培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是現(xiàn)代學(xué)校教學(xué)的一項(xiàng)基本任務(wù)。第二次世界大戰(zhàn)以后，科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，知識(shí)激增，知識(shí)的更新加快，隨之對(duì)教育提出了新的要求，就是要提高年輕一代的素質(zhì)。不僅要教給學(xué)生現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)知識(shí)，而且要把學(xué)生培養(yǎng)成勇于思考、勇于探索、勇于創(chuàng)新的人，從而強(qiáng)調(diào)教學(xué)要注重發(fā)展學(xué)生的智力。從心理學(xué)角度來(lái)看，智力的核心是思維能力。思維能力增強(qiáng)了，智力水平也就提高了。因此各國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)都把培養(yǎng)學(xué)生思維能力作為教學(xué)的一項(xiàng)基本任務(wù)。

　　培養(yǎng)學(xué)生思維能力是一個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題，它涉及到邏輯學(xué)、心理學(xué)、教育學(xué)等多學(xué)科的知識(shí)。同時(shí)，邏輯學(xué)和心理學(xué)都研究思維，但它們的側(cè)重面有所不同。邏輯學(xué)主要從思維的結(jié)果（或產(chǎn)物）如概念、判斷、推理等方面來(lái)研究，而且著重研究正確思維的規(guī)律及形式，以及這些認(rèn)識(shí)結(jié)果之間的關(guān)系。心理學(xué)則主要從思維過(guò)程本身來(lái)研究，著重研究思維過(guò)程中的規(guī)律，以及導(dǎo)致形成某些認(rèn)識(shí)結(jié)果的內(nèi)在的隱蔽的原因。由于思維過(guò)程與思維結(jié)果是密切聯(lián)系著的，所以心理學(xué)與邏輯學(xué)對(duì)思維的研究也要緊密聯(lián)系，并且相互補(bǔ)充。我們?cè)谘芯啃�學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展思維能力也同樣要注意思維過(guò)程和思維結(jié)果緊密聯(lián)系這一特點(diǎn)，忽視哪一方面都不可能收到良好的教學(xué)效果。

　　思維活動(dòng)是多種多樣的。根據(jù)人的不同發(fā)展階段的思維特點(diǎn)來(lái)劃分，可以分為以下幾個(gè)階段。

　�。ㄒ唬┲庇^行動(dòng)思維：這是嬰兒期（1歲以后）的思維特點(diǎn)。這個(gè)階段的思維是在對(duì)物體的感知、動(dòng)作中進(jìn)行的。嬰兒離開動(dòng)作就不能進(jìn)行思考，也不能計(jì)劃自己的動(dòng)作或預(yù)見動(dòng)作的結(jié)果。這階段嬰兒只能概括事物的一些外部特征。以后長(zhǎng)到成人，直觀行動(dòng)思維繼續(xù)發(fā)展成操作思維。例如運(yùn)動(dòng)員的技能就需要操作思維。

　�。ǘ�）具體形象思維：幼兒期的思維特點(diǎn)，一般從3歲延續(xù)到小學(xué)低年級(jí)。兒童思維時(shí)可以擺脫對(duì)動(dòng)作的直接依賴，而憑借事物的具體形象或具體形象的聯(lián)想（即在頭腦中形成表象）。這階段兒童能進(jìn)行一些初步概括，但概括出的特征很多是外部的、形式的。

　�。ㄈ�）抽象邏輯思維：它是以抽象概念為基礎(chǔ)的思維。又可以分為兩個(gè)階段。

　　1.形式邏輯思維：簡(jiǎn)稱邏輯思維。它是以同一律為核心規(guī)律，進(jìn)行確定的、無(wú)矛盾的、前后一貫的思維。它要求在同一思維過(guò)程中的每一個(gè)概念必須是確定的。例如，A就是A，不能既是A又是非A。在小學(xué)數(shù)學(xué)中每一個(gè)概念也都必須是確定的。例如教學(xué)約數(shù)、倍數(shù)時(shí)，把0排除，否則公倍數(shù)、最小公倍數(shù)也要包括0了。

　　形式邏輯思維的特點(diǎn)主要是從思維形式（概念、判斷、推理）上進(jìn)行思維。它是抽象邏輯思維發(fā)展的初級(jí)階段，因此也稱為普通思維，形式邏輯也稱普通邏輯。一般地說(shuō)，10—11歲是過(guò)渡到邏輯思維的關(guān)鍵年齡。這時(shí)學(xué)生的概括能力有了較顯著的變化。

　　2.辯證邏輯思維：簡(jiǎn)稱辯證思維。它是以對(duì)立統(tǒng)一為核心規(guī)律而進(jìn)行的思維。它著重從事物內(nèi)部的矛盾性，概念的矛盾運(yùn)動(dòng)來(lái)進(jìn)行思考。它把思維形式和思維內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，對(duì)事物的發(fā)展變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程進(jìn)行思考。它是抽象邏輯思維發(fā)展的高級(jí)階段，必須在形式邏輯思維的基礎(chǔ)上才能形成。據(jù)心理學(xué)家研究，9—11歲學(xué)生的辯證思維才開始萌芽。

　　從個(gè)體發(fā)展來(lái)說(shuō)，上述幾種思維活動(dòng)雖然是分階段逐步發(fā)展的，但每發(fā)展到后一階段時(shí)，前一階段的思維特點(diǎn)并不因此而停止發(fā)展或消失，在一定條件下，還向更高的水平發(fā)展。例如，文學(xué)家、藝術(shù)家、建筑學(xué)家等的具體形象思維獲得了高度的發(fā)展。

　　新中國(guó)成立以來(lái)，歷屆小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中有關(guān)發(fā)展學(xué)生思維能力的規(guī)定基本相同，即培養(yǎng)學(xué)生初步的邏輯思維能力。這里所講的邏輯思維主要是指形式邏輯思維。從國(guó)家教委1992年頒發(fā)的《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》中看得更清楚。其中明確提出，“結(jié)合有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行初步的分析、綜合、比較、抽象、概括，對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行判斷、推理，逐步學(xué)會(huì)有條理、有根據(jù)地思考問(wèn)題；同時(shí)注意思維的敏捷和靈活�！边@表明，在小學(xué)階段主要是培養(yǎng)學(xué)生初步的形式邏輯思維能力，同時(shí)也注意培養(yǎng)學(xué)生的一些良好的思維品質(zhì)。

　　為什么在小學(xué)以培養(yǎng)初步的形式邏輯思維能力為主呢？個(gè)人體會(huì)有以下兩點(diǎn)。

　�。ㄒ唬�從數(shù)學(xué)的特點(diǎn)看：數(shù)學(xué)具有抽象性和邏輯嚴(yán)密性。數(shù)學(xué)本身是由許多判斷組成的確定體系。這些判斷都是由數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和邏輯術(shù)語(yǔ)以及相應(yīng)的符號(hào)所表示的語(yǔ)句來(lái)表達(dá)的，并且借助邏輯推理由一些判斷形成新的判斷。而這些判斷的總和就構(gòu)成了數(shù)學(xué)這門科學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容雖然比較簡(jiǎn)單，也沒(méi)有嚴(yán)格的推理論證，但都是經(jīng)過(guò)人們抽象、概括、判斷、推理、論證得出的真正的科學(xué)結(jié)論，只是不給學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)密的合乎邏輯的論證。即使這樣，一時(shí)一刻也離不開判斷、推理。這就為培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維提供了十分有利的條件。

　�。ǘ�）從小學(xué)生的思維特點(diǎn)看：小學(xué)生正處在從具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的階段。特別是中、高年級(jí)，學(xué)生的抽象思維發(fā)生了“飛躍”或“質(zhì)變”。具體地說(shuō)，10—11歲學(xué)生開始能逐步分出概念的本質(zhì)特征，能初步掌握比較科學(xué)的定義，能領(lǐng)會(huì)概念之間的邏輯關(guān)系，也能獨(dú)立進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的邏輯分析，并進(jìn)行間接的推理（即由幾個(gè)判斷推出新的判斷）。因此可以說(shuō)，這一階段正是發(fā)展學(xué)生形式邏輯思維的有利時(shí)期。

　　由此可以看出，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中提出培養(yǎng)學(xué)生初步的邏輯思維能力，既符合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，又符合小學(xué)生的年齡特點(diǎn)。

　　有人一度提出，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的之一是發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造思維。這一點(diǎn)值得商榷。第一，根據(jù)心理學(xué)研究，創(chuàng)造思維是人們思維活動(dòng)的高級(jí)過(guò)程。它有普通思維的特點(diǎn)，例如在解問(wèn)題時(shí)，也有提出問(wèn)題、明確問(wèn)題、提出假設(shè)、檢驗(yàn)假設(shè)等階段。但是不同之處在于有想象的參與。另外，創(chuàng)造思維往往是邏輯思維的簡(jiǎn)縮。從多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，如果沒(méi)有良好的邏輯思維的訓(xùn)練，很難發(fā)展創(chuàng)造思維。也就是說(shuō)，發(fā)展創(chuàng)造思維首先要有邏輯思維做基礎(chǔ)。其次，人們的一般思維活動(dòng)中也具有一定的創(chuàng)造性思維的因素。可以說(shuō)，發(fā)展邏輯思維，在一定程度上也包含著發(fā)展思維的創(chuàng)造性品質(zhì)。但是如果把創(chuàng)造思維作為基本要求提出來(lái)，對(duì)小學(xué)生說(shuō)就要求太高了。此外，由于創(chuàng)造思維這一過(guò)程本身比較復(fù)雜，心理學(xué)的分析研究還很不充分，還難以具體說(shuō)明它的內(nèi)涵，要在小學(xué)里提出明確具體的教學(xué)要求就更困難了。

　　也有人強(qiáng)調(diào)小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)著重發(fā)展辯證思維。這也值得商榷。如前所述，辯證思維是抽象邏輯思維發(fā)展的高級(jí)階段，需要有一定的形式邏輯思維做基礎(chǔ)。而且從小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)說(shuō)，雖然有些內(nèi)容能夠反映辯證思維的某些規(guī)律，但有很多內(nèi)容受到一定的局限。例如，對(duì)加與減，可以說(shuō)是相反的運(yùn)算，兩種運(yùn)算相互依存，但是在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化就不好講，因?yàn)檫�沒(méi)有學(xué)過(guò)負(fù)數(shù)。另外從小學(xué)生的年齡特點(diǎn)來(lái)說(shuō)，9—11歲才開始萌發(fā)辯證思維，顯然比形式邏輯思維發(fā)展得晚。因此在小學(xué)把發(fā)展辯證思維作為教學(xué)的基本要求，還為時(shí)過(guò)早。在小學(xué)只能結(jié)合某些內(nèi)容適當(dāng)滲透一些唯物辯證觀點(diǎn)的因素，給學(xué)生積累一些感性材料，而不是講辯證法。例如，講整數(shù)加法與減法時(shí)，可以通過(guò)實(shí)例說(shuō)明它們是相反的運(yùn)算，是相互依存的；講分?jǐn)?shù)乘除法時(shí)，可以通過(guò)實(shí)例說(shuō)明兩種運(yùn)算在分?jǐn)?shù)中可以相互轉(zhuǎn)化。

