德洛夫更明確地說：”沒有任何一個創(chuàng)造性行為能離開直覺活動�！敝庇X思維就是指人們不受邏輯規(guī)則約束直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的一種思維方式。數(shù)學(xué)直覺思維是直接反映數(shù)學(xué)對象、結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的思維活動。思維者不是按部就班地推理，而是對思維對象從整體上進(jìn)行考察，調(diào)動自身的全部知識經(jīng)驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，跳過若干中間步驟或放過個別細(xì)節(jié)而直接把握研究對象的本質(zhì)和聯(lián)系。
2、數(shù)學(xué)直覺思維的表現(xiàn)形式是以人們已有的知識、經(jīng)驗和技能為基礎(chǔ)，通過觀察、聯(lián)想、類比、歸納、猜測之后對所研究的事物作出一種比較迅速的直接的綜合判斷，它不受固定的邏輯約束，以潛邏輯的形式進(jìn)行。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質(zhì)的界定并沒有一個嚴(yán)格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系。龐加萊說：”直覺不必建立在感覺明白之上。感覺不久便會變的無能為力。例如，我們?nèi)詿o法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進(jìn)來�！庇纱丝梢娭庇X是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內(nèi)所說：”這些富有創(chuàng)造性的科學(xué)家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個活生生的構(gòu)想和深刻的了解，這些構(gòu)想和了解結(jié)合起來，就是所謂‘直覺’，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的�！薄�
3、數(shù)學(xué)直覺思維具有個體經(jīng)驗性、突發(fā)性、偶然性、果斷性、創(chuàng)造性、迅速性、自由性、直觀性、自發(fā)性、不可靠性等特點。迪瓦多內(nèi)說: “任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無疑是使學(xué)生對他要處理的數(shù)學(xué)對象有一個可靠‘直覺’�！痹诮逃�過程中，教師如果把證明過程過分的嚴(yán)格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環(huán)，學(xué)生們只能把成功歸功于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺”，那將是我們教育的失敗�！吨袊�青年報》曾報道，“約30％的初中生學(xué)習(xí)了平面幾何推理之后，喪失了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣”，這種現(xiàn)象應(yīng)該引起數(shù)學(xué)教育者的重視與反思。
直觀性：數(shù)學(xué)直覺思維活動在時間上表現(xiàn)為快速性，即它有時是在一剎那間完成的；在過程上表現(xiàn)為跳躍性；在形式上表現(xiàn)為簡約性，簡約美體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。直覺思維是一瞬間的思維火花，是長期積累的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化�！　�
創(chuàng)造性：直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細(xì)節(jié)的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發(fā)散的，使人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外擴(kuò)展，因而具有反常規(guī)律的獨創(chuàng)性。許多重大的發(fā)現(xiàn)都基于數(shù)學(xué)直覺�；�于直覺，歐幾里得幾何學(xué)的五個公設(shè)夢幻般建立起了歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上迸發(fā)了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法�，F(xiàn)代社會需要創(chuàng)造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經(jīng)驗，過多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數(shù)習(xí)慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開拓精神。因此培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維是必要的。
4、數(shù)學(xué)直覺思維能力的提高有利于增強(qiáng)學(xué)生的自信力。成功可以培養(yǎng)一個人的自信，直覺發(fā)現(xiàn)伴隨著很強(qiáng)的“自信心”。從馬斯洛的需要層次來看，它使學(xué)生的自我價值得以充分實現(xiàn)，也就是最高層次的需要得以實現(xiàn)，比起其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩(wěn)定、更持久。布魯納認(rèn)為學(xué)習(xí)的最好刺激是對教學(xué)材料的興趣。當(dāng)一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內(nèi)心將會產(chǎn)生一種強(qiáng)大的學(xué)習(xí)鉆研動力。高斯在小學(xué)時就能解決問題“1＋2＋…… ＋99＋100＝?”，這是基于他對數(shù)的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響。
數(shù)學(xué)直覺思維還有利于提高學(xué)生的思維品質(zhì)。直覺思維具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或結(jié)論，給人以“發(fā)散”、 “放射”的感覺，一計不成又生一計。因此，加強(qiáng)直覺思維能力的訓(xùn)練，對克服思維的單向性，提高思維品質(zhì)是有利的。
二、數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)
