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橢 圓 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程
橢 圓 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 胡挺員 10月16日 《中學(xué)數(shù)學(xué)》 1 觀察與實(shí)驗(yàn)（課外完成） T：在自然界、科學(xué)界、技術(shù)界乃至我們的生活中都存在大量的“橢圓”形態(tài)，請(qǐng)大家注意觀察，看能發(fā)現(xiàn)多少；并根據(jù)書上介紹的用繩子畫橢圓的方法試著畫些橢圓。 2 閱讀與交流（1課時(shí)） 觀察與實(shí)驗(yàn)的交流（略） T：鑒于橢圓的重要性，我們有必要進(jìn)一步對(duì)其進(jìn)行定性和定量的研究。下面請(qǐng)大家閱讀本節(jié)教材，對(duì)重、疑點(diǎn)作出標(biāo)記，并盡可能用自己的想法進(jìn)行解釋。半小時(shí)后我們一起交流（教師巡回指導(dǎo)）。 T：下面我們開始交流。有疑的提問，無(wú)疑的為同學(xué)或者為我釋疑。 S：（1）為什么要把“焦距”和“常數(shù)”設(shè)為2c和2a?而不設(shè)為c和a？ （2）在“設(shè)a2-c2=b2“時(shí)，為什么要規(guī)定”b>0"? （3）是否可以按畫圓的直觀圖的方法畫橢圓？ T：（4）改變橢圓定義中“大于|F1F2|”結(jié)果如何？ （5）推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方程變形過程是否為等價(jià)變形？ （釋疑過程略） 3 探索與創(chuàng)新（課外完成） T：江澤民同志多次強(qiáng)調(diào)指出：“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是一個(gè)國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力�！保ā度嗣袢�?qǐng)?bào)》1998年12月24日）。那么，對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)你能否通過探索有所創(chuàng)新？下堂課展示大家的研究成果。 4 成果與點(diǎn)評(píng)（約1課時(shí)） 思路一：（S俞滄粟等）由A+B=2a，左邊分子有理化，建立關(guān)于A、B的方程組，求出A或B，… T：逆向思維、方程思想！ 思路二：（S王一克等）由A+B=2a，為迅速去根號(hào)，尋找與之配偶的共軛根式A-B=？。令A(yù)-B=Z，與A+B=2a聯(lián)立解得Z，進(jìn)而求出A、B�！� T：求簡(jiǎn)意識(shí)、方程思想！ 思路三：（S周元、李高艷等提出思路）受用細(xì)繩畫橢圓的實(shí)驗(yàn)的啟發(fā)（當(dāng)兩定點(diǎn)漸漸靠近重合為一點(diǎn)時(shí)，橢圓變?yōu)閳A），試圖尋找橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之間的聯(lián)系。由圓x2+y2=a2各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的b/a倍得到橢圓x2+(a/b)2y2=1,即x2/a2+y2/b2=1。 T：實(shí)驗(yàn)的感知、理性的思索！ 思路四：（S孫亮、王韻等）受例2啟發(fā)，由兩圓方程（x+c）2+y2=r2與(x-c)2+y2=(2a-r)2（r為參數(shù)）聯(lián)立獲得。 T：得益于對(duì)“曲線的方程”的深刻理解和轉(zhuǎn)化的思想！ 思路五：（S俞滄粟、孫亮等）由(x/a)2+(y/b)2=1聯(lián)想Sin2a+Cos2a=1,為使兩者溝通，想到了三角函數(shù)定義。利用分別以a、b為半徑，以原點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓進(jìn)行構(gòu)造（是一條獲得橢圓參數(shù)方程的精彩思路）。 T：反思、聯(lián)想、構(gòu)造、數(shù)形結(jié)合。 思路六：（T）由A+B=2a直接平方整理，注意結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行合理運(yùn)算——膽量與智慧的結(jié)合！ 思路七：（T）一個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)定值的情況我們熟悉，為此，先考慮一個(gè)定點(diǎn)F1和一個(gè)定長(zhǎng)2a（拉成一條線段）的情形，由此可發(fā)現(xiàn)，橢圓就是以F1為圓心、2a為半徑的圓的半徑的外端點(diǎn)與F2的連線的垂直平分線與該半徑的交點(diǎn)的軌跡——退一步，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化！選修“幾何畫板的學(xué)習(xí)和應(yīng)用”的同學(xué)不妨在電腦上玩一玩，你將會(huì)獲得橢圓之外的驚喜！ 5 反思與伏筆 T：上面我們根據(jù)橢圓的定義得到了推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的許多思路（思路一~四、六），是由“形”到“數(shù)”的過程；又通過對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程的反思，獲得了推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的新思路（思路五），是由“數(shù)”再到“數(shù)”的過程。還運(yùn)用了以退求進(jìn)的策略對(duì)橢圓作出了另一種解釋（思路七），這顯然是從“形”到“形”的收獲。那么，你能否從“數(shù)”到“形”再作些研究？比如由a2-cx=aB進(jìn)行適當(dāng)變形，對(duì)橢圓作出新的幾何解釋？
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