　　下面基本按照《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》中所提的內(nèi)容分別加以闡述，同時(shí)分別提出一些教學(xué)建議供參考。

　　（一）培養(yǎng)學(xué)生初步運(yùn)用分析、綜合、比較、抽象、概括等能力

　　這些內(nèi)容，從邏輯學(xué)上說(shuō)都是邏輯的方法；從心理學(xué)上說(shuō)都是人們進(jìn)行思維活動(dòng)必不可少的過(guò)程。

　　1.培養(yǎng)初步的分析、綜合能力。

　　分析是在思維中把事物的整體分解成個(gè)別部分、要素或特性；綜合是把個(gè)別部分或特性結(jié)合成一個(gè)整體。分析與綜合是密切聯(lián)系著的，人們一方面不斷進(jìn)行分析，另一方面對(duì)分析的結(jié)果不斷加以綜合。

　　分析與綜合在小學(xué)數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。通過(guò)分析可以理解某一數(shù)學(xué)知識(shí)的要素，新舊知識(shí)間的聯(lián)系；通過(guò)綜合又對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有了全面的和整體的理解。

　　從一年級(jí)開始就用到分析與綜合，而且貫穿在各年級(jí)各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)之中。下面舉幾個(gè)例子。

　�。�1）教學(xué)10以內(nèi)的數(shù)時(shí)，要了解每個(gè)數(shù)的分解和組成。如

　�。�2）任何一個(gè)計(jì)算，幾乎都可以分解成幾個(gè)已學(xué)的基本計(jì)算。如20

　�。�3）在進(jìn)行概括的時(shí)候，一般都先經(jīng)過(guò)分析，然后再綜合。例如，講除法的意義，先通過(guò)具體例子分析除法中各組成部分與乘法中各組成部分的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上概括出除法的意義。

　�。�4）解答簡(jiǎn)單應(yīng)用題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題找出所需的已知條件就是分析的過(guò)程，根據(jù)已知條件提出所能解的問(wèn)題就是綜合的過(guò)程。解答復(fù)合應(yīng)用題時(shí)，分析、綜合就較為復(fù)雜。先把復(fù)合應(yīng)用題分解為幾個(gè)有聯(lián)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用題，進(jìn)一步分析解每個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用題所需的已知條件，然后把已知條件成對(duì)的結(jié)合，連續(xù)地解答幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用題，最后得到問(wèn)題的答案。例如：

　　兩步應(yīng)用題：“同學(xué)們做了12朵紅花，8朵黃花。送給幼兒園15朵，還剩幾朵？”

　　想：要求還剩幾朵，須知道什么？——一共做多少朵，送了多少朵。（分析）

　　一共做多少朵知道嗎？那么要先算什么？

　　要求一共做多少朵，須知道什么？——做了幾朵紅花，幾朵黃花。（分析）

　　題里告訴了什么？怎么求一共做多少朵？（綜合）

　　知道一共做20朵，現(xiàn)在可以求什么？怎么求？（綜合）

　�。�5）教學(xué)幾何初步知識(shí)也同樣運(yùn)用著分析與綜合。例如，教學(xué)長(zhǎng)方體特征時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析它們的面、校和頂點(diǎn)，然后加以綜合，總結(jié)出長(zhǎng)方體有6個(gè)面、12條棱和8個(gè)頂點(diǎn)，以及其他特征。

　　小學(xué)生的分析與綜合，在不同年齡段具有不同的水平。低年級(jí)學(xué)生能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析與綜合，但是一般都要結(jié)合動(dòng)作和直觀來(lái)進(jìn)行，而且主要是進(jìn)行部分的分析，即能分析某個(gè)事物的個(gè)別部分或個(gè)別特征。中年級(jí)學(xué)生在教學(xué)的影響下有所發(fā)展，但多數(shù)還是部分分析，而進(jìn)行綜合的分析能力還很差。解答兩步應(yīng)用題時(shí)，有近50％的學(xué)生能正確分析出第一步先求什么，多數(shù)能列綜合算式解答。高年級(jí)學(xué)生的分析、綜合能力有較大的發(fā)展。他們能進(jìn)行稍復(fù)雜的分析與綜合。解答整、小數(shù)兩步應(yīng)用題時(shí)，近80％的學(xué)生能正確分析出第一步先求什么。但解分?jǐn)?shù)的兩步應(yīng)用題時(shí)，還有較多學(xué)生對(duì)分析感到困難。在用不同方法解答應(yīng)用題時(shí)，需要把原有條件重新組合分析，然后列綜合算式，從而使學(xué)生的綜合分析能力也得到了發(fā)展。

　　教學(xué)生進(jìn)行分析、綜合時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

　　（1）研究的事物都有許多部分、要素和特性，其中有些是重要的、本質(zhì)的，教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生分析重要的和本質(zhì)的東西。例如，12×3，口算時(shí)可以把12分解成任意兩個(gè)數(shù)的和，但是要著重引導(dǎo)學(xué)生把12分解成10和2，先算整十?dāng)?shù)乘以3，再算2乘以3，最后把兩個(gè)積合并起來(lái)。

　�。�2）要隨著學(xué)生的年齡逐步提高分析、綜合的要求。例如，低年級(jí)教學(xué)10以內(nèi)數(shù)的組成要結(jié)合動(dòng)作、直觀來(lái)進(jìn)行分析；解答應(yīng)用題也借助動(dòng)作、直觀來(lái)分析數(shù)量關(guān)系。到了高年級(jí)，有的就可脫離直觀，但較抽象的內(nèi)容還要適當(dāng)利用直觀。如教學(xué)約數(shù)、公約數(shù)、倍數(shù)、公倍數(shù)等可以讓學(xué)生擺一擺計(jì)數(shù)板，以加深對(duì)分解公有的質(zhì)因數(shù)的理解。

　�。�3）分析的深刻、詳細(xì)的程度注意適當(dāng)劃分層次。例如，低年級(jí)教學(xué)長(zhǎng)方形、只分析出它有4條邊、對(duì)邊相等，有4個(gè)角，都是直角。較高年級(jí)教學(xué)平行以后再分析出它的對(duì)邊平行。

　�。�4）為了培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合的能力，注意適當(dāng)讓學(xué)生口頭表述分析、綜合的過(guò)程，可以讓同桌的學(xué)生經(jīng)常互相說(shuō)給對(duì)方聽。

　　2.培養(yǎng)初步的比較能力。

　　比較就是確定所研究的事物之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。有比較才能鑒別，通過(guò)比較可以加深對(duì)事物的理解。比較與分析、綜合有著密切的聯(lián)系。通過(guò)分析，把事物的個(gè)別部分、個(gè)別特性區(qū)分出來(lái)，才有可能加以比較，確定它們的異同。

　　比較在小學(xué)

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　　小學(xué)生的比較能力也是逐步發(fā)展起來(lái)的。低年級(jí)學(xué)生往往只能在直接感知的條件下區(qū)分一些直觀、具體的事物的異同，或區(qū)分個(gè)別部分的異同，還不善于區(qū)分本質(zhì)的異同。隨著年齡和年級(jí)的增長(zhǎng)，學(xué)生逐步發(fā)展到能區(qū)分抽象事物的異同，許多部分的異同，并且對(duì)簡(jiǎn)單的事物能區(qū)分本質(zhì)的異同。研究還表明，小學(xué)生開始比較容易發(fā)現(xiàn)事物的相異點(diǎn)，逐步也能發(fā)現(xiàn)事物的相同點(diǎn)或相似點(diǎn)。而且開始發(fā)現(xiàn)事物的相異點(diǎn)都是比較明顯的，以后逐步能比較細(xì)微的差異點(diǎn)。

　　教學(xué)生進(jìn)行比較時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

　　（1）要比較的事物和對(duì)比較的要求必須適合上述小學(xué)生在比較方面的年齡特點(diǎn)。例如，低年級(jí)要多利用直觀，并且多加引導(dǎo)；高年級(jí)則要更多地放手讓學(xué)生進(jìn)行抽象事物的比較，遇到較難的知識(shí)仍可利用直觀。開始著重比較明顯的相異點(diǎn)，以后逐步練習(xí)比較細(xì)微的差異點(diǎn)。

　�。�2）明確要比較的項(xiàng)目，必須在同一種屬性、特點(diǎn)或關(guān)系上進(jìn)行比較。有時(shí)在幾方面有相同點(diǎn)或不同點(diǎn)，就要引導(dǎo)學(xué)生分項(xiàng)依次進(jìn)行比較。例如引導(dǎo)學(xué)生比較長(zhǎng)方形和正方形時(shí)，先比較它們的邊，再比較它們的角，然后綜合起來(lái)說(shuō)出它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

　�。�3）要引導(dǎo)學(xué)生抓住本質(zhì)的屬性。特別是分析不同點(diǎn)時(shí)，往往有很多非本質(zhì)的不同點(diǎn)，不要在這些方面花很大力量。例如，方程解應(yīng)用題和用算術(shù)方法解應(yīng)用題，在解題時(shí)有很多相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，但最重要的不同點(diǎn)是：用方程解時(shí)把未知量當(dāng)作已知量直接參加列式，算術(shù)解法則把未知量作為解答的目標(biāo)而不參加列式。學(xué)生明確這一點(diǎn)，就抓住用方程解應(yīng)用題的本質(zhì)。

　�。�4）對(duì)于易混的概念和法則要著重比較它們的相異點(diǎn)。例如1分米、1平方分米和1立方分米，要通過(guò)比較，使學(xué)生明確它們的實(shí)際長(zhǎng)短或占空間的大小，弄清它們分別是長(zhǎng)度單位、面積單位和體積單位，它們分別與1米、1平方米和1立方米的進(jìn)率是10、100和1000，從而獲得明確的長(zhǎng)度單位、面積單位和體積單位的概念。

　　3.培養(yǎng)初步的抽象、概括能力。

　　抽象是在思維中揭示出事物的本質(zhì)特征，舍棄其非本質(zhì)特征。有時(shí)本質(zhì)或非本質(zhì)特征要根據(jù)研究的方向和目標(biāo)而定。例如：下面的幾個(gè)形體，可以分別研究它們的形狀特征。大小特征，顏色特征或制作的材料特征等。