一個人的數(shù)學(xué)思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)直覺是可以后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數(shù)學(xué)直覺也是不斷提高的。”對于一個專業(yè)的數(shù)學(xué)工作者來說，他所具有的數(shù)學(xué)直覺顯然已不再是一種樸素意義上的原始直覺，而是一種精致化了的直覺，也即是通過多年的學(xué)習(xí)和研究才逐漸養(yǎng)成的。
扎實的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺的源泉。迪瓦多內(nèi)一語道破了直覺的產(chǎn)生過程：“我以為獲得‘直覺’的過程，必須經(jīng)歷一個純形式表面理解的時期，然后逐步將理解提高、深化”。 “直覺”不是靠“機(jī)遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故地憑空臆想，成功孕育于1%的靈感和99%的血汗中。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂了一樣?xùn)|西，而且你通過大量例子以及通過與其它東西的聯(lián)系取得了處理那個問題的足夠多的經(jīng)驗。對此你就會產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過程是怎么回事以及什么結(jié)論應(yīng)該是正確的直覺�！�
在課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)和發(fā)展是情感教育下的產(chǎn)物之一，把知情融為一體，使認(rèn)知和情感彼此促進(jìn)，和諧發(fā)展，互相促進(jìn)。敏銳的觀察力是直覺思維的起步器；‘一葉落而知天下秋’的聯(lián)想習(xí)慣、科學(xué)美的鑒賞力是直覺思維的助跑器；強(qiáng)有利的語言表達(dá)能力是直覺思維的載體。美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，應(yīng)該做更多的工作去發(fā)展學(xué)生的直覺思維。直覺思維能力可以通過多方聯(lián)想，學(xué)會從整體考察問題，注意挖掘問題內(nèi)部的本質(zhì)聯(lián)系，借助對稱、和諧等數(shù)學(xué)美感，養(yǎng)成解題后進(jìn)行反思的習(xí)慣等途徑加以培養(yǎng)。
1、注重整體洞察，培養(yǎng)學(xué)生的整體直覺思維和觀察能力。直覺思維不同于邏輯思維，直覺思維是綜合的而不是分析的，它依賴于對事物全面和本質(zhì)的理解，側(cè)重于整體上把握對象而不拘泥于細(xì)節(jié)的邏輯分析，它重視元素之間的聯(lián)系、系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)，從整體上把握研究的內(nèi)容和方向。觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門。沒有觀察就沒有發(fā)現(xiàn)，更不能有創(chuàng)造。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中圖形的識別，規(guī)律的發(fā)現(xiàn)以及理解能力、記憶能力、抽象能力、想象能力和運算能力等都離不開觀察。在觀察之前，要給學(xué)生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求。指導(dǎo)學(xué)生從整體上觀察研究對象的特征，比如對于三角問題指導(dǎo)學(xué)生從角、函數(shù)名和形式進(jìn)行觀察，注意幫助學(xué)生養(yǎng)成自問和反思的習(xí)慣，努力培養(yǎng)學(xué)生濃厚的觀察興趣。
2、重視解題教學(xué)，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維。華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微�！蓖ㄟ^深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺，對培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺思維大有幫助。教師應(yīng)該把直覺思維在課堂教學(xué)中明確提出，制定相應(yīng)的活動策略。重視數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)，諸如：換元、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、反證法等，通過方法論的分析使數(shù)學(xué)中的發(fā)明、創(chuàng)造活動成為“可以理解的”、 “可以學(xué)到手的”和”可以加以推廣應(yīng)用的”，以思想方法的分析去帶動具體知識內(nèi)容的教學(xué)。
教學(xué)中選擇適當(dāng)?shù)念}目類型，有利于考察和培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維。例如選擇題，由于只要求從四個選擇中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發(fā)展。實施開放性問題教學(xué)，也是培養(yǎng)直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結(jié)論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺思維能力的培養(yǎng)。當(dāng)人們解一道數(shù)學(xué)題時，往往要對結(jié)果或解題途徑先作大致的估量或猜測，這就是一種數(shù)學(xué)直覺思維。在解決抽象的數(shù)學(xué)問題時，要注意利用直覺思維解題，能把抽象轉(zhuǎn)化為具體，本身也是一種直覺思維能力。
