小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究的新發(fā)展——第六屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育會(huì)議討論簡(jiǎn)介

第六屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育會(huì)議于1988年7月27日至8月3日在匈牙利首都布達(dá)佩斯舉行。會(huì)上除了安排一個(gè)組專門討論小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的問題以外，有些專題組的討論，以及小字報(bào)、專題報(bào)告會(huì)等也涉及到小學(xué)數(shù)學(xué)教育方面的問題。根據(jù)所了解的材料，對(duì)會(huì)議中所反映的小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究的新發(fā)展，概要地介紹如下。

一 強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過程

　　一些代表認(rèn)為，對(duì)應(yīng)于教的過程，有必要提出學(xué)的過程。數(shù)學(xué)教育中重要的一點(diǎn)是如何彌合教與學(xué)之間的裂縫，如何使教數(shù)學(xué)與學(xué)數(shù)學(xué)盡可能互相伴隨著。提出這個(gè)問題的原因，主要是從促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的進(jìn)步，或者說逐漸的數(shù)學(xué)化來考慮的。認(rèn)為數(shù)學(xué)化的進(jìn)程的組成部分有：做模型、公式化、符號(hào)表示等。要通過教數(shù)概念、數(shù)的運(yùn)算方法等來研究和分析教數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，同時(shí)也不斷地進(jìn)行逐漸的數(shù)學(xué)化過程。有一位代表以教乘法的初步認(rèn)

　　識(shí)為例，說明引導(dǎo)學(xué)生由具體逐步抽象的過程。還有一位代表用除法（如）作例，說明從具體的實(shí)際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生先想出非正規(guī)的分的方法，求出得數(shù)以后，逐步研究出一般的除的方法，在這之后再類推到被除數(shù)是較大數(shù)的除法。但是也有的代表認(rèn)為，也不宜把這個(gè)過程拉得很長(zhǎng)，還要研究如何用較少的時(shí)間使學(xué)生學(xué)會(huì)一般的除的方法。

二 新技術(shù)對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教育的影響

　　與會(huì)代表大都認(rèn)為新技術(shù)對(duì)于中小學(xué)數(shù)學(xué)教育具有很大的促進(jìn)作用。使用新技術(shù)，特別是微型電子計(jì)算機(jī)，有助于理解數(shù)學(xué)概念；有助于掌握一些基本技能，特別是解決實(shí)際問題和幾何作圖的技能；有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生從過繁的機(jī)械運(yùn)算中解放出來；還有助于改進(jìn)數(shù)學(xué)教育的評(píng)價(jià)方法。

　　與會(huì)者著重討論了新技術(shù)對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的影響。有人認(rèn)為，隨著新技術(shù)的出現(xiàn)和使用，現(xiàn)行的教學(xué)內(nèi)容將有很多被刪掉，而加入一些新內(nèi)容，并強(qiáng)調(diào)要使學(xué)生學(xué)會(huì)一些數(shù)學(xué)方法，如收集、翻譯數(shù)據(jù)，有條理地排列，概括，歸納和演繹，做模型，類推，化簡(jiǎn)等。但也有人提出質(zhì)疑：在數(shù)學(xué)知識(shí)和技能都很差的基礎(chǔ)上，能學(xué)好數(shù)學(xué)方法嗎？有人認(rèn)為，口算、筆算、估算、工具算等各種計(jì)算方法，只要在生活中和進(jìn)一步學(xué)習(xí)中有用處，仍然應(yīng)該學(xué)會(huì)，但要重理解、思考和評(píng)價(jià)，根據(jù)不同情況來選用。不少學(xué)者認(rèn)為，計(jì)算器雖然有很大用處，但筆算仍是重要的，因此傾向于小學(xué)高年級(jí)再學(xué)習(xí)使用計(jì)算器。而且不能只把計(jì)算器作為一種計(jì)算工具，還要用它作為教具幫助理解數(shù)學(xué)概念，發(fā)展學(xué)生思維。因此使用計(jì)算器會(huì)引起內(nèi)容和方法兩方面的改革。

