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數(shù)學(xué)教學(xué)論文："點(diǎn)”在臨界點(diǎn)“撥”在關(guān)鍵處 口王東
數(shù)學(xué)教學(xué)論文："點(diǎn)”在臨界點(diǎn)“撥”在關(guān)鍵處
口王東
�。ń幨腥A士實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江蘇江陰214421）
數(shù)學(xué)家喬治·波利亞在《怎樣解題》中提出：中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是“教會(huì)學(xué)生思考”，“教師對(duì)學(xué)生的幫助要不多不少”，應(yīng)當(dāng)“不顯眼地幫助學(xué)生”，“應(yīng)該順其自然”．學(xué)生在解題過(guò)程中，常常會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，由于思維受阻，一時(shí)難以下手，這時(shí)需要教師用簡(jiǎn)練、精辟的語(yǔ)言啟迪學(xué)生的思維，促使學(xué)生產(chǎn)生“頓悟”，此即謂之“點(diǎn)撥”．點(diǎn)撥是讓學(xué)生走出解題迷宮的有效方法，點(diǎn)撥是否恰當(dāng)?shù)轿唬芊从吵鲆粋�(gè)教師的教學(xué)是否已走向成熟，教學(xué)是否具有藝術(shù)性．
新《課標(biāo)》指出：教師應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，為學(xué)生的發(fā)展提供良好的環(huán)境和條件，其主旨是強(qiáng)調(diào)了教師的作用和地位，即在學(xué)生迫切需要的時(shí)候給予指引、幫助、暗示、提醒等一系列巧妙、恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，精妙的點(diǎn)撥就是課堂教學(xué)中重要的一環(huán)，教師要努力做到“點(diǎn)”在思維的臨界點(diǎn)，“撥”在問(wèn)題的關(guān)鍵處．
一、突破思維的臨界點(diǎn)，產(chǎn)生“茅塞頓開(kāi)”之感
在一堂課的全程和一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，從學(xué)生思維走向的情況看，便是學(xué)生感知教材或具體題目后，開(kāi)始進(jìn)入思維狀態(tài)，此時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)思維由活躍到受阻、停滯的過(guò)程，我們不妨把思維處于膠著狀態(tài)時(shí)，稱之為學(xué)生思維的臨界點(diǎn)，此時(shí)教師應(yīng)當(dāng)把準(zhǔn)臨界點(diǎn)，適時(shí)點(diǎn)撥，讓學(xué)生突破思維的臨界狀態(tài)，完成思維質(zhì)的突破，帶學(xué)生進(jìn)入“柳岸花明又一村”的佳境，
例1有一張8cmx8cm的正方形的紙片，面積是64cm2.把這張紙片按圖1左圖所示剪開(kāi)，把剪出的4個(gè)小塊按圖1右圖所示重新拼合，這樣就得到了一個(gè)長(zhǎng)為13cm，寬為5cm的長(zhǎng)方形，面積是65cm2.這可能嗎？
課堂上，擺出這個(gè)問(wèn)題后，我們應(yīng)該給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間來(lái)思考解決問(wèn)題，學(xué)生思考過(guò)程中，都帶著懷疑的眼光看著圖1右圖，他們不會(huì)相信圖l右圖中紙片的面積是65cm2，但又無(wú)法說(shuō)明自己觀察的結(jié)果是錯(cuò)誤的．“僵局”在此出現(xiàn)，就在類似這樣的節(jié)骨眼上，也就是在學(xué)生思維的迷茫之際，即為思維的臨界點(diǎn)，筆者教學(xué)中根據(jù)課堂教學(xué)的推進(jìn)，在三處進(jìn)行了突破點(diǎn)撥．筆者點(diǎn)撥1，大家可以實(shí)際操作一下，大部分學(xué)生若有所悟，開(kāi)始動(dòng)手．