　　概括則是在思維中把某些事物所抽取出的共同本質(zhì)特征結(jié)合起來(lái)，并推廣到同類的事物上去。例如，研究大小不同、放的位置也不同的三角形，抽取出它們的共同本質(zhì)特征，并得出一般結(jié)論，即三角形都由三條線段圍成的，都有3個(gè)角。這就是概括。

　　顯然，抽象、概括與分析、比較、綜合有著密切的聯(lián)系。它們是在分析事物的各自特征的基礎(chǔ)上，舍棄其中一些非本質(zhì)的對(duì)我們沒(méi)有意義的特征或?qū)傩�，分出本質(zhì)的對(duì)我們有意義的特征或?qū)傩�，并且通過(guò)比較不同的事物，找出它們的共同特征或本質(zhì)屬性，再加以綜合。因此可以說(shuō)，這幾種邏輯方法是相互聯(lián)系、相互滲透的。

　　抽象、概括在小學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是抽象、概括的結(jié)果。例如，認(rèn)數(shù)3時(shí)，先數(shù)3個(gè)杯子，數(shù)的時(shí)候舍棄了杯子的形狀、大小、顏色等特征，區(qū)分出數(shù)量來(lái)；再數(shù)3支鉛筆、3個(gè)球，也同樣舍棄其他的特征，只區(qū)分出數(shù)量的特征。經(jīng)過(guò)比較，可以看到這三種物體具有共同的數(shù)量特征，即都是3個(gè)，于是概括出數(shù)目3。認(rèn)識(shí)形也是一樣，先拿一個(gè)小圓筒，舍棄它的數(shù)量、大小、顏色等特征，而抽取出它的形狀特征。那么就看到它有上下兩個(gè)圓面，還有一個(gè)側(cè)面是曲面。如果再拿幾個(gè)小圓筒，大小、顏色雖然不同，但是形狀上具有同樣的特征，那么就根據(jù)它們具有形狀的共同特征把它們歸為一類，做出概括。

　　小學(xué)生的抽象、概括能力也因年齡和年級(jí)的不同而有不同的層次和水平。據(jù)心理學(xué)家研究，低年級(jí)學(xué)生主要處于直觀形象水平階段。如認(rèn)數(shù)1、 2、 3， 4、 5……以及認(rèn)識(shí)加、減、乘、除運(yùn)算的含義等，都是通過(guò)操作、直觀而抽象、概括出來(lái)的。學(xué)生在抽象、概括時(shí)，他們往往只注意到或概括出事物的直觀形象和外部特征。例如，在一年級(jí)教學(xué)圓柱的認(rèn)識(shí)，有的學(xué)生說(shuō)它的形狀是“直上直下的，像個(gè)大柱子，圓乎乎的。”在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生逐步能離開直觀，理解一些抽象的數(shù)概念，概括出簡(jiǎn)單的計(jì)算法則。中年級(jí)學(xué)生則發(fā)展到形象抽象水平階段。其特點(diǎn)是：學(xué)生注意和區(qū)分事物的直觀的和外部的特征逐漸減少，而注意和區(qū)分事物的內(nèi)部的和本質(zhì)的特征逐漸增加。到了高年級(jí)，進(jìn)一步發(fā)展到初步的本質(zhì)抽象水平。其特點(diǎn)是：大多數(shù)學(xué)生能對(duì)事物的本質(zhì)特征或?qū)傩砸约笆挛锏膬?nèi)部聯(lián)系和關(guān)系進(jìn)行抽象、概括。例如，給學(xué)生出示幾個(gè)不同的菱形（來(lái)教過(guò)），四年級(jí)除了一些學(xué)生能抽象概括出它們都有 4個(gè)角或 4條邊外，有 8％的學(xué)生能指出它們的四邊相等或?qū)�角相等。而五六年�?jí)除了一些學(xué)生能抽象概括出它們都有4個(gè)角或4條邊外，有21％的學(xué)生能指出它們的四邊相等或?qū)�角相等，還有33％的學(xué)生能指出它們是對(duì)稱圖形或有對(duì)稱軸。高年級(jí)學(xué)生還能初步理解用字母表示數(shù)。但是學(xué)生的本質(zhì)抽象水平的發(fā)展還是不完全的，對(duì)于離學(xué)生生活遠(yuǎn)的事物或高度的抽象、概括，還感困難。例如分?jǐn)?shù)、小數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)的本質(zhì)特征，還需要通過(guò)操作或直觀來(lái)理解。

　　教學(xué)生進(jìn)行抽象、概括時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

　�。�1）要通過(guò)直觀、具體的材料進(jìn)行抽象。抽象是與具體相對(duì)應(yīng)的，因此要按照由具體到抽象的原則，提供豐富的直觀、具體的材料，并引導(dǎo)學(xué)生抽象。直觀、具體的程度可根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)以及平時(shí)積累的感性經(jīng)驗(yàn)多少而定。低年級(jí)要多運(yùn)用一些直觀、具體的材料，到高年級(jí)遇到過(guò)于抽象的概念，如質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)、分?jǐn)?shù)等概念，也要注意適當(dāng)運(yùn)用直觀教具。

　　（2）注意抽象、概括的科學(xué)性。進(jìn)行抽象、概括時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分出事物的本質(zhì)特征，舍棄其非本質(zhì)特征，以便達(dá)到正確理解所學(xué)的知識(shí)。另外要注意從多個(gè)事物進(jìn)行抽象、概括，避免從一個(gè)事例作出概括，以防止得出片面的不正確的結(jié)論。即使是通過(guò)幾個(gè)事例進(jìn)行抽象概括，有時(shí)也難免得不到正確的一般概括，因此所舉的事例要具有典型性、代表性。例如，低年級(jí)教學(xué)長(zhǎng)方形時(shí)，要出不同的放置位置的長(zhǎng)方形，特別要注意出現(xiàn)斜著放

　　誤認(rèn)為只有底邊是水平放置的長(zhǎng)方形才是長(zhǎng)方形。

　�。�3）進(jìn)行抽象、概括之后還要注意具體化。具體化和抽象、概括是相反的過(guò)程，在抽象、概括出事物的本質(zhì)的一般特征之后，還要引導(dǎo)學(xué)生回到單獨(dú)的個(gè)別的事物上去，以作為對(duì)抽象、概括出的結(jié)論的應(yīng)用和驗(yàn)證。通過(guò)這一活動(dòng)還可以加深學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)的理解，使學(xué)生的思維生動(dòng)、靈活。例如，教學(xué)乘法的初步認(rèn)識(shí)后，可以出現(xiàn)算式3×4，讓學(xué)生用小圓片擺出這個(gè)算式表示的是幾個(gè)幾。另外，如果有些差生對(duì)抽象、概括出的概念的本質(zhì)特征不易理解，還要再回到具體的事例中去以幫助理解。

　�。ǘ�）培養(yǎng)學(xué)生初步的判斷、推理能力

　　前面講的是思維的過(guò)程和方法，但人們?cè)谶M(jìn)行思維時(shí)，以什么形式表現(xiàn)出來(lái)呢？這就是通常所說(shuō)的概念、判斷和推理。無(wú)論邏輯學(xué)或心理學(xué)，都把這三者看作基本的思維形式。

　　1.重視概念的教學(xué)。

　　概念是對(duì)事物的一般屬性和本質(zhì)特征的反映形式。任何一個(gè)概念都是對(duì)事物進(jìn)行抽象、概括的結(jié)果。概念與知覺(jué)、表象不同。知覺(jué)、表象都是事物的具體的映象，具有直觀的性質(zhì)。而概念具有抽象、概括的性質(zhì)。

　　概念是用詞來(lái)表達(dá)的，它以詞的意義的形式而存在。在小學(xué)數(shù)學(xué)中概念有很多，也都是用詞來(lái)表示的，如整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)、直線、長(zhǎng)方形、圓等。

　　（1）概念的定義。

　　任何一個(gè)概念都反映事物的本質(zhì)特征，通常叫做概念的內(nèi)涵。例如，平行四邊形這個(gè)概念，它的內(nèi)涵就是兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。一個(gè)概念還反映了某一類事物的總和或范圍，通常叫做概念的外延。例如，三角形的外延就是指所有的三角形，其中包括銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。可以看出，概念的內(nèi)涵是說(shuō)明概念的含義的，概念的外延是說(shuō)明它的適用范圍的。這兩者相互聯(lián)系、相互依賴。每個(gè)概念都有確定的內(nèi)涵和外延，不能混淆。

　　概念一般都要加以定義。通過(guò)定義來(lái)揭示概念所反映的事物的本質(zhì)特征。這在小學(xué)數(shù)學(xué)中例子也很多。給概念下定義的方法也有多種，下面舉出幾種常見的下定義的方法。例如，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。（關(guān)系定義，說(shuō)明平行四邊形是四邊形中的一種，它的本質(zhì)特征是兩組對(duì)邊分別平行。）

　　已知兩個(gè)數(shù)的和及其中一個(gè)加數(shù)求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。（也是關(guān)系定義。）

　　一條線段繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所成的角叫做周角。（發(fā)生定義，說(shuō)明這種角的由來(lái)。）

　　兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量。（條件定義，通常有“如果……那么……”）

　　此外，在某些情況下，概念不好下定義，就采取描述、說(shuō)明的方法。這在小學(xué)數(shù)學(xué)中還比較多。例如，物體表面或圍成平面的大小叫做它們的面積。（描述）

　　把一個(gè)合數(shù)表示成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，叫做分解質(zhì)因數(shù)。（說(shuō)明、解釋）

