《分解因式》中考熱點透視

《分解因式》中考熱點透視

 

 

《分解因式》一章中，我們主要學習了分解因式的概念、會用兩種方法分解因式，即提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超過兩次）進行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）. 具體要求有：

1、經(jīng)歷探索分解因式方法的過程，體會數(shù)學知識之間的整體（整式乘法與因式分解）聯(lián)系.

2、了解因式分解的意義，會用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超過兩次）進行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）.

3、通過乘法公式：（a + b）（a - b）=a² - b²，（a±b）²= a²±2ab + b²的逆向變形，進一步發(fā)展觀察、歸納、類比、概括等能力，發(fā)展有條理思考及語言表達能力.

在中考中，除了考查對一個整式進行分解因式等常規(guī)題型外，因式分解作為一種重要的解題方法和工具，經(jīng)常出現(xiàn)于各種題型中，以下幾種就值得引起注意.

 

一、構造求值型

例1（2004山西）已知x+y=1，那么 的值為_______.

分析：通過已知條件，不能分別求出x、y的值，所以要考慮把所求式進行變形，構造出x+y的整體形式. 在此過程中我們要用完全平方公式對因式分解中的.

= （x²+2xy+y²）= (x+y)² = 1² = 1 = .

在此過程中，我們先提取公因式 ，再用完全平方公式對原式進行因式分解，產(chǎn)生x+y的整體形式，最后將x+y=1代入求出最終結果.

例2（2004廣西桂林）計算： ___________.

分析：為了便于觀察，我們將原式“倒過來”，即

原式 =

               =

               =

               =

               =

               = ……

               = 2² + 2 = 4+2 = 6.

此題的解題過程中，巧妙地用到了提公因式法進行分解因式，使結構特點明朗化，規(guī)律凸現(xiàn)出來. 此題解法很多，比如，我們還可以采用整體思想，把原式看作一個整體，利用方程與提公因式法分解因式相結合的方法解答此題.

設M = ，則-M =

即

.

解得

M = 6.

 

二、探索規(guī)律型

例3(2002福建福州)觀察下列各式：l²+1=1×2，2²+2=2×3，3²+3＝3×4，……

請你將猜想到的規(guī)律用自然數(shù)n(n≥1)表示出來                             .

分析：根據(jù)題意，不難猜想到規(guī)律：n²+n=n(n+1).

這個結論就是用提公因式法把n²+n進行了因式分解.

例4（2003青海）請先觀察下列算式，再填空：
， ．
（1） 8×       ；
（2） －（   ） ＝8×4；
（3）（   ） －9 ＝8×5；
（4） －（   ） ＝8×       ；……
通過觀察歸納，寫出反映這種規(guī)律的一般結論：                                  .

分析：類比各式，可以發(fā)現(xiàn)：

（1） 8× 3  ；
（2） －（ 7） ＝8×4；
（3）（ 11 ） －9 ＝8×5；
（4） －（ 11 ） ＝8× 7 ；……
通過觀察歸納，得到這種規(guī)律的一般結論是兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除（或說是8的倍數(shù)）.

如果我們分別用2n+1和2n-1表示兩個相鄰的奇數(shù)，則利用平方差公式，有

(2n+1)² – (2n-1)² = [(2n+1)+(2n-1)] [(2n+1)-(2n-1)] = 4n×2 = 8n.

 

三、開放創(chuàng)新型

例5（2003福建南平）請寫出一個三項式，使它能先提公因式，在運用公式來分解.

你編寫的三項式是_______________，分解因式的結果是________________.

分析：利用整式乘法與因式分解的互逆關系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，寫出一個等式，在它的兩邊都乘一個因式，比如

2m(m+n)² = 2m(m²+2mn+n²)=2m³+2m²n+2mn²,

3a(2x-5y)²=3a[(2x)²-2×2x×5y+(5y)²]=3a(4x²-20xy+25y²)=12ax²-60axy+75ay²，等等.