操作中學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖1右圖中紙片所示圖形不是長(zhǎng)方形，因此不能用長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式來(lái)計(jì)算面積，此時(shí)學(xué)生產(chǎn)生“茅塞頓開(kāi)”之感．筆者點(diǎn)撥2，大家可以測(cè)量圖形左上角或者右下角，學(xué)生操作發(fā)現(xiàn)確實(shí)不是直角．筆者點(diǎn)撥3，告訴學(xué)生，這個(gè)想法是正確的，但最好能夠給出證明，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)由合情推理到演繹推理的過(guò)程．接下來(lái)的過(guò)程可以由學(xué)生自主探索，最后交流得出三角形不相似，并可以在證明過(guò)程中加深對(duì)相似圖形的理解．
學(xué)生的思維都會(huì)自然出現(xiàn)一個(gè)由活躍到受阻、停滯的過(guò)程，即出現(xiàn)臨界點(diǎn)，三次點(diǎn)撥，點(diǎn)在了學(xué)生思維的斷裂之處，這樣才能有利于學(xué)生思維的開(kāi)通、開(kāi)竅，促進(jìn)思維的延伸，完成思維上的質(zhì)的突破，葉圣陶先生說(shuō)：“教師之教，不在于全盤講授，而在于相機(jī)誘導(dǎo)，（www.htc668.com）”所謂“相機(jī)誘導(dǎo)”，也就是適時(shí)點(diǎn)撥，使學(xué)生的思維在臨界點(diǎn)發(fā)生質(zhì)的飛躍，取得良好的教學(xué)效應(yīng)，
二、建構(gòu)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，產(chǎn)生“思路接通”效應(yīng)
我們常常埋怨學(xué)生經(jīng)啟發(fā)后仍然無(wú)動(dòng)于衷，其實(shí)是在我們的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的思維尚未進(jìn)入“憤”、“悱”狀態(tài)，教師啟發(fā)的“機(jī)”與“時(shí)”把握得不準(zhǔn)而造成的．只有創(chuàng)設(shè)一定的思維情境，引領(lǐng)學(xué)生的思維進(jìn)入狀態(tài)，點(diǎn)撥方能奏效．撥要撥在關(guān)鍵處，如果撥的時(shí)機(jī)過(guò)早，學(xué)生缺乏一定的思維主動(dòng)，不能建構(gòu)新舊知識(shí)的生長(zhǎng)和聯(lián)系，達(dá)不到思路的接通效應(yīng)，思維過(guò)程則是由老師直接強(qiáng)加給他，我們稱之為“被思維”或者“偽思維”．如果學(xué)生經(jīng)過(guò)自己的思考，完成了思維的全過(guò)程，得到了正確的結(jié)論，那么，教師就不必講授，這就節(jié)約了時(shí)間，提高了教學(xué)效率．
例2如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0作直線mn／／BC，設(shè)MN交LBCA的平分線于點(diǎn)E，交LBCA的外角平分線于點(diǎn)F(1)請(qǐng)猜測(cè)OE與OF之間的關(guān)系，并說(shuō)明你的理由；(2)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？寫出推理過(guò)程．
我們可以對(duì)比以下的兩種點(diǎn)撥過(guò)程：
1．某老師忽視給學(xué)生留思維時(shí)間，讀完題后就向?qū)W生提問(wèn)：(i)由CE，CF分別為△ABC的內(nèi)外角平分線，我們可以得到什么？學(xué)生回答兩組角相等；由MN∥BC，我們可以得到什么？學(xué)生說(shuō)角相等；有這么多角相等，我們可以得到哪些角也是相等的呢？學(xué)生這樣解決了問(wèn)題(1).老師說(shuō)四邊形AECF中，已經(jīng)有哪些條件了？學(xué)生說(shuō)OE=OF=OC，顯然條件在對(duì)角線上，那么請(qǐng)同學(xué)們想想，對(duì)角線滿足什么特征的四邊形是矩形呢，學(xué)生回答出也就解決問(wèn)題(2)了．