　　有的學(xué)者談到新技術(shù)對(duì)教師的任務(wù)及其教學(xué)方法的影響問題。認(rèn)為使用計(jì)算機(jī)以后，增加了學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的成份，教師的作用會(huì)起一定的變化。教師的任務(wù)不是傳輸知識(shí)，而是組織學(xué)生積極活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生去探索和發(fā)現(xiàn)知識(shí)，讓兒童自己構(gòu)建知識(shí)，培養(yǎng)合理的思維。由于新內(nèi)容、新技術(shù)和新教法都影響著數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)，因此改進(jìn)數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵因素就是繼續(xù)提高教師的專業(yè)水平。

　　會(huì)議也提出了使用新技術(shù)對(duì)教科書的影響問題。有人認(rèn)為，由于計(jì)算機(jī)能為理解數(shù)學(xué)概念、訓(xùn)練技能以及解問題提供材料，因此將會(huì)改變數(shù)學(xué)教科書的結(jié)構(gòu)。蘇聯(lián)一位學(xué)者強(qiáng)調(diào)，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教科書應(yīng)該有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性潛能。

　　會(huì)議上有的代表介紹了在家庭作業(yè)及課外輔導(dǎo)方面引入新技術(shù)的情況。例如，有人調(diào)查英國(guó)一些學(xué)校的學(xué)生家庭中擁有微型計(jì)算機(jī)的已超過60％，很多學(xué)生利用微機(jī)編程序來完成一些家庭作業(yè)。美國(guó)一家電視廠，把小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容制成錄相帶，配合學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)，每天在電視臺(tái)播放半小時(shí)，不僅學(xué)生收看，而且家長(zhǎng)和教師也收看，取得很好的效果。也有的國(guó)家有人把小學(xué)高年級(jí)的內(nèi)容，如質(zhì)數(shù)和合數(shù)，整除性的檢驗(yàn)，多邊形和多面體等，編成電視劇系列。其目的是通過數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與愉快的體驗(yàn)的聯(lián)系，來激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

三 錯(cuò)誤在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的作用

　　近年來，數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)錯(cuò)誤在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要作用越來越重視。1987年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)國(guó)際組織在加拿大開會(huì)時(shí)曾進(jìn)行過專門討論。這次會(huì)議上小學(xué)組就此問題也進(jìn)行了研究。大都認(rèn)為，學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯(cuò)誤和誤解，有助于教師確定學(xué)生在學(xué)習(xí)方面存在的問題的類型。教師只有弄清這一點(diǎn)，才能很好地做出自己的教學(xué)計(jì)劃，去幫助學(xué)生消除錯(cuò)誤。錯(cuò)誤和誤解都是基于不適當(dāng)?shù)睦斫狻５�是教師通過與學(xué)生討論錯(cuò)誤，使他們看到錯(cuò)誤之所在以及錯(cuò)誤的原因，可以有效地消除錯(cuò)誤，而且能使學(xué)生加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的一般理解。還有人提出，不應(yīng)把錯(cuò)誤僅僅看作是教師用以診斷學(xué)生學(xué)習(xí)中的困難和尋找消滅錯(cuò)誤的策略的工具，還應(yīng)把它看作是激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)的動(dòng)機(jī)和手段。要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到出現(xiàn)錯(cuò)誤并不是壞事，它為進(jìn)一步進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)（包括解問題、提問題、批判的思考等）提供了機(jī)會(huì)。要著重引導(dǎo)學(xué)生分析討論為什么是錯(cuò)誤，而不只是如何把它改正過來。如果善于把錯(cuò)誤作為質(zhì)詢和探究的出發(fā)點(diǎn)，就會(huì)使學(xué)生得到更大的益處。

四 關(guān)于解問題的教學(xué)的研究

　　近些年來，解問題的教學(xué)一直是各國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者著重研究的一個(gè)問題。這次會(huì)議著重研究以下兩個(gè)問題：1.如何幫助學(xué)生理解問題的情境；2.如何教學(xué)生學(xué)會(huì)使用解題的一般策略。