3、注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜想，培養(yǎng)歸納直覺思維。歸納直覺是一種非邏輯思維，它需要有“理智的勇氣”、 “精明的誠實”、 “明智的克制”。在數(shù)學(xué)解題中，運用歸納直覺，雖然是冒風(fēng)險的，但仍然值得重視。猜想是由已知原理、事實，對未知現(xiàn)象及其規(guī)律所作出的一種假設(shè)性的命題。在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行猜想，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生直覺思維，掌握探求知識方法的必要手段。作為一個教師，我們不僅應(yīng)當(dāng)注意“保護(hù)”學(xué)生已有的猜想能力和直覺能力，而且應(yīng)更加注意幫助學(xué)生學(xué)會合理的猜想方法，并使他們的直覺思維不斷得到發(fā)展和趨向精致�！耙�”學(xué)生大膽設(shè)問；“引”學(xué)生各抒己見；“引”學(xué)生充分活動。讓學(xué)生猜想問題的結(jié)論，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知識間的有機(jī)聯(lián)系，讓學(xué)生把各種各樣的想法都講出來，讓學(xué)生真正“觸摸”到自己的研究對象，推動其思維的主動性。為了啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行猜想，我們還可以創(chuàng)設(shè)使學(xué)生積極思維，引發(fā)猜想的意境，可以提出“怎么發(fā)現(xiàn)這一定理的？”“解這題的方法是如何想到的？”諸如此類的問題，組織學(xué)生進(jìn)行猜想、探索，還可以編制一些變換結(jié)論，缺少條件的“藏頭露尾”的題目，引發(fā)學(xué)生猜想的愿望，猜想的積極性。對于學(xué)生的大膽設(shè)想應(yīng)給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護(hù)、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺思維，以免挫傷學(xué)生直覺思維的積極性和學(xué)生直覺思維的悟性。教師應(yīng)及時因勢利導(dǎo)，解除學(xué)生心中的疑惑，使學(xué)生對自己的直覺產(chǎn)生成功的喜悅感。
4、注重滲透數(shù)學(xué)審美觀念，培養(yǎng)審美直覺思維。美的意識能喚起和支配數(shù)學(xué)直覺。縱觀古今，數(shù)學(xué)上的許多發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)舉無論從宏觀還是微觀上看無不遵循美的創(chuàng)造規(guī)律。難怪?jǐn)?shù)學(xué)大師阿達(dá)瑪認(rèn)為，數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì)是某種“美感”或“美的意識”。 美感和美的意識是數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì)。龐加萊畢生追求“簡單與宏遠(yuǎn)”，愛因斯坦看重宇宙的“統(tǒng)一與和諧”。美學(xué)是科學(xué)家譜寫科學(xué)理論“詩篇”的一條紅線。數(shù)學(xué)中主要包括簡潔美、和諧美、對稱美、奇異美以及數(shù)學(xué)思想美、數(shù)學(xué)家的情感美，在美的享受中啟迪人們的心靈，引起精神的升華。法國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家拉普拉斯從牛頓力學(xué)中“感受到數(shù)學(xué)的完美性”，英國數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家羅素從歐幾里德《幾何原本》中“讀出音樂般的美妙”，英國物理學(xué)家狄拉克從“數(shù)學(xué)形式的美”中發(fā)現(xiàn)了“物理世界的真”。因此提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)事物間存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺意識。在課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美是提高學(xué)生審美能力的有效途徑之一。同時巧妙的語言表達(dá)如一個恰當(dāng)?shù)谋扔饕部墒箤W(xué)生廣開思路，回味無窮。例如為了講清函數(shù)s＝5t和y＝5x是同一個函數(shù)，你在采用“這兩個映射都是把數(shù)集A中的每一個元素對應(yīng)到它本身的5倍”的語言講述后，不妨比喻為一個人穿兩件不同的衣服，賦予函數(shù)的符號好似人穿的衣服，它的實質(zhì)好比這個人本身，又如多對一的映射比喻為“萬箭穿心”，如此生動形象淺顯貼切的比喻使枯燥的說教自慚形穢。
5、注重滲透數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀點，加強(qiáng)在其它學(xué)科中應(yīng)用的意識，提高信息處理能力。直覺的產(chǎn)生是基于對研究對象整體的把握，而哲學(xué)觀點有利于高屋建瓴地把握事物的本質(zhì)。這些哲學(xué)觀點包括數(shù)學(xué)中普遍存在的對立統(tǒng)一、運動變化、相互轉(zhuǎn)化、對稱性等特點。
在教學(xué)中，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理各種各樣的信息也是非常重要的。如中考的一道題：如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表承它們有網(wǎng)線相聯(lián)。連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量�，F(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞。則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為( 　　　)


(A)26　　 (B)24 　　(C)20 　　(D)19
首先引導(dǎo)學(xué)生直覺地意識到單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量應(yīng)為每條線路單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量之和，又每條線路中收到的信息量不超過每相鄰結(jié)點間可以通過信息量的最小值。因而最大信息量為3＋4＋6＋6＝19。
三、結(jié)束語
數(shù)學(xué)是一門滴水不漏的學(xué)科，許多直覺洞察的空隙必須要用邏輯推理來填補(bǔ)。 對于直覺與非形式的強(qiáng)調(diào)是無可非議的，但是我們并不能以此去取代數(shù)學(xué)證明，而只能作為后者的必要補(bǔ)充；而“如果在解決問題的過程中總是滿足于不加證明的猜測，他們很快就會忘記在猜測與證明之間的區(qū)分”，而后者甚至可以說比根本不知道如何去解決問題更糟。直覺思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發(fā)展，伊思。斯圖爾特曾經(jīng)說過這樣一句話，“數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺和嚴(yán)格性巧妙的結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”受控制的精神和富有美感的邏輯正是數(shù)學(xué)的魅力所在，也是數(shù)學(xué)教育者努力的方向。

   

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