2．另一位老師讓學(xué)生讀完題后，先自主探索．當(dāng)學(xué)生思考一段時(shí)間感覺(jué)有困難時(shí)，教師請(qǐng)學(xué)生先看圖3，已知OC平分LAOB，CD∥OB，觀察△OCD是什么三角形．學(xué)生可以順利得出結(jié)論，并能從中歸納出角平分線、平行線都可以得角相等，由角相等可以轉(zhuǎn)化成邊相等，進(jìn)而可以解決第一個(gè)問(wèn)題了，學(xué)生歸納出后，還可以繼續(xù)點(diǎn)撥，在平行線的條件下，通過(guò)增加角平分線可以構(gòu)建一個(gè)等腰三角形，延伸可得，這三個(gè)條件組合，有其中任意兩個(gè)作為題設(shè)，第三個(gè)就可以作為結(jié)論，這樣問(wèn)題(1)解決了，問(wèn)題(2)可由學(xué)生自主解決．
分析這兩種點(diǎn)撥，我們不難發(fā)現(xiàn)第一位老師總是一點(diǎn)一滴地“點(diǎn)撥”學(xué)生．看到這個(gè)條件，能想到什么結(jié)論？要證明這個(gè)結(jié)論，需要什么條件？這種“引君入甕”般點(diǎn)撥使學(xué)生得到問(wèn)題的解答，整個(gè)環(huán)節(jié)似乎非常流暢，但這并不能真正培養(yǎng)學(xué)生的思維，這樣的教學(xué)并沒(méi)有讓學(xué)生整體地面對(duì)問(wèn)題、整體地思考問(wèn)題、獨(dú)立地探究問(wèn)題，因而不能在新舊知識(shí)上建構(gòu)知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，學(xué)生缺失建立思路的可能性，更談不上接通思路了，顯然，這樣的教學(xué)是不利于學(xué)生的終身發(fā)展的，
而第二位老師的點(diǎn)撥過(guò)程，在學(xué)生在思維的臨界點(diǎn)處點(diǎn)撥，學(xué)生已經(jīng)可以把單獨(dú)的思路如角平分線性質(zhì)，平行線的性質(zhì)建構(gòu)起來(lái)，教師的點(diǎn)撥起到了接通學(xué)生思路的效果，即把角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生在知識(shí)上生長(zhǎng)了新的知識(shí)，形成經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生主動(dòng)思維，提升思維的能動(dòng)性．
三、激活思維的興奮點(diǎn)，產(chǎn)生“得寸進(jìn)尺”欲望
在點(diǎn)撥藝術(shù)上，抓住時(shí)機(jī)是最為重要的．教學(xué)過(guò)程是師生相互交流的過(guò)程，學(xué)生苦思冥想，解決不了問(wèn)題時(shí)，我們的點(diǎn)撥就會(huì)像及時(shí)雨那樣澆灌學(xué)生的心靈，激活學(xué)生思維的興奮點(diǎn)，讓學(xué)生產(chǎn)生“得寸進(jìn)尺”的欲望．當(dāng)然如果我們一味地調(diào)動(dòng)學(xué)生的胃口，不能及時(shí)點(diǎn)撥，也會(huì)給學(xué)生造成心理的障礙，使學(xué)生害怕解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，導(dǎo)致失去興趣．
例3如圖4，有一塊塑料矩形模板ABCD，長(zhǎng)為lOcm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上（不與A，D重合），在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)P．(1)能否使你的三角板兩直角邊分別通過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)C?若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，直角邊PH始終通過(guò)點(diǎn)B，另一直角邊PF與DC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否使CE-2cm?若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由，