　　有的代表指出，傳統(tǒng)的教學(xué)解問題的方法，往往是由教師給出一個(gè)范例，讓學(xué)生模仿。教師不僅沒有給學(xué)生準(zhǔn)備真實(shí)的問題情境，也沒有教給學(xué)生一般的解題策略。這樣既不能提高學(xué)生解問題的能力，也不能提高他們解問題的積極性。

　　為了幫助學(xué)生很好地理解問題的情境，有的代表提出，要引導(dǎo)學(xué)生弄清題里有關(guān)的事實(shí)數(shù)據(jù)，確定解題的目標(biāo)以及這些事實(shí)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。會(huì)上有的代表介紹了他們對(duì)影響解題策略的因素所進(jìn)行的研究。有人認(rèn)為，問題的易難與其具體、抽象的程度以及有無事實(shí)或有無假設(shè)有密切關(guān)系。一般地說，具體的比抽象的要容易些，有事實(shí)的比假設(shè)的要容易些。還有人研究認(rèn)為，一個(gè)數(shù)學(xué)問題，既有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，又有邏輯—語言結(jié)構(gòu)，這兩者都影響著學(xué)生的解題策略。此外，學(xué)生的解題策略還受著學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的影響。

　　關(guān)于如何教學(xué)生學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)問題的一般策略，有人認(rèn)為，學(xué)生解題時(shí)包含著復(fù)雜的心智活動(dòng)，如聯(lián)系、分析、分類、想象、選擇、作計(jì)劃、預(yù)測(cè)、推論、心算、檢驗(yàn)、評(píng)價(jià)等。要根據(jù)學(xué)生解題時(shí)心智活動(dòng)的特點(diǎn)給以指導(dǎo)。有的代表強(qiáng)調(diào)，通過自我提問，提高學(xué)生的認(rèn)知理解水平，培養(yǎng)學(xué)生自己監(jiān)督、調(diào)節(jié)他們認(rèn)知活動(dòng)的能力（即所謂超認(rèn)知能力），是提高學(xué)生解題能力的重要途徑。一位代表在小學(xué)四年級(jí)進(jìn)行試驗(yàn)，開始由教師示范，聯(lián)系數(shù)學(xué)問題的情境和具體任務(wù)，自問自答。如：“首先我需要做什么？——我必須弄清這道題要我做什么。實(shí)際上發(fā)生了什么事？那么我知道什么可能對(duì)解題有幫助？我以前是否見過這樣的問題？題里的條件是太多了還是太少了？我能把它找出來嗎？我能想出一個(gè)類似的或者比較簡(jiǎn)單的情境嗎？合理的答案可能是什么？……”學(xué)生熟悉這種自問自答的方法以后，開始練習(xí)自己設(shè)問，自己回答并加以評(píng)價(jià)。一年以后，大多數(shù)學(xué)生能自己構(gòu)建解題思路，顯示出這種方法對(duì)提高學(xué)生解題能力以及改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度具有很大的影響。

五 關(guān)于一般教學(xué)方法的研究

　　會(huì)議對(duì)于一般教學(xué)方法沒有進(jìn)行專門討論，但是談到其他問題時(shí)，涉及到一些教學(xué)的原則問題，值得注意。例如，談到教師的培訓(xùn)問題時(shí)，提出知識(shí)不要由教師來傳輸，而要由兒童來構(gòu)建；強(qiáng)調(diào)教師要能促進(jìn)學(xué)生提問以及對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用的探究。有的代表在談到如何評(píng)價(jià)教師的教學(xué)方法時(shí)，著重在課堂上是否做到：學(xué)生的學(xué)多于教師的教，個(gè)別教學(xué)與集體教學(xué)平衡，學(xué)生的相互作用，發(fā)展學(xué)生的合理思維技能與一般的解題技術(shù)。