　　1、2、3、4、5……叫做自然數(shù)。（指出概念的外延）

　　有些初始概念是不定義的，如集合。（在小學(xué)不講）

　�。�2）小學(xué)生對(duì)概念的掌握。

　　小學(xué)生掌握概念有一個(gè)逐步提高的過(guò)程。低年級(jí)學(xué)生掌握的概念大部分是具體的；如果是比較抽象的概念，那么必須是通過(guò)直觀可以了解其本質(zhì)特征的。據(jù)心理學(xué)家研究，兒童對(duì)概念的掌握的水平是與其概括的發(fā)展水平相適應(yīng)的。低年級(jí)學(xué)生掌握概念的水平主要是描述型和功用型，如果給概念下定義，學(xué)生還較難接受。另外，學(xué)生往往對(duì)概念的本質(zhì)特征不很清楚，也不易全面掌握。例如，有的學(xué)生誤認(rèn)為，只有水平放置的長(zhǎng)方形才叫長(zhǎng)方形。中年級(jí)學(xué)生可以初步理解和掌握一些概念的本質(zhì)特征，但是由于抽象、概括水平的限制，對(duì)某些概念的本質(zhì)特征的理解和掌握還有困難，而且往往不能脫離直觀形象的支持。例如，中年級(jí)學(xué)生掌握億以內(nèi)的數(shù)比較容易，對(duì)億以上的數(shù)就比較困難。分?jǐn)?shù)、小數(shù)的概念，還需要通過(guò)操作、直觀來(lái)逐步理解它們的含義。另?yè)?jù)研究，四年級(jí)學(xué)生能識(shí)別垂線、直角三角形、平行四邊形、正方形、梯形、圓這6種圖形的平均正確率可達(dá)62.3％，但是能說(shuō)明圖形特征的平均正確率只有28.3％。這說(shuō)明要掌握幾何圖形的本質(zhì)特征還是比較難的。到了高年級(jí)，學(xué)生能夠掌握一些概念的本質(zhì)特征，理解一些概念的抽象定義。據(jù)測(cè)試，五年級(jí)能正確掌握所學(xué)平面圖形特征的可達(dá)50％。但是有些概念還需要通過(guò)直接的經(jīng)驗(yàn)或感性的表象來(lái)掌握。例如教學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)，仍需要借助一些直觀材料來(lái)說(shuō)明概念的意義。高年級(jí)學(xué)生還能理解和掌握一些概念間的邏輯聯(lián)系或概念系統(tǒng)，如平行四邊形、長(zhǎng)方形和正方形之間的聯(lián)系和區(qū)別。但對(duì)概念的本質(zhì)特征的理解和掌握也有不完全、邏輯性差等缺點(diǎn)，有時(shí)甚至發(fā)生混淆。例如，學(xué)生往往難以區(qū)分質(zhì)數(shù)、互質(zhì)數(shù)和質(zhì)因數(shù)的含義，在計(jì)算時(shí)還往往用錯(cuò)術(shù)語(yǔ)。

　　（3）教學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)要注意的幾點(diǎn)。

　　①正確說(shuō)明所教概念的意義，首先教師要弄清概念的意義。要把數(shù)學(xué)的科學(xué)概念與日常生活中的概念的含義區(qū)別開來(lái)。例如“角”在數(shù)學(xué)中指的是平面的角，與日常生活“角”的含義不同。

　　要防止不適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)大或縮小概念的內(nèi)涵或外延。例如教學(xué)“整數(shù)”不能只包括0和自然數(shù)。

　　教學(xué)概念的意義時(shí)避免同一詞語(yǔ)的反復(fù)。例如不能說(shuō)“求兩個(gè)數(shù)加在一起是多少叫做加法”。

　　不能任意解釋一個(gè)概念。例如教學(xué)體積概念時(shí)，用粉筆盒說(shuō)明裝多少支粉筆就是體積的大小。

　　要注意在理解的基礎(chǔ)上給學(xué)生分析概念的定義。例如教學(xué)平行四邊形，首先說(shuō)明它是一個(gè)四邊形，再說(shuō)明它與一般的四邊形的差別在于兩組對(duì)邊分別平行。

　�、谧⒁庑纬筛拍钜�符合兒童的認(rèn)知特點(diǎn)。由于數(shù)學(xué)概念都是抽象的，一般要按照如下的認(rèn)知順序進(jìn)行教學(xué)：動(dòng)作、感知→表象→概念、符號(hào)。如教學(xué)數(shù)目3，先出數(shù)量是3的各種實(shí)物圖（可讓學(xué)生自己擺），然后出點(diǎn)子圖，最后出數(shù)字“3”。教學(xué)質(zhì)數(shù)和合數(shù)，可以先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)20以內(nèi)數(shù)的約數(shù)的多少進(jìn)行分析，找出它們的特點(diǎn)，然后進(jìn)行分類，把2、3、5、7、11、13、17、19歸為一類，把4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20歸為另一類，最后概括出質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念。

　　③注意概念的具體化。概念的形成是把具體事物進(jìn)行抽象化的過(guò)程，形成概念以后還要回到具體化，以利于學(xué)生正確理解并加深理解概念的意義。例如教學(xué)乘法的含義后，給出一個(gè)乘法算式，讓學(xué)生用小棒擺出它表示的是幾個(gè)幾。教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義后，讓學(xué)生舉實(shí)例說(shuō)明它的含義。

　�、茏⒁飧拍铋g的聯(lián)系和區(qū)別。這對(duì)于加深學(xué)生對(duì)概念的理解有重要的作用。

　　了解概念的聯(lián)系也就是了解概念間的關(guān)系。概念間的關(guān)系一般有以下幾種。

　　從屬關(guān)系：如四邊形、平行四邊形和長(zhǎng)方形的從屬關(guān)系可以用下圖表示。

　　同一關(guān)系：說(shuō)明兩個(gè)概念完全相同。如等邊三角形和等角三角形，質(zhì)數(shù)和素?cái)?shù)。

　　矛盾關(guān)系：如加法和減法，正比例和反比例。

　　并列關(guān)系：如直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形，奇數(shù)和偶數(shù)。

　　交叉關(guān)系：如等腰三角形和直角三角形，可以用下圖表示。

　　了解概念間的區(qū)別，就是要精確地掌握概念的內(nèi)涵，弄清各概念的本質(zhì)特征有什么不同。如長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積，要通過(guò)操作和直觀使學(xué)生弄清楚各指長(zhǎng)方形的哪一部分，用的計(jì)量單位和計(jì)算方法各有什么不同。

　　對(duì)于一些有聯(lián)系的概念，到適當(dāng)時(shí)候可以引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)的概念納入概念系統(tǒng)中去，使知識(shí)系統(tǒng)化。例如，整數(shù)四則運(yùn)算通過(guò)下表可把知識(shí)系統(tǒng)化。

　�、葜匾暩拍畹膽�(yīng)用和鞏固。牢固地掌握一個(gè)概念，必須是能識(shí)別和應(yīng)用它，理解概念的意義，而不是一字不差地背出概念的定義。

　　為了使學(xué)生識(shí)別和理解概念，可以出現(xiàn)如下的練習(xí)，讓學(xué)生判斷是否正確。

　　最小的自然數(shù)是0。（ ）

　　角的兩邊越長(zhǎng)，角就越大。（ ）

　　為了使學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用概念，可以出現(xiàn)如下的練習(xí)。

　　用加法的意義說(shuō)明下面的應(yīng)用題為什么用加法算：

　　“小明有15張郵票，小強(qiáng)比小明多3張，小強(qiáng)有多少?gòu)堗]票？”

　　能整除120的質(zhì)數(shù)有_____。

　　2.培養(yǎng)初步的判斷能力。

　　判斷是對(duì)事物具有某種特征或?qū)傩缘目隙ɑ蚍穸ǖ乃伎�。例如，“自然�?shù)和0都是整數(shù)”，“含有質(zhì)因數(shù)3的數(shù)不能化成有限小數(shù)”，都是判斷。很明顯，判斷是用語(yǔ)句來(lái)表達(dá)的。而語(yǔ)句是由詞聯(lián)結(jié)成的，因此判斷是由概念聯(lián)結(jié)成的。也可以說(shuō)，判斷是反映概念間的聯(lián)系的形式，它反映一個(gè)概念是不是包含于另一個(gè)概念之中。例如，“減法是加法的逆運(yùn)算”這個(gè)判斷，它首先說(shuō)明減法是一種運(yùn)算

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　　小學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)概念的定義，法則，定律和公式等一般都用判斷形式來(lái)表示。

　　（1）判斷的分類。

　　①簡(jiǎn)單判斷：指一個(gè)判斷中不包含其他的判斷。根據(jù)事物的數(shù)量、各種性質(zhì)以及不同的關(guān)系，簡(jiǎn)單判斷可以分成很多種。這里結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)舉出常見的幾種。

　　按照肯定或否定某一種性質(zhì)來(lái)分，有：

　　肯定判斷：如，能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)。

　　否定判斷：如，0不是自然數(shù)；分母含有2、5以外的質(zhì)因數(shù)的分?jǐn)?shù)，不能化成有限小數(shù)。

　　按照事物的數(shù)量來(lái)分，有：

　　單稱判斷：判斷中只關(guān)系到一個(gè)事物。如，1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

　　特稱判斷：判斷中關(guān)系到某些事物。如，有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。

　　全稱判斷：判斷中關(guān)系到某一類事物的全部。如，任意三角形的內(nèi)角和是180°。

　　按照判斷中所確定的事物與事物間的關(guān)系來(lái)分，有：

　　對(duì)稱性的：如，3加2等于5；1米等于100厘米。

　　非對(duì)稱性的：如，5大于3。

　　傳遞性的：如，小明比小華高，小華比小林高，小明比小林高。

　�、趶�(fù)合判斷：它是由幾個(gè)簡(jiǎn)單判斷結(jié)合而成的。常見的有：

　　聯(lián)言判斷：它是斷定幾個(gè)事物情況同時(shí)存在的判斷。如，3和5都是質(zhì)數(shù)；15既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)。

　　選言判斷：它是斷定幾個(gè)可能的事物情況至少有一個(gè)存在的判斷。如，互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)，或者一個(gè)是質(zhì)數(shù)一個(gè)是合數(shù)，或者兩個(gè)都是質(zhì)數(shù)，或者兩個(gè)都是合數(shù)。

　　假言判斷：它斷定的是在某一條件下事物才具有某種屬性。如，如果一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除；（如果）小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，小數(shù)就擴(kuò)大10倍。