首先讓學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題，當(dāng)學(xué)生達(dá)到“憤”與“悱”的狀態(tài)時(shí)，我們可以進(jìn)行點(diǎn)撥。
問(wèn)題(1)這問(wèn)較為簡(jiǎn)單，大部分學(xué)生能獨(dú)立完成，筆者引導(dǎo)學(xué)生畫出如圖5的簡(jiǎn)單圖形，
由LA=LD=LBPC=900，可得△ABP一△DPC，從而解決問(wèn)題．
問(wèn)題(2)由學(xué)生畫出如圖5的圖形，進(jìn)行思考探究．教師巡視可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生不易解決．這時(shí)教師就會(huì)點(diǎn)撥，大家可以從圖形中，尋找相似的三角形，如△QCE△QDP´-△PAB，然后可以通過(guò)方程思想來(lái)解決，此時(shí)學(xué)生可以開(kāi)始進(jìn)行深度探究了，個(gè)別環(huán)節(jié)可以師生共同完成．這個(gè)環(huán)節(jié)結(jié)束后，或許還有老師會(huì)點(diǎn)撥學(xué)生借助相似并結(jié)合直角三角形勾股定理來(lái)解決，但由于這個(gè)方法非常麻煩，不宜讓學(xué)生將這種方法深入下去，否則就會(huì)失去時(shí)機(jī)．那么我們應(yīng)該怎么辦呢，由于剛才的第一種方案就已經(jīng)把問(wèn)題的解決方法變得麻煩了，所以此時(shí)教師應(yīng)該抓住時(shí)機(jī)，點(diǎn)撥學(xué)生，能否從第一問(wèn)中達(dá)到啟發(fā)，利用化歸的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，
點(diǎn)撥過(guò)程：在問(wèn)題(1)的解決中，我們利用了AABP△DPC，現(xiàn)在直角三角形的另一邊沒(méi)有經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，而是經(jīng)過(guò)了BC邊上的E點(diǎn)，這樣我們可以把此時(shí)的△PFE看成△DPC(如圖6)，即將CD平移至EF的位置，接下來(lái)由學(xué)生完成思路的延續(xù)和問(wèn)題的解決，
兩種思路的對(duì)比我們會(huì)發(fā)現(xiàn)后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來(lái)如此，此時(shí)學(xué)生心情非常愉悅，思維也達(dá)到了興奮的狀態(tài)．這時(shí)教師繼續(xù)點(diǎn)撥此類問(wèn)題在解決的過(guò)程中，圖形發(fā)生了變化，然而解決問(wèn)題時(shí)如果能利用化歸思想，轉(zhuǎn)化的方法，往往可以更好更快捷簡(jiǎn)便地解決類似的問(wèn)題，學(xué)生此處的收獲就會(huì)很大，效率更高，超越了一個(gè)題目自身的解決價(jià)值，發(fā)揮了題目的最大價(jià)值，讓學(xué)生有“得寸進(jìn)尺”的解題欲望，而非懼怕數(shù)學(xué)的心理．
隨著新課程改革的深入，課堂教學(xué)中師生的地位轉(zhuǎn)變?cè)絹?lái)越受到重視．課堂上以生為本，提高課堂教學(xué)效率成為了主旋律．充分考慮學(xué)生主體地位，在學(xué)生最為需要時(shí)給予思路的指引，方法的引導(dǎo)，是提高教學(xué)有效性的重要環(huán)節(jié)．在解題教學(xué)過(guò)程中，教師既要有充分的準(zhǔn)備，也要能把握好臨場(chǎng)的教學(xué)時(shí)機(jī)；教師既要能身心俱人其境，也要能保持清晰的思維，要敏銳地捕捉到學(xué)生思維的信息并進(jìn)行迅速、深入地加工、重組、提煉，面對(duì)學(xué)生思維活動(dòng)中的停滯、定勢(shì)、中斷、旁逸等問(wèn)題，教師總能迅速判斷，即時(shí)點(diǎn)撥，“塞者鑿之，陡者級(jí)之，斷者架木通之，懸者置梯接之”，以促使學(xué)生思維品質(zhì)得到不斷提升．
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