　　有些代表介紹了對(duì)新教學(xué)方法的試驗(yàn)研究。例如，有的代表采用探究法進(jìn)行教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理。在探究問題時(shí)，學(xué)生要收集數(shù)據(jù)，進(jìn)行推斷。如練習(xí)普通分?jǐn)?shù)化小數(shù)時(shí)，讓學(xué)生探究什么樣的分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù)。他認(rèn)為，認(rèn)識(shí)的好奇心是引起動(dòng)機(jī)的重要因素。動(dòng)機(jī)越強(qiáng)，學(xué)習(xí)的堅(jiān)定性越大。他還認(rèn)為，學(xué)具在探索問題時(shí)起著重要的作用，可以促使學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理。特別是對(duì)差生，可以產(chǎn)生較大的效果。有的代表試驗(yàn)用所謂“有引導(dǎo)和對(duì)話的自學(xué)法”。指出這種教學(xué)方法實(shí)際上是講解、做中學(xué)、發(fā)現(xiàn)和程序教學(xué)這四種方法與古希臘的對(duì)話（討論）法的結(jié)合。強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生自己去學(xué)習(xí)經(jīng)過特殊設(shè)計(jì)的教科書，通過細(xì)致計(jì)劃好的對(duì)話使學(xué)生對(duì)所學(xué)的新課題得到充分的理解。這些活動(dòng)都是在教師的監(jiān)督和引導(dǎo)下進(jìn)行。經(jīng)過試驗(yàn)，學(xué)生獲得的知識(shí)和解題能力都比用傳統(tǒng)的講解法好。但是也指出最困難的問題是編寫和印刷教科書。還有的代表強(qiáng)調(diào)采用使學(xué)生獨(dú)立工作的方法。認(rèn)為保證學(xué)生有獨(dú)立工作的條件很重要。教師的指導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)有一定的比例，盡力給學(xué)生以充分的時(shí)間去思考、實(shí)驗(yàn)和討論。但是對(duì)學(xué)生的獨(dú)立作業(yè)的安排要有專門的準(zhǔn)備。

六 對(duì)高能學(xué)生的數(shù)學(xué)教育

　　這次會(huì)議很重視高能學(xué)生的數(shù)學(xué)教育問題。有些代表指出，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)只注意中等水平的學(xué)生。這是自然的，因?yàn)檫@些學(xué)生構(gòu)成了大多數(shù)。但是另一方面，人們也已認(rèn)識(shí)到，高能學(xué)生對(duì)于發(fā)展一個(gè)國(guó)家的技術(shù)和文化所具有的重大作用。每個(gè)國(guó)家都盡可能使高能學(xué)生學(xué)得多一些、深一些、快一些，以便為他們的未來的活動(dòng)做更好的準(zhǔn)備。但是，各國(guó)采取的措施不盡相同。有些代表在會(huì)上介紹了本國(guó)的經(jīng)驗(yàn)。例如，匈牙利在一些學(xué)校中設(shè)有特殊班，招收數(shù)學(xué)成績(jī)好的學(xué)生，每周上數(shù)學(xué)課近10小時(shí)。有的學(xué)校創(chuàng)辦“數(shù)學(xué)下午”，為一些高能學(xué)生擴(kuò)展一些新知識(shí)。保加利亞除設(shè)有加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊學(xué)校（從一年級(jí)開始）外，在普通中小學(xué)還分成三個(gè)水平：1.必修的普通數(shù)學(xué)，一般每周4～5課時(shí)，教以系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，以解決日常生活和實(shí)踐中的問題；2.自由選修數(shù)學(xué)，從六年級(jí)起開設(shè)，每周2課時(shí)，目的在使能力較高并對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生獲得較高的理論水平，并了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用；3.選修數(shù)學(xué)，從四年級(jí)起開設(shè)每周2課時(shí)，目的是在必修的普通數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上擴(kuò)展數(shù)學(xué)知識(shí)，或者從數(shù)學(xué)專門領(lǐng)域獲得一些數(shù)學(xué)知識(shí)和能力，以發(fā)展學(xué)生的個(gè)人創(chuàng)造性。在美國(guó)和澳大利亞的一些學(xué)校中，建立數(shù)學(xué)俱樂部，或開設(shè)暑期學(xué)校。在聯(lián)邦德國(guó)則設(shè)“MATHEMA”課外學(xué)習(xí)項(xiàng)目，以提高高能學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。