于是編寫的三項式可以是2m³+2m²n+2mn²，分解因式的結果是2m(m+n)²；

或者編寫的三項式可以是12ax²-60axy+75ay²，分解因式的結果是3a(2x-5y)²，等等.

例6（2003四川）多項式9x² + 1加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的單項式可以是_________________________(填上一個你認為正確的即可).

分析：根據(jù)完全平方公式a²±2ab+b²= (a±b)²的特點，若 表示了a²+b²的話，則有a=3x，b=1，所以，缺少的一項為±2ab=±2（3x）·1=±6x，此時，9x² + 1±6x=(3x±1)²；如果認為9x² + 1表示了2ab+b²的話，則有a=4.5x²，b=1，所以，缺少的一項為a²=（4.5x）²= 20.25x⁴，此時，20.25x⁴+9x² + 1=(4.5x²+1)².

從另外一個角度考慮，“一個整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多項式，也可以是單項式. 注意到9x²=(3x)²，1=1²，所以，保留二項式9x² + 1中的任何一項，都是“一個整式的完全平方”，故所加單項式還可以是-1或者 - 9x²，此時有9x² + 1-1=9x²=(3x)²，或者9x² + 1-9x²=1².

綜上分析，可知所加上的單項式可以是±6x、20.25x⁴、-1或者 - 9x².

 

 

四、數(shù)形結合型

例7（2002陜西）如圖1，在長為a 的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形(a＞b)把余下的部分剪拼成一個矩形(如圖2),通過計算兩個圖形(陰影部分)的面積，驗證了一個等式,則這個等式是(  D   )

  A．a(chǎn)²－b²＝(a十b)(a—b)

  B．(a＋b)²＝a²＋2ab 十b²

  C．(a－b)²＝a²－2ab＋b²

  D．(a十2b)(a－b)＝＝a²＋ab －2b²

分析：圖1表示的是a²－b²，圖2表示的是(a十b)(a—b)，兩者面積相等，所以a²－b²＝(a十b)(a—b).

故選A．

例8（2002年山東省濟南市中考題）請你觀察圖3，依據(jù)圖形面積間的關系，不需要添加輔助線，便可得到一個你非常熟悉的公式，這個公式是_____________．

圖3

分析：圖中所表示的整個正方形的面積是x²，兩個小正方形的面積分別是y²與（x-y）²，利用這些數(shù)據(jù)關系，結合圖形便可以寫出以下公式：

x²-2xy+y²  = (x-y)²，或者x²-y² = (x+y)(x-y).

當然，在沒有限定的情況下，也能寫成乘法公式.

根據(jù)幾何圖形的特征，研究其中蘊含的數(shù)學公式，是“數(shù)形結合思想”的具體體現(xiàn).

例9（2003山西）有若干張如圖4所示的正方形和長方形卡片，

圖4

表中所列四種方案能拼成邊長為 的正方形的是（    ）

          卡片

   數(shù)量（張）

方案

（1）

（2）

（3）

A

1

1

2

B

1

1

1

C

1

2

1

D

2

1

1

分析：此題的本意就是判斷哪些卡片的面積之和是（a+b）².

因為a²+2ab+b²=（a+b）²，對照圖4所示的正方形和長方形卡片，可知三種卡片的面積分別為a²、b²和ab，它們分別需要1張、1張、2張. 由此可選出正確答案為A.

例10（2003山西太原）如圖5是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個關于a、b的恒等式             

圖5

分析：外框圍成的大正方形面積為（a+b）²，4個矩形的面積之和為4ab，中間的空白部分的面積為(a-b)².于是，可以列出等式（a+b）²-4ab = (a-b)².

對于它的正確性，可以用因式分解的方法證明：

（a+b）²-4ab =a²+2ab+b²-4ab = a²-2ab+b² = (a-b)².

 

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