　�。�2）小學(xué)生判斷能力的發(fā)展。

　　小學(xué)生的判斷能力也是逐步發(fā)展的。低年級(jí)學(xué)生已能作一些簡(jiǎn)單判斷，但是大多屬于感知形式的直接判斷。例如，教師出示5朵紅花，學(xué)生點(diǎn)數(shù)后說(shuō)出“紅花是5朵”。在學(xué)生所進(jìn)行的簡(jiǎn)單判斷中，很多是對(duì)事物是否具有某種屬性的直接斷定。如“紅花是5朵”，“正方形的四條邊是相等的”。還有大量的判斷是反映事物間的關(guān)系的。如“5比3大”，“紅花比黃花少3朵”，“羊的頭數(shù)是牛的2倍”，“3加2等于5”，“1米等于100厘米”等。這些判斷，在教學(xué)的影響下，學(xué)生一般都能掌握。有時(shí)還用到一些稍復(fù)雜的判斷。例如，“在沒(méi)有括號(hào)的算式里，有乘法和加、減法，要先算乘法。這實(shí)際上是一個(gè)假言判斷，只是在法則中把“如果……那么……”給省略了。通過(guò)實(shí)際例子，低年級(jí)學(xué)生還是能夠理解和運(yùn)用的。進(jìn)入中年級(jí)，學(xué)生的判斷能力有了一定的發(fā)展。有些學(xué)生能夠離開直觀進(jìn)行一些抽象的判斷。例如，對(duì)“兩個(gè)加數(shù)的和一定比每個(gè)加數(shù)大”，有43.9％能做出正確的判斷。但有些比較難的問(wèn)題，判斷的正確率比較低。有些學(xué)生能對(duì)所做的判斷提出根據(jù)，但仍是少數(shù)。例如，在出示x×3=24，讓學(xué)生求未知數(shù)x時(shí)，大多數(shù)學(xué)生能做對(duì)，但只有9.6％的學(xué)生能說(shuō)出根據(jù)什么用除法計(jì)算。中年級(jí)學(xué)生能理解和掌握比較容易的假言判斷。在數(shù)學(xué)課上通過(guò)具體事例，多數(shù)學(xué)生能理解和掌握積的變化規(guī)律和商不變的規(guī)律。例如，“一個(gè)數(shù)和35相乘，積是7000，如果這個(gè)數(shù)縮小10倍，積變成（ ）�！闭�確率達(dá)76.7％。高年級(jí)學(xué)生的判斷能力有較大的發(fā)展。多數(shù)學(xué)生能進(jìn)行抽象的判斷。例如，對(duì)“一個(gè)近似數(shù)是350，它可以表示的準(zhǔn)確數(shù)里，最小的是351�！�64.5％的學(xué)生能做出正確的判斷。多數(shù)學(xué)生還能對(duì)做出的判斷提出簡(jiǎn)單的論證或說(shuō)明根據(jù)。例如，在解x×3=24時(shí)，68.7％的學(xué)生能回答出計(jì)算的根據(jù)。據(jù)心理學(xué)家研究，高年級(jí)學(xué)生還能論證一些比較復(fù)雜的或然判斷，提出各種可能的原因，并從中確定正確的原因或主要原因。但是根據(jù)數(shù)學(xué)測(cè)試，當(dāng)一道題有不同的判斷時(shí)，學(xué)生能答出幾個(gè)可能的判斷的只占12.4％，大多數(shù)學(xué)生只做出一種判斷。這可能與平時(shí)教學(xué)解題時(shí)只有一個(gè)正確答案有關(guān)。盡管如此，這些事例已能說(shuō)明高年級(jí)學(xué)生具有一定的邏輯判斷能力。

　�。�3）培養(yǎng)學(xué)生初步的判斷能力要注意的幾點(diǎn)。

　�、僖�正確理解數(shù)學(xué)知識(shí)中的每個(gè)判斷，能從邏輯角度弄清它屬于哪類判斷，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)中的邏輯因素，才便于教學(xué)中有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生做出合乎邏輯的判斷。例如，三角形的內(nèi)角和是180°，這是一個(gè)全稱判斷，因此教學(xué)時(shí)要對(duì)直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形分別加以考察、分析，然后再做結(jié)論。教學(xué)后還要問(wèn)一問(wèn)學(xué)生，為什么能做出結(jié)論說(shuō)“任意三角形的內(nèi)角和是180°”呢？

　�、谝�根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，通過(guò)具體例子引導(dǎo)學(xué)生做出正確的判斷。在低年級(jí)還要多運(yùn)用操作、直觀，在高年級(jí)對(duì)一般的判斷可以脫離直觀，但對(duì)比較抽象又難理解的判斷，如有關(guān)分?jǐn)?shù)大小的比較，還要適當(dāng)運(yùn)用直觀。

　�、垡�使學(xué)生正確理解判斷中所確定的量，事物間的關(guān)系以及所具有的屬性的特點(diǎn)。首先要分清一個(gè)判斷是單稱的、特稱的或是全稱的。其次要分清判斷中概念間的關(guān)系。有些可通過(guò)畫圖來(lái)說(shuō)明（如下圖）。

　　對(duì)于假言判斷，要使學(xué)生弄清條件。如小數(shù)點(diǎn)移位引起小數(shù)大小的變化，要弄清什么條件下小數(shù)的大小發(fā)生變化，怎樣變；什么條件下小數(shù)的大小不變（即小數(shù)的基本性質(zhì)）。

　�、茉O(shè)計(jì)好判斷的練習(xí)。這是培養(yǎng)學(xué)生判斷能力的重要途徑。做一些判斷是否正確的題目很有好處。例如，

　　所有的偶數(shù)都是合數(shù)。（ ）

　　分?jǐn)?shù)都比1小。（ ）

　　互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)一定都是質(zhì)數(shù)。（ ）

　　對(duì)于學(xué)生的回答，要注意引導(dǎo)學(xué)生檢查和糾正其判斷中的邏輯錯(cuò)誤。也可進(jìn)行這樣的練習(xí)。例如，

　　任意兩個(gè)等底等高的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。（“任意”兩字應(yīng)改為“有些”，即把全稱判斷改成特稱判斷。）

　　不同一。）

　　不能化成有限小數(shù)？

　　3.培養(yǎng)初步的推理能力。

　　推理是從一個(gè)或幾個(gè)判斷得出一個(gè)新判斷的思維形式。推理所依據(jù)的判斷叫做前提，推出的新判斷叫做結(jié)論。

　　人們?cè)趯?shí)踐中常常運(yùn)用邏輯推理的方法獲得新知識(shí)。推理在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)方面起著極其重要的作用。大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)是由一些基本判斷推導(dǎo)出來(lái)的。

　　根據(jù)前提的數(shù)目來(lái)分，推理有兩種：

　　直接推理：是以一個(gè)判斷作前提的推理。例如，由“5比3大”推出“3比5小”。

　　有些直接推理也并不是很容易掌握的。例如，由“自然數(shù)和0都是整數(shù)”推出“整數(shù)就是自然數(shù)和0”，就錯(cuò)了。

　　間接推理：是有兩個(gè)或兩個(gè)以上的判斷作前提的推理。例如，

　　各位上的數(shù)的和能被3整除的數(shù)都能被3整除；

　　375各位上的數(shù)的和能被3整除；

　　所以，375能被3整除。

　�。�1）幾種常用的間接推理。

　　①歸納推理：它是從特殊判斷到一般判斷的推理。這種推理又分為完全歸納和不完全歸納兩種。

　　完全歸納是根據(jù)某類事物的每一種特殊情況（即對(duì)所有情況都一一考察）做出一般結(jié)論。這在小學(xué)數(shù)學(xué)中是少見的。下面可以算作接近完全歸納的例子。例如，通過(guò)直觀得出，

　　直角三角形的內(nèi)角和是180°；

　　銳角三角形的內(nèi)角和是180°；

　　鈍角三角形的內(nèi)角和是180°；

　　所以，任意三角形的內(nèi)角和是180°。

　　不完全歸納是僅根據(jù)某類事物中的部分情況具有某種屬性做出一般性結(jié)論。這在小學(xué)數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。例如，教學(xué)0的乘法、運(yùn)算定律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等，一般舉幾個(gè)例子，分別做出個(gè)別結(jié)論（即單稱判斷），然后做出一般結(jié)論（即全稱判斷）。

　　應(yīng)用不完全歸納推理，有時(shí)根據(jù)不多的幾個(gè)事實(shí)，會(huì)得出不正確的結(jié)論。例如，

　　3是質(zhì)數(shù)，也是奇數(shù)；

　　7是質(zhì)數(shù)，也是奇數(shù)；

　　11是質(zhì)數(shù)，也是奇數(shù)；

　　所以，所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。（2是質(zhì)數(shù)，卻是偶數(shù)。）

　　因此使用不完全歸納推理必須十分謹(jǐn)慎，所舉事實(shí)必須注意代表性，做出結(jié)論后要進(jìn)一步加以驗(yàn)證。

　�、谘堇[推理：它是從一般判斷到特殊判斷的推理。演繹推理中最常用的是三段論形式。例如，

　　分?jǐn)?shù)的分子、分母是互質(zhì)數(shù)的是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)；（大前提）

　　可以看出，三段論是由3個(gè)判斷組成的，前兩個(gè)判斷分別叫大前提和小前提，最后是結(jié)論。在大前提中提供了一般原理原則，在小前提中提供了一個(gè)特殊情況（即特殊判斷）。三段論通常都是從大前提開始的。但在實(shí)際中也往往從小前提開始，然后再提出大前提。因此在思維時(shí)兩個(gè)前提可以顛倒順序。但必須分清哪個(gè)是大前提，哪個(gè)是小前提。

　　在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用法則、公式、定律等解決具體問(wèn)題時(shí)，都運(yùn)用了演繹推理。但往往不是嚴(yán)格按照三段論形式，而采取了簡(jiǎn)略的推理形式。例如，

　　所以，375能被3整除。

　�。ㄟ@里省略了大前提。）

　　另外，在說(shuō)明算理或論證的時(shí)候，實(shí)際上是先說(shuō)了結(jié)論，再補(bǔ)充前提。例如，

　　判斷下面哪些數(shù)能被3整除：375，……

　　回答：375能被3整除。（這是結(jié)論。）

　　為什么？—因?yàn)?75各位上的數(shù)的和能被3整除。（只說(shuō)出小前提，省略了大前提。）

　　也可能答：因?yàn)楦魑簧系臄?shù)的和能被3整除的數(shù)都能被3整除。（只說(shuō)出大前提，省略了小前提。）

　　③類比推理：是根據(jù)兩個(gè)事物在一系列屬性上有相似之點(diǎn)，已知其中一個(gè)事物還有其他屬性，由此做出另一個(gè)事物也具有同樣的其他屬性的結(jié)論。它的推理方式如下。

　　事物A具有屬性 a、b、c、d；

　　所以，事物B也具有屬性d。

　　可以看出，這是從特殊判斷到特殊判斷的推理。

　　類比推理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也有一些應(yīng)用。例如，

　　整數(shù)的計(jì)數(shù)單位間進(jìn)率是10，做加法要相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起；

　　小數(shù)的計(jì)數(shù)單位間進(jìn)率是10，做加法要相同數(shù)位對(duì)齊(就是小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊）；

　　所以，小數(shù)加法也要從低位加起。

　　有關(guān)平面圖形的許多判斷通過(guò)類比推理可推到立體圖形上去。例如，

　　長(zhǎng)方形的面積等于相鄰兩條邊的乘積；長(zhǎng)方體的體積等于相鄰三條棱的乘積。

　　圓可以分成一些相等的扇形，再拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，從而導(dǎo)出圓面積計(jì)算公式；直圓柱的兩底面是半徑相等的圓，因此可以把圓柱底面分成一些相等的扇形，按底面扇形大小切開，再拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，從而導(dǎo)出圓柱體體積計(jì)算公式。

