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淺談數(shù)學(xué)中的一種常用解題策略—轉(zhuǎn)化

時間:2022-08-17 17:13:04 數(shù)學(xué)論文 我要投稿
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淺談數(shù)學(xué)中的一種常用解題策略—轉(zhuǎn)化

淺談數(shù)學(xué)中的一種常用解題策略——轉(zhuǎn)化

淺談數(shù)學(xué)中的一種常用解題策略—轉(zhuǎn)化


   “轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)中最常用最基本的思維方式之一。轉(zhuǎn)化就是在分析解決問題時,把那些待解決或難解決的問題,通過某種轉(zhuǎn) 化過程,把復(fù)雜、隱蔽的問題轉(zhuǎn)化為簡單、明顯的問題。初中數(shù) 學(xué)的轉(zhuǎn)化方法多種多樣,常用的有下列幾種:


  一、高次(或多元)向低次(或低元)轉(zhuǎn)化;


   例1已知X2-2X-l=0,則代數(shù)式X3—X2—3X十2的值是 (97年廣東省初三數(shù)學(xué)競賽第一道試題)


  (A)O (B)1 (C)2 (D)3


  分析:此題若通過已知X2-2X-1=0解得


   X=2土石代入原式求出答案,顯然運算量大。因此為了減 少運算量,我們應(yīng)將問題轉(zhuǎn)化,經(jīng)分析可知:X2=2X十1代人原式,從而達(dá)到降次的目的,最后得到正確答案(D),由此可見,通過降次,可以將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單低次的問題,從而得到解決。


  分析:解多元方程組的思想方法是將多元方程組轉(zhuǎn)化為低元方程組,最后轉(zhuǎn)化為一次方程而求得,此題的解題思想方法如下所示: 三元一次方程組消元二元一次方程組消元一元一次方程


  二、特殊與一般的互相轉(zhuǎn)化從特殊(一船)到一般(特殊)的思維方法是數(shù)學(xué)和其它科 學(xué)領(lǐng)域中進(jìn)行探索,發(fā)現(xiàn)真理知識的重要途徑。


  例3圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心 角的一半。


  分析:考慮到圓周角與圓心角的一般關(guān)系,我們可以分為下列三種情況來證明。


  (1)如圖1圓心在圓周角的一邊上:


  易證得∠APB=1/2∠AOB


  (2)如圖2圓心在圓周角的內(nèi)部:


  易證∠APB=∠APS-∠BPS=1/2∠AOS -1/2∠BOS=1/2∠AOS


  (3)如圖3圓心在圓周角的外部:


  易得∠APB=∠APS-∠BPS =∠AOS-1/2∠BOS 』 J =1/2∠AOB


  綜上所述,不論哪種情況,圓周角都等于它所對的弧所對的圓心角的一半,從而命題得證(詳細(xì)過程參考《幾何》第三冊P91-92)這是由特殊到一般的轉(zhuǎn)化。


  例4 如圖4,已知定圓⊙O1;與定圓⊙02外切于P點,AB 是過切點P的任一直線分別與⊙01和⊙02交于A、B 求證: AP/BP是一個定值。則應(yīng)先找出這個定值,而題中給出的條件中固定不變的只有兩圓的半徑(不防設(shè)為R.r)即要證AP/BP與R,r有 關(guān),由此啟發(fā)我們過切點P作⊙Ol與⊙02的直徑CD構(gòu)成Rt △APC~Rt△BPD,得出AP/BP=CP/DP=r/R:參由此可見,找出定值的進(jìn)程就是由一船到特殊轉(zhuǎn)化的過程。

  三、正面向反面的轉(zhuǎn)化。


   很多數(shù)學(xué)的問題正面難于入手,但從問題的反面則易于解決,故此我們通常用正面向反面的轉(zhuǎn)化方法去解決一些數(shù)學(xué)問 題。


   例5若三個方程


  至少有一個方程有實數(shù)解,試求實數(shù)a的取值范圍。


  分析:條件“至少有一個方程有實數(shù)解”的情況十分復(fù)雜,如逐個方程討論,勢必造成運算過程繁瑣,且容易出錯。但若從 這個問題的反面去思考,將問題轉(zhuǎn)化為“三個方程都沒有實數(shù)解”,則使問題變得單一、明白,由此可得

  綜合得出-3/2<a<-1時,三個方程都沒有實數(shù)解,由此可知, 當(dāng)a≤-3/2或a≥-1時,三個方程必定有一個方程有實數(shù)根。


  四、隱含向明朗轉(zhuǎn)化。


  由于有些數(shù)學(xué)問題表面上沒有任何突破口、入手之處,但只要我們認(rèn)真分析找出題中隱蔽原條件,就會使問題迎刃而解。


   例6化簡:(2+1)(22+1)(24+1)…(264+1)+1


  (摘初一級第八屆“希望杯”培訓(xùn)題)


  分析:此題初看起來難于動筆,查只要認(rèn)真分析,觀察一下題型結(jié)構(gòu),較快發(fā)現(xiàn)一個隱蔽條件:1=2-1,再利用平方差公 式,很易使問題得到解決。


  解:原式=(2-1)(2-1)(22十1)…(264十1)十1

      =(22-1)(22十1)(24十1)…(264十1)十1

       =2128


  五、致與形的相互轉(zhuǎn)化。


  例△ABC的三邊為連續(xù)的自然數(shù),且最大 角為最小角的二倍,求三邊長(95年天津市,初 三競賽題)


  分析:這道題的常見解法是構(gòu)造三角形法,依題目的已知條件,構(gòu)造如圖5設(shè)∠CAB=2 ∠C,對應(yīng)邊分別為X-1,X,X十1延長CA到 D,使AD=AB,連結(jié)BD,得到△ADB!鰾DC,因此有(x+1)/(x-1)=(2x-1)/(x+1),解得x=5


  從而得出三角形三邊之長

   六、綜合(或復(fù)雜)向單一(或簡單)的轉(zhuǎn)化,是解綜合題 的常用思維方法之一。


  例8如圖690n與①02外切于點 P,CD為兩圓的外公切線,PT為兩圓的 內(nèi)公切線,且①O,與①02的半徑分別為— 9和4


  (1)求PT的長;


  (2)求Sin01的值;


  (3)證明PC·PD=PA·PB;


  (95年廣西壯族自治區(qū)升中試第31題)


  分析:這個綜合(或復(fù)雜)題可以轉(zhuǎn)化為三個單一(或簡 單)的基本問題是:


  1、在△PCD中,若TC=Pr=TD,點T在cD上cD=12,求 Pr的長;


  2、在直角梯形DC0102中,若O1C=9,02D=4,0102=13, 求SinOl的值;


  3、若BC//AD、CA與BD相交于點P,求證PC·PD=PA·PB 這樣分為三個小題后,問題(1),(2)易解決,而問題(3) 只證得點C、O、B共線,點D、02、A共線,即可得CB//DA,從而得出PC/PB=PD/PA得出結(jié)論PC·PD=PA·四。


  綜上可知,轉(zhuǎn)化的思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的一種最常見最基礎(chǔ)的思維方法,也是作為一名中學(xué)生(或中學(xué)教師)必須掌握 并靈活運用的思維方法,而常見的六種轉(zhuǎn)化,也是中學(xué)數(shù)學(xué)中最 常用的轉(zhuǎn)化手段。