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一次作業(yè)評(píng)講中的研究性學(xué)習(xí)
湖北省云夢(mèng)縣夢(mèng)澤高中 周曉文
這是一次作業(yè)中的一道題:
問題：是否存在同時(shí)滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說明理由：
（1） 漸近線為x+2y=0及x-2y=0;
（2） 點(diǎn)A（5，0）到雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P的距離的最小值為 .
這是一道流傳較廣的試題, 題目綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高. 不出所料，作業(yè)收上來后，能夠完整做對(duì)的學(xué)生為數(shù)寥寥. 然而我又欣喜地看到，盡管有些學(xué)生還不能完整地解決，但是如果循著學(xué)生的思路對(duì)此題進(jìn)行重新審視，發(fā)現(xiàn)只要發(fā)動(dòng)學(xué)生對(duì)這些思路進(jìn)行評(píng)判、再探索，這其實(shí)是一個(gè)很好的研究性學(xué)習(xí)素材. 于是我專門用了一節(jié)課對(duì)此題作了評(píng)講.
我先出示了學(xué)生T對(duì)此題的部分解答：
解：當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)（焦點(diǎn)在y軸上的情況他還未考慮出），易知雙曲線的右頂點(diǎn)到點(diǎn)A的距離最短.
由雙曲線漸近線為 , 可設(shè)雙曲線方程為 (b>0).
雙曲線的右頂點(diǎn)為（2b,0）,
. 故 .
因此這樣的雙曲線存在，且其方程為： .
盡管是部分解答，卻也夠“簡潔”了！當(dāng)同學(xué)們看完解答后，一時(shí)竟沒有學(xué)生提出疑議——顯然，他們也認(rèn)為解答中用到的一個(gè)“事實(shí)”：雙曲線的右頂點(diǎn)到點(diǎn)A的距離最短無疑是正確的. 經(jīng)過一番思索后，終于有思維慎密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐瑢W(xué)對(duì)此提出了置疑，然而他也一下子拿不出什么根據(jù). 這時(shí)我適時(shí)地啟發(fā)道，數(shù)學(xué)講求的是嚴(yán)密，有時(shí)光憑猜測(cè)、估計(jì)，還不能揭示數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)特征，這個(gè)問題中，究竟是不是雙曲線的右頂點(diǎn)到點(diǎn)A的距離最短，并不是“易知”的，它還需要我們的精確論證. 那么，我們能否對(duì)此問題作一研究呢？
同學(xué)們一個(gè)個(gè)情緒高漲，躍躍欲試. 不久，幾個(gè)成績較好的學(xué)生拿出了他們的研究成果：設(shè)雙曲線方程為 （ > >0）， A(m,0)(m>0)為x軸正半軸上一點(diǎn)，設(shè)P（x,y）為雙曲線上任一點(diǎn)，其中 .
則
=
=
= .
（1） 若 ≥ ，亦即 ≥ ，
則當(dāng) 時(shí)， 最小.
（2） 若 即0< < ，亦即 < ，
則當(dāng) 時(shí)， 最小.
至此問題已得到解決，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo) 滿足0< < 時(shí)，雙曲線的右頂點(diǎn)到點(diǎn)A的距離最短（此時(shí)點(diǎn)A有可能在右頂點(diǎn)左側(cè)，也有可能在右頂點(diǎn)右側(cè)，在右頂點(diǎn)右側(cè)時(shí) < < ）;當(dāng) ≥ 時(shí)，雙曲線上有兩點(diǎn)到點(diǎn)A的距離最短（其橫坐標(biāo)均為 .
依據(jù)此結(jié)果重新審視學(xué)生T的解答，可知答案 是正確的，而當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)A在雙曲線右頂點(diǎn)右側(cè)，若右頂點(diǎn)到點(diǎn)A距離最短，則必須滿足 < < ，而檢驗(yàn)知此式不成立，故 應(yīng)舍去.
畢竟是自己研究得到的成果，同學(xué)們的興奮之情溢于言表，這時(shí)，我又出示了學(xué)生S對(duì)此題的解答.
解：假設(shè)滿足條件的雙曲線存在，且設(shè)其方程為 ，雙曲線上到點(diǎn)A距離最短的點(diǎn)即以點(diǎn)A為圓心、 為半徑的圓與雙曲線相切時(shí)的切點(diǎn).
聯(lián)立 , 消y得： .
雙曲線與圓相切,
. = 1.
故滿足條件的雙曲線存在，且其方程 .
乍一看，學(xué)生S的解答是無懈可擊的，并且方法簡捷、明快，顯然，這是在學(xué)習(xí)了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系后，學(xué)生用判別式討論圓錐曲線與圓錐曲線位置關(guān)系的一個(gè)大膽的遷移，如果沒有前面的分析作鋪墊，我相信幾乎所有的學(xué)生會(huì)認(rèn)為這個(gè)解答是完滿的. 但是，正因?yàn)橛星懊鎸?duì)此問題的研究，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)解答剛好是學(xué)生S沒有研究的情形，而對(duì)于雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)的解，這個(gè)解答顯然失掉了.
為什么會(huì)失去解呢？我不失時(shí)機(jī)地提出這個(gè)問題.
同學(xué)們一個(gè)個(gè)雙眉緊蹙，陷入了思
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