　　必須注意，用類比推理所得的結(jié)論不總是真實(shí)的。因?yàn)檫M(jìn)行類比推理的兩個(gè)事物雖有許多相似之點(diǎn)，但仍有一些差異，如果遇到有差異的屬性，或者在第二個(gè)事物中根本沒(méi)有這種屬性，而仍使用類比推理，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如，

　　各位上的數(shù)的和能被3整除的數(shù)，能被3整除；

　　9是3的3倍，各位上的數(shù)的和能被9整除的數(shù)，能被9整除；

　　27是9的3倍，各位上的數(shù)的和能被27整除的數(shù)，卻不一定能被27整除。（這里的27是兩位數(shù)）

　　由于類比推理所得的結(jié)論有或然性，它不能代替科學(xué)論證，所以在推出結(jié)論后，需要進(jìn)一步論證或在實(shí)踐中檢驗(yàn)。

　�。�2）小學(xué)生推理能力的發(fā)展。

　　小學(xué)生的推理能力，是隨著年齡的增長(zhǎng)以及教學(xué)的影響逐步發(fā)展起來(lái)的。低年級(jí)學(xué)生首先掌握的是簡(jiǎn)單的直接推理，如由“5比3大”直接推出“3比5小”。遇到帶有逆思考性質(zhì)的推理，則有些學(xué)生感到困難。例如，一年級(jí)算14-9，要求用加法想出得數(shù)，有些中、下學(xué)生開始感到困難，要通過(guò)操作、直觀和多次練習(xí)才能逐步掌握。低年級(jí)學(xué)生也開始初步發(fā)展了間接推理，當(dāng)然只限于簡(jiǎn)單易懂的，而且要借助直觀或熟悉的事例。例如，配合直觀出示6+0=6，8+0=8，0+5=5……學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能歸納出一個(gè)數(shù)加上0還得原來(lái)的數(shù)。又如，加法的交換性質(zhì)，一年級(jí)結(jié)合直觀進(jìn)行歸納也不困難。實(shí)驗(yàn)表明，低年級(jí)學(xué)生由幾個(gè)例子歸納出一條法則比較容易，如果要?dú)w納兩條或更多條法則就比較困難。低年級(jí)學(xué)生的演繹推理能力也獲得初步發(fā)展，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)課上經(jīng)常要把歸納出的法則用到具體的計(jì)算中去。但是學(xué)生的演繹推理往往不是嚴(yán)格地按照三段論的形式進(jìn)行的。例如計(jì)算8+9，學(xué)生知道用9+8來(lái)計(jì)算，但不會(huì)都想到調(diào)換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變這個(gè)大前提。往往經(jīng)過(guò)教師提問(wèn)，學(xué)生才把大前提補(bǔ)上。低年級(jí)解兩步應(yīng)用題時(shí)，開始學(xué)習(xí)多步的演繹推理，多數(shù)感到困難，經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的訓(xùn)練，能掌握的也還達(dá)不到半數(shù)。但是列式解答比較容易的兩步應(yīng)用題，一般沒(méi)有困難。這也說(shuō)明，學(xué)習(xí)解答兩步應(yīng)用題的能力和口頭分析兩步應(yīng)用題的能力不是同步發(fā)展的。進(jìn)入中年級(jí)，學(xué)生的推理能力有了一定的發(fā)展。多數(shù)學(xué)生能進(jìn)行比較容易的間接推理。他們能結(jié)合直觀進(jìn)行歸納推理，但進(jìn)行抽象的歸納推理還感困難。學(xué)生單獨(dú)歸納一般規(guī)律也比較困難，而且表述時(shí)也往往不夠確切。例如，加法結(jié)合律，學(xué)生還不善于從幾個(gè)特殊判斷上升到一般判斷，需要教師加以引導(dǎo)。中年級(jí)學(xué)生大都能進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理，但是在數(shù)學(xué)課上把已學(xué)的法則運(yùn)用到個(gè)別問(wèn)題中去時(shí)，往往是不自覺(jué)的。在解答兩三步計(jì)算的應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生口頭分析、推理的能力比低年級(jí)有較大的提高。中年級(jí)學(xué)生的類比推理能力也有了一些發(fā)展。據(jù)研究，具有正確類推能力的學(xué)生約占35％，有很多新知識(shí)可以在已學(xué)的基礎(chǔ)上類推出來(lái)，但往往需要加以引導(dǎo)。總的來(lái)看學(xué)生獨(dú)立類推的能力還較差。到了高年級(jí)，學(xué)生的推理能力有較大發(fā)展。據(jù)心理學(xué)家研究，12歲學(xué)生歸納推理的正確率比10歲的有較大增加。從數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)看，多數(shù)學(xué)生能從幾個(gè)具體例子歸納出一般結(jié)論，但是能從特殊結(jié)論合乎邏輯地逐步上升到一般結(jié)論，仍占少數(shù)。高年級(jí)學(xué)生的演繹推理也比中年級(jí)有了較大發(fā)展。例如給出一個(gè)未學(xué)過(guò)的法則，讓學(xué)生按照所給的法則對(duì)某個(gè)式子進(jìn)行運(yùn)算。四年級(jí)學(xué)生能做對(duì)的只有13.2％，五年級(jí)做對(duì)的達(dá)45.9％，六年級(jí)則達(dá)58.3％。學(xué)生綜合運(yùn)用歸納和演繹推理的能力還較差。從測(cè)試情況看，問(wèn)題中所反映的規(guī)律是比較簡(jiǎn)單明顯的，學(xué)生容易推出，規(guī)律比較復(fù)雜和不明顯的，則感到困難。例如，給出一列數(shù)：7，8，13，15，20，23，（），（），要求找出數(shù)的排列規(guī)律并在括號(hào)里填數(shù)，做對(duì)的只有16.5％。高年級(jí)學(xué)生的類比推理也有進(jìn)一步發(fā)展。據(jù)心理學(xué)家研究，高年級(jí)能正確類推的達(dá)59％。在高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中較多運(yùn)用類比推理，不僅為加快理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)提供了有利條件，也促進(jìn)了學(xué)生類比推理的發(fā)展。但是學(xué)生也容易出現(xiàn)類比推理的錯(cuò)誤。例如，在低年級(jí)學(xué)過(guò)甲比乙多20，反過(guò)來(lái)就推出乙比甲少20。到高年級(jí)學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)，多數(shù)學(xué)生易把這種方法錯(cuò)誤地類推到分?jǐn)?shù)中去，即如果甲比乙多20％，反過(guò)來(lái)就推出乙比甲少20％。

　�。�3）培養(yǎng)學(xué)生初步的推理能力要注意的幾點(diǎn)。

　　①在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納推理時(shí)，注意要舉幾個(gè)事例，避免只舉一個(gè)事例就做出一般結(jié)論。同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)每一事例的屬性或特征做出正確的特殊判斷，最后再上升到一般判斷。例如，教學(xué)加法交換律，先就每個(gè)等式做出特殊判斷：

　　3+5=5+3 3和5這兩個(gè)加數(shù)調(diào)換位置，和不變；

　　10+8=8+10 10和8這兩個(gè)加數(shù)調(diào)換位置，和不變；

　　129+46=46+129 129和46這兩個(gè)加數(shù)調(diào)換位置，和不變；

　　所以，加法中兩個(gè)加數(shù)調(diào)換位置，和不變。

　　另外，由于不完全歸納所得的結(jié)論不一定真實(shí)，在這之后還要引導(dǎo)學(xué)生把一般結(jié)論應(yīng)用于個(gè)別例子中加以檢驗(yàn)。

　�、跒榱伺囵B(yǎng)學(xué)生的初步推理能力，每教一個(gè)新的法則、性質(zhì)、公式后，再應(yīng)用于具體情況時(shí)，要注意讓學(xué)生說(shuō)根據(jù)。在這時(shí)并不要求學(xué)生嚴(yán)格按照三段論的形式來(lái)回答，但是當(dāng)學(xué)生回答時(shí)缺少大前提，教師要通過(guò)提問(wèn)，使學(xué)生明確補(bǔ)上所缺少的大前提。

　�、蹜�(yīng)用演繹推理必須遵循一定的規(guī)則，否則會(huì)出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤。例如，

　　凡9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)；

　　所以，20不是3的倍數(shù)。

　　這個(gè)例子的結(jié)論是對(duì)的，但推理不正確。因?yàn)橛幸粭l規(guī)則是大前提必須是全稱的，小前提必須是肯定的。而這里的小前提是否定的。因此要真正掌握好，還需要深入研究一些邏輯規(guī)則。

　　④注意綜合運(yùn)用歸納、演繹推理。一方面，在歸納出新的法則、公式之后要應(yīng)用于具體情況中去；另一方面，

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　　（a）先找出數(shù)的排列規(guī)律，再在（ ）里填適當(dāng)?shù)臄?shù)。

　　15 16 18 19 21 20（ ）（ ）

　�、菰诮獯饛�(fù)合應(yīng)用題的時(shí)候，充分注意培養(yǎng)學(xué)生推理能力。解答應(yīng)用題時(shí)，既應(yīng)用了分析、綜合，又應(yīng)用了判斷、推理。如解答兩步應(yīng)用題時(shí)實(shí)際上是應(yīng)用了多步的演繹推理。例如，“一個(gè)食堂原有煤200噸，用去3/5，還剩多少噸？”推理的步驟如下：

　　要求還剩多少噸，必須知道原有的噸數(shù)和用去的噸數(shù)；

　　所以，必須先求出用去的噸數(shù)。

　　要求用去的噸數(shù)，必須知道原有的噸數(shù)和用去的占原有的幾分之幾；

　　所以，可以求出用去的噸數(shù)。

　　根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，可以求一個(gè)數(shù)的幾分之幾；

　　……

　　當(dāng)然只在開始時(shí)這樣一步一步地推理，以后可以適當(dāng)簡(jiǎn)縮推理過(guò)程。

　�、奘褂妙惐韧评頃r(shí)，要注意學(xué)生是否有亂用類比推理的錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)后要及時(shí)糾正。例如，

　　錯(cuò)把加法的分別對(duì)位計(jì)算的方法類推到乘法。（開始學(xué)兩位數(shù)乘法，學(xué)生容易出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤。）

　　《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》除了強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生初步的邏輯思維能力外，還注意培養(yǎng)思維的敏捷性和靈活性。這屬于培養(yǎng)思維品質(zhì)問(wèn)題，也稱智慧品質(zhì)，有人也稱這些為科學(xué)思維素質(zhì)。心理學(xué)關(guān)于思維品質(zhì)的研究是從50年代才開始的。國(guó)內(nèi)外一些心理學(xué)家認(rèn)為，“在構(gòu)成人的特殊的、個(gè)體的各種個(gè)性品質(zhì)中，智慧品質(zhì)起著重要的作用”。“思維品質(zhì)的實(shí)質(zhì)，是人的思維能力的差異的表現(xiàn)，亦即智力差異的表現(xiàn)。”由此看出，思維品質(zhì)是思維能力中不可缺少的組成部分。在各科教學(xué)中都要始終注意在發(fā)展學(xué)生邏輯思維的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。近來(lái)我國(guó)心理、教育工作者也開始注意這方面的研究。

　　關(guān)于思維品質(zhì)包括哪些內(nèi)容，還沒(méi)有一致的看法。一般來(lái)說(shuō)包括思維的獨(dú)立性、敏捷性、靈活性、創(chuàng)造性，還有人提出思維的深刻性、批判性等。結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，我認(rèn)為主要是培養(yǎng)思維的敏捷性和靈活性，而這兩者與思維的創(chuàng)造性又有密切的聯(lián)系。

　�。ㄒ唬┬�學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展

　　低年級(jí)學(xué)生的思維品質(zhì)已經(jīng)有了一些發(fā)展。其特點(diǎn)是：1.思維的自覺(jué)性還很差。由于低年級(jí)學(xué)生的邏輯思維剛剛開始發(fā)展，一方面還不會(huì)思考問(wèn)題，另一方面還不能意識(shí)到自己的思維過(guò)程。往往學(xué)生做完一道題，答不出他是怎樣想的。至于自覺(jué)地檢查、調(diào)整或論證自己的思維過(guò)程就更差。但是通過(guò)有意識(shí)地培養(yǎng)，可以逐步提高學(xué)生思維的自覺(jué)性。2.學(xué)生間的思維速度差異比較大。一般思維快的和思維慢的能夠相差幾倍。但是在正確的教育下，特別是針對(duì)學(xué)生的不同特點(diǎn)，及時(shí)地有區(qū)別地采取一些措施，可以逐步提高學(xué)生思維的敏捷性。3.思維的靈活性一般都比較差，思維的惰性比較大。這與兒童的生理發(fā)展，特別是與腦的成熟的程度有關(guān)。另一方面，由于個(gè)體發(fā)展的差異，以及環(huán)境教育的影響，學(xué)生之間也存在著一定的差異。例如，對(duì)一年級(jí)出了這樣一道題，“5個(gè)相同加數(shù)的和是20，這個(gè)相同加數(shù)是幾？”由于學(xué)生沒(méi)學(xué)過(guò)除法，只能根據(jù)乘法的含義運(yùn)用口訣想出答案。較好的班級(jí)做對(duì)的可達(dá)70％，而較差的班級(jí)做對(duì)的僅有30％。又例如，在二年級(jí)教過(guò)一位數(shù)除多位數(shù)商中間有0的簡(jiǎn)便算法，有極少數(shù)學(xué)生一下掌握不了，寧愿照前邊學(xué)過(guò)的方法一步不漏地去除。

　　中年級(jí)學(xué)生的思維品質(zhì)有所發(fā)展。具體表現(xiàn)在：1.在教學(xué)的影響下，學(xué)生思維的自覺(jué)性有提高。有些學(xué)生明顯地表現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，喜歡做一些稍費(fèi)思考的題目，有些學(xué)生還喜歡看數(shù)學(xué)課外讀物。2.學(xué)生思維的敏捷性和靈活性有所發(fā)展。在數(shù)學(xué)課上學(xué)生能夠選用簡(jiǎn)便的方法進(jìn)行計(jì)算，能用不同的方法解答應(yīng)用題。但是學(xué)生之間往往有很大差異。實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，如果教學(xué)得法，差異還是可以縮小的。3.學(xué)生思維的創(chuàng)造性也有一些發(fā)展。例如，用小棒連續(xù)擺成6個(gè)正方形（不出圖），要求學(xué)生列式計(jì)算小棒的根數(shù)。結(jié)果四年級(jí)有21％的學(xué)生列出各種綜合算式（連加除外），有7.9％的學(xué)生能在前面計(jì)算的基礎(chǔ)上概括出一般的計(jì)算公式，還有少數(shù)學(xué)生做出初步概括，但表述不完善或使用述語(yǔ)不確切。這表明已有少數(shù)學(xué)生在探究能力和思維的創(chuàng)造性方面有一定的發(fā)展。

　　高年級(jí)學(xué)生的思維品質(zhì)進(jìn)一步發(fā)展，特別是思維的敏捷性和靈活性有較大的發(fā)展。在教學(xué)的影響下，學(xué)生的計(jì)算速度有進(jìn)一步提高，靈活運(yùn)用簡(jiǎn)便算法的能力有所增強(qiáng)；對(duì)一道題想出不同解法的能力也有發(fā)展。據(jù)心理學(xué)家研究，高年級(jí)學(xué)生一般都能用兩種方法解答一道應(yīng)用題，能用三種方法解答的學(xué)生可達(dá)80％以上。教學(xué)實(shí)踐表明，有些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，一般學(xué)生選用兩種方法解答不大困難；但用三種方法解答，中、差生感到困難。學(xué)生思維的創(chuàng)造性比中年級(jí)也有較大發(fā)展。據(jù)測(cè)試，上述用小棒擺正方形的問(wèn)題，能概括出一般計(jì)算公式的達(dá)30.2％，其中有些學(xué)生還能用字母公式表示。這表明，一部分學(xué)生在探究能力和思維的創(chuàng)造性方面有較好的發(fā)展。

　�。ǘ�）對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的幾點(diǎn)建議

　　1.培養(yǎng)思維的敏捷性。

　　培養(yǎng)思維敏捷很重要。要提高民族素質(zhì)，其中重要的一條是人人講求工作效率，對(duì)臨時(shí)遇到的問(wèn)題能及時(shí)進(jìn)行思考，正確判斷，迅速做出結(jié)論或決策。思維敏捷要與思維輕率嚴(yán)格區(qū)別開來(lái)。思維敏捷不僅在速度上要求快，而且注意考慮周密。

　　從一年級(jí)就要注意思維敏捷的培養(yǎng)，但是不能要求過(guò)高、過(guò)急。教學(xué)時(shí)首先要注意留給學(xué)生思考的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生去想，逐步要求學(xué)生注意很快地想出問(wèn)題解決的方法，并對(duì)想得快的又想得對(duì)的給以鼓勵(lì)。同時(shí)注意防止學(xué)生單純地為了求快，思考輕率而不夠周密。計(jì)算要在正確的基礎(chǔ)上適當(dāng)提出速度要求，注意適當(dāng)安排限定時(shí)間的練習(xí)。有些計(jì)算或應(yīng)用題的分析，要在適當(dāng)時(shí)候引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)縮思維。例如9+3，經(jīng)過(guò)一些練習(xí)和掌握口算步驟以后，引導(dǎo)學(xué)生想，“9加1是10，還有2，得12”。中年級(jí)以后要注意適當(dāng)教一些簡(jiǎn)便算法。如，被乘數(shù)、乘數(shù)中間、末尾有0的乘法，要啟發(fā)學(xué)生想有什么簡(jiǎn)便算法，并在計(jì)算中自覺(jué)地運(yùn)用。

　　2.培養(yǎng)思維的靈活性。

　　思維的靈活性的特點(diǎn)主要表現(xiàn)在，善于從不同角度、不同方向來(lái)思考問(wèn)題，能用多種方法解決問(wèn)題；能根據(jù)具體情況，靈活地運(yùn)用知識(shí)來(lái)處理問(wèn)題。

　　從低年級(jí)起就要注意培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。但是開始不能要求很高，要隨著年級(jí)的增長(zhǎng)逐步提高要求。例如，在低年級(jí)，某些計(jì)算可在教師的指導(dǎo)下想出不同的計(jì)算方法，中年級(jí)以后就鼓勵(lì)學(xué)生自己想出不同的計(jì)算方法，而且要找出簡(jiǎn)便的算法。要培養(yǎng)思維的靈活性，首先要加強(qiáng)算理教學(xué)，使學(xué)生切實(shí)理解和掌握規(guī)律性知識(shí)和一般計(jì)算方法，通過(guò)練習(xí)逐步鞏固并加深理解，避免死記硬背。學(xué)生切實(shí)掌握了，就為靈活運(yùn)用奠定了基礎(chǔ)。教師在教學(xué)計(jì)算步驟、解題過(guò)程以及書寫格式等做出一些規(guī)定是必要的，但在一定條件下要允許學(xué)生靈活，不宜統(tǒng)得過(guò)死。例如，中年級(jí)學(xué)過(guò)乘法交換律以后，在算式中就要允許被乘數(shù)、乘數(shù)交換位置書寫。分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算只要求適當(dāng)保留運(yùn)算的過(guò)程，不必強(qiáng)調(diào)把每一步計(jì)算都完整地寫出來(lái)。在練習(xí)中要注意適當(dāng)出現(xiàn)一些概念或習(xí)題的變式，還要安排一些逆思考的題目，以利于培養(yǎng)思維的靈活性。例如，低年級(jí)出加法應(yīng)用題，要避免每問(wèn)都出現(xiàn)“一共”二字。各年級(jí)都要注意變換敘述方式。例如，“桃比梨少40千克，梨和桃的重量比是5∶4，求梨、桃各有多少千克�！蓖ㄟ^(guò)這題把比和分?jǐn)?shù)聯(lián)系起來(lái)，雖然出現(xiàn)比的形式，但仍可用分?jǐn)?shù)來(lái)計(jì)算，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。此外，適當(dāng)安排一些有多個(gè)答案的開放型的題目，也有助于培養(yǎng)思維的靈活性。例如，“3□4，如果這個(gè)數(shù)能被6整除，十位上可以填幾？”

　　3.培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性。

　　它與創(chuàng)造思維有聯(lián)系又有區(qū)別。創(chuàng)造思維強(qiáng)調(diào)的是思維過(guò)程，或把它看作一種能力。而思維的創(chuàng)造性強(qiáng)調(diào)把它作為一種思維品質(zhì)。作為品質(zhì)來(lái)說(shuō)，它的特點(diǎn)是假設(shè)、方案、結(jié)論獨(dú)特新穎，包含新的因素。具有思維創(chuàng)造性品質(zhì)的不僅限于少數(shù)創(chuàng)造發(fā)明者，也可以是小學(xué)生。小學(xué)生的獨(dú)特新穎的解法也同樣具有創(chuàng)造性。心理學(xué)家克魯捷茨基認(rèn)為，學(xué)生的創(chuàng)造性雖然沒(méi)有客觀的價(jià)值，但對(duì)學(xué)生自己說(shuō)，從主觀上看是新的，研究過(guò)程是創(chuàng)造性的。

　　發(fā)展學(xué)生思維的創(chuàng)造性，首先要給學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)。從低年級(jí)就要注意這一點(diǎn)。例如，讓學(xué)生看20以內(nèi)進(jìn)位加法表，看看它的排列有什么規(guī)律；教學(xué)口算時(shí)，讓學(xué)生想出不同的口算方法，等等。隨著年級(jí)的增高，可以適當(dāng)增加這方面的內(nèi)容。例如，中年級(jí)探索積、商的變化規(guī)律，高年級(jí)探索小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)位置引起小數(shù)大小的變化規(guī)律等。除了教學(xué)新知識(shí)外，還要適當(dāng)安排一些練習(xí)題。要適當(dāng)加強(qiáng)發(fā)散思維的練習(xí)。從低年級(jí)起就要安排一些題目，要求學(xué)生用不同的方法計(jì)算或解答。隨著年級(jí)的增高，還要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度，運(yùn)用不同的知識(shí)來(lái)解同一個(gè)問(wèn)題。例如，“豆腐坊用50千克黃豆做200千克豆腐，照這樣計(jì)算，125千克黃豆可以做多少千克豆腐？”開始只要求用整數(shù)計(jì)算，以后可以要求分別用小數(shù)或分?jǐn)?shù)計(jì)算，還可要求用比例知識(shí)來(lái)解。在較高年級(jí)，適當(dāng)發(fā)展學(xué)生的直覺(jué)思維，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性有一定好處。直覺(jué)思維是在對(duì)所研究的問(wèn)題作整體的了解，應(yīng)用自己的經(jīng)驗(yàn)，一下子做出直接的判斷，找出解決問(wèn)題的方法。進(jìn)行直覺(jué)思維時(shí)，人們意識(shí)不到賴以求得答案的過(guò)程，缺少清晰的確定的步驟。但是由于對(duì)有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)及其結(jié)構(gòu)的了解，使得思維產(chǎn)生了飛躍，迅速地越過(guò)某些個(gè)別細(xì)節(jié)和步驟。因此這種思維有時(shí)在一定程度上具有創(chuàng)造件成分。例如，

　　求上面兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積一共是多少？這道題一般列式為：6×8+4×6=72（平方米）。但是有的學(xué)生經(jīng)過(guò)總體觀察，很快答出72平方米。因?yàn)樗麄儾粌H發(fā)現(xiàn)兩個(gè)長(zhǎng)方形有一邊同樣長(zhǎng)，而且發(fā)現(xiàn)大長(zhǎng)方形的另一邊是小長(zhǎng)方形的另一邊的2倍，從而很快想到它們的面積和應(yīng)是小長(zhǎng)方形面積的3倍。當(dāng)然進(jìn)行這樣的練習(xí)不一定作為共同的基本要求。

　　最后簡(jiǎn)單談?wù)勗谛�學(xué)數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維能力應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題，也可以說(shuō)是應(yīng)遵循的幾個(gè)原則。

　�。ㄒ唬┡囵B(yǎng)學(xué)生思維能力要與數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)緊密結(jié)合

　　這一點(diǎn)新大綱已明確指出，“學(xué)生初步的邏輯思維能力的發(fā)展，……要有意識(shí)地結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行�！币�?yàn)閿?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)與思維能力的培養(yǎng)是相輔相成的。基礎(chǔ)知識(shí)為培養(yǎng)思維能力提供富有邏輯性的素材，反過(guò)來(lái)培養(yǎng)了思維能力又為很好地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)創(chuàng)造有利的條件。把兩者分離開來(lái)教學(xué)，無(wú)論對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)或培養(yǎng)思維能力都不會(huì)有好的效果。為此，備課時(shí)要認(rèn)真研究教材，弄清數(shù)學(xué)知識(shí)本身的科學(xué)性、系統(tǒng)性和邏輯性，分析教材中含有哪些培養(yǎng)學(xué)生思維能力的因素。制訂一節(jié)課的教學(xué)計(jì)劃時(shí)，不僅要明確數(shù)學(xué)知識(shí)方面的教學(xué)目的要求，而且要明確在培養(yǎng)思維能力上側(cè)重哪些方面，達(dá)到什么要求，并且力求在教案中有所體現(xiàn)。教學(xué)時(shí)要考慮選定什么樣的方法，既能做到使學(xué)生較好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，又有助于激發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

　�。ǘ�）要把培養(yǎng)學(xué)生思維能力貫穿在各年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終

　　這一點(diǎn)也是新大綱中明確指出的，“要把發(fā)展智力和培養(yǎng)能力貫穿在各年級(jí)教學(xué)的始終。”小學(xué)生正處在由具體形象思維向抽象邏輯思維逐漸過(guò)渡的階段，思維能力需要一個(gè)長(zhǎng)期的逐步培養(yǎng)和訓(xùn)練的過(guò)程，因此就要求數(shù)學(xué)教學(xué)適應(yīng)兒童年齡發(fā)展的特點(diǎn)，有計(jì)劃有步驟地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，并且貫穿在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程。為此，每個(gè)年級(jí)，每節(jié)課，每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都要考慮在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，如何發(fā)展學(xué)生的思維能力。如果低年級(jí)忽視思維能力的培養(yǎng)，就會(huì)給中、高年級(jí)增加教學(xué)的困難；反過(guò)來(lái)，如果低、中年級(jí)重視發(fā)展思維能力，到高年級(jí)有所忽視，也會(huì)給進(jìn)一步發(fā)展思維造成不利的影響。為了很好地貫徹這一條原則，就要很好地研究各年級(jí)學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn)，適應(yīng)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，緊密結(jié)合知識(shí)內(nèi)容，提出適當(dāng)?shù)陌l(fā)展思維能力的要求。例如，同樣是培養(yǎng)分析能力，低年級(jí)就要多結(jié)合操作、直觀，引導(dǎo)學(xué)生分析；高年級(jí)則要逐步離開直觀，著重培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行抽象分析的能力，只在必要的時(shí)候才結(jié)合直觀來(lái)進(jìn)行具體分析。

　　（三）適應(yīng)小學(xué)生心理特點(diǎn)，注意把操作、思維和言語(yǔ)表達(dá)結(jié)合起來(lái)

　　這里有兩層意思。一是適應(yīng)小學(xué)生特點(diǎn)，注意把思維與操作、直觀結(jié)合起來(lái)。二是適應(yīng)小學(xué)生特點(diǎn)，把思維與言語(yǔ)表達(dá)結(jié)合起來(lái)。關(guān)于第一點(diǎn)，是由小學(xué)生的思維特點(diǎn)決定的。低年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)仍以具體形象思維為主，中、高年級(jí)學(xué)生的思維雖然逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡，但是在許多情況下，特別是遇到較抽象

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　�。ㄋ模┘戎匾曀季S過(guò)程，又重視思維結(jié)果

　　傳統(tǒng)的教學(xué)只重視思維的結(jié)果，忽視思維的過(guò)程�，F(xiàn)代教學(xué)論則十分重視思維的過(guò)程，這樣有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。為此新大綱也明確提出“要重視學(xué)生獲取知識(shí)的思維過(guò)程�！逼淠康脑谟诩m正過(guò)去只重視思維的結(jié)果的片面做法。但是反過(guò)來(lái)也不能因此只重視思維過(guò)程，而忽視思維的結(jié)果。特別是數(shù)學(xué)，計(jì)算或解答是否正確還是很重要的。為了加強(qiáng)對(duì)思維過(guò)程的重視，首先要加強(qiáng)算理的教學(xué)，說(shuō)明一種算法或一個(gè)公式的來(lái)源。解應(yīng)用題要重視分析數(shù)量關(guān)系。做練習(xí)時(shí)要多讓學(xué)生說(shuō)明自己是怎樣想的，必要的時(shí)候要說(shuō)出論據(jù)，而不是簡(jiǎn)單地對(duì)一下得數(shù)。學(xué)生在練習(xí)中出現(xiàn)錯(cuò)誤，要引導(dǎo)他們找出錯(cuò)誤的原因，檢查在分析、推理方面存在什么問(wèn)題。低年級(jí)學(xué)生還要注意結(jié)合操作、直觀來(lái)說(shuō)明算理、分析數(shù)量關(guān)系，使學(xué)生的思維過(guò)程具體形象化，更便于理解、掌握和檢查。還要注意逐步培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真聽別人敘述的思維過(guò)程，并能評(píng)價(jià)別人的思維過(guò)程是否正確、合理，從而提高表達(dá)思維過(guò)程的能力。

　�。ㄎ澹┘訌�(qiáng)教師的示范和指導(dǎo)

　　培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，教師加強(qiáng)示范和指導(dǎo)具有十分重要的作用。

　　加強(qiáng)教師的示范，首先要求教師在講授數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)注意正確運(yùn)用邏輯方法，揭示每一邏輯思維過(guò)程。例如，在教學(xué)加法結(jié)合律時(shí)運(yùn)用了不完全歸納推理，教師的整個(gè)講述過(guò)程，要符合不完全歸納推理的順序和思維過(guò)程，這樣就為學(xué)生的思維樹立了良好的范例，對(duì)學(xué)生的思維起了潛移默化的作用。其次在練習(xí)時(shí)教師還要繼續(xù)給學(xué)生示范，引導(dǎo)學(xué)生有順序地合乎邏輯地思考。例如，演繹推理如何按照三段論的形式來(lái)思考，以后如何簡(jiǎn)縮思維，還是比較難的，就需要教師做出示范，使學(xué)生便于模仿。

　　加強(qiáng)教師的指導(dǎo)，首先要求教師有計(jì)劃有步驟地設(shè)計(jì)教學(xué)，每次明確在邏輯思維方面的要求和訓(xùn)練步驟。其次在練習(xí)中注意給以必要檢查和指導(dǎo)。要了解學(xué)生的思維過(guò)程，思考的方法是否符合邏輯，有沒(méi)有邏輯的錯(cuò)誤，在適當(dāng)時(shí)候要引導(dǎo)學(xué)生共同分析、訂正。例如，學(xué)過(guò)質(zhì)數(shù)和質(zhì)因數(shù)以后，有的學(xué)生把兩個(gè)概念弄混，這時(shí)有必要從本質(zhì)特質(zhì)上分清兩個(gè)概念的聯(lián)系和區(qū)別。特別要明確不能孤立地說(shuō)某個(gè)數(shù)是質(zhì)因數(shù)，必須說(shuō)某個(gè)數(shù)是×的質(zhì)因數(shù)。

　　最后，教師要做到加強(qiáng)示范和指導(dǎo)，最根本的是要提高自己的邏輯學(xué)和心理學(xué)水平，不斷研究和總結(jié)發(fā)展學(xué)生思維能力的經(jīng)驗(yàn)。這樣才能切實(shí)完成新大綱規(guī)定的有關(guān)這方面的教學(xué)任務(wù)。