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加強(qiáng)線性代數(shù)的教學(xué) 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力
加強(qiáng)線性代數(shù)的教學(xué) 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力基金項目：2010年湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究資助項目（湘財教指［2010］74號）
作者簡介：陳佘喜（1965-），男，湖南邵東人，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究。
陳佘喜
（湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201）
摘要：線性代數(shù)是理工科各專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課。本文結(jié)合線性代數(shù)課程的基本內(nèi)容，從數(shù)學(xué)材料概念化的能力、用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行運(yùn)算的能力、思維的邏輯性、思維的創(chuàng)造性、數(shù)學(xué)記憶能力與空間想象能力等方面闡述了數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，并從教學(xué)環(huán)節(jié)方面探討了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的若干途徑。
關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；數(shù)學(xué)能力；培養(yǎng)途徑
中圖分類號：O157，G420文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1674-5884（2013）04-0109-03
線性代數(shù)是理工科各專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課，為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程提供必要的有關(guān)矩陣、線性方程組、向量空間與線性變換等方面的基本概念與基礎(chǔ)理論，以及處理實際問題的基本方法［1-4］。眾所周知，數(shù)學(xué)能力是學(xué)生完成數(shù)學(xué)活動的可能性方面的個性心理特性，是順利完成數(shù)學(xué)活動的必要的心理條件［5, 6］。數(shù)學(xué)活動主要是通過思維與想象，形成和掌握數(shù)學(xué)的基本概念、基本理論以及常用的數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決相關(guān)的實際問題。數(shù)學(xué)能力是在數(shù)學(xué)活動中形成和發(fā)展起來的，并在數(shù)學(xué)活動中得到表現(xiàn)，但同時它又是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動的條件與保證，是由數(shù)學(xué)活動所要求的多種基本能力的有機(jī)組合，也就是學(xué)生的一般能力在數(shù)學(xué)活動中的具體化。本文將結(jié)合線性代數(shù)課程教學(xué)的基本內(nèi)容，從數(shù)學(xué)材料概念化的能力、用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行運(yùn)算的能力、思維的邏輯性、思維的創(chuàng)造性、數(shù)學(xué)記憶能力與空間想象能力等方面闡述數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，并從教學(xué)環(huán)節(jié)方面探討了提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的若干途徑。
一把握教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力
�。ㄒ唬⿺�(shù)學(xué)材料的概念化
數(shù)學(xué)材料的概念化，就是通過分析給定的數(shù)學(xué)材料的數(shù)量關(guān)系與空間形式，抽象出本質(zhì)的東西進(jìn)行科學(xué)概括，也就是用數(shù)學(xué)概念來描述材料的本質(zhì)特征。矩陣是線性代數(shù)課程中最基本的概念，從歷史上看，我國東漢初年《九章算術(shù)》中的“方程術(shù)”，其實質(zhì)就是解線性方程組的高斯消元法。作為一個數(shù)學(xué)概念，矩陣（matrix）這個詞是在1850年由英國數(shù)學(xué)家、劍橋大學(xué)教授Sylvester首先提出來的。利用矩陣的概念，人們將在生產(chǎn)實踐中需要處理的一組相互獨(dú)立的數(shù)據(jù)，以表格的形式系在一起，視為一個整體，用一個量來表示，并參與運(yùn)算，就使原來龐大而雜亂的數(shù)據(jù)，變得簡單而有序。特征值與特征向量是線性代數(shù)中的重要概念，其反映了線性變換的本質(zhì)特征，因為在將一個線性空間變換到自身的過程中，特征向量就是保持“同向”或“反向”、“伸長”或“縮短”的那些向量，而“伸長”或“縮短”相同“倍數(shù)”的向量就是屬于同一“特征值”的特征向量。在德語與荷蘭語中，特征值（eigenvalue）與特征向量（eigenvector）中的“特征（eigen）”的意思就是“事物的某些本質(zhì)屬性”。
數(shù)學(xué)材料的概念化，表現(xiàn)在學(xué)生能夠按照新的觀點來對待和處理各個階段所積累起來的數(shù)學(xué)知識，并把以前好象是零散的和孤立的事實和概念組織和聯(lián)合起來，使之成為一個有機(jī)的整體。例如，矩陣的初等行變換是線性代數(shù)課程中一個重要的方法，最初的引入似乎僅僅是為了簡化表示用高斯消元法求解線性方程組的過程，而隨著課程的深入，初等行變換也可以用來求矩陣的秩、判斷向量組的線性相關(guān)性、求向量組的極大線性無關(guān)組、求矩陣的逆，甚至可以用來做矩陣的三角分解等等，這樣，通過矩陣的初等行變換，將線性代數(shù)課程中有關(guān)的重要概念、定理和方法連成了一個有機(jī)的整體。
線性代數(shù)課程中的數(shù)學(xué)模型，是數(shù)學(xué)材料概念化的一種重要形式，它是在一定的假設(shè)條件下，將實際問題用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來的一種方式，能反映或近似反映該問題的數(shù)量關(guān)系。例如，在工廠考慮生產(chǎn)成本的問題中，若用mij表示生產(chǎn)第j種單位產(chǎn)品所花的第i類成本，則矩陣M=（mij）表示生產(chǎn)各種單位產(chǎn)品所花費(fèi)的每類成本，若用P=（pij）表示第i種產(chǎn)品在第j個季度的產(chǎn)量，那么，乘積MP中第i行第j列的元素就表示在第j個季度所花的第i類成本的量，而且MP的列和為每個季度的總成本，行和為全年的各類成本。
�。ǘ┯脭�(shù)學(xué)符號進(jìn)行運(yùn)算
數(shù)學(xué)概念揭示了事物在變化的數(shù)量關(guān)系與空間形式上的本質(zhì)特性，它們是通過構(gòu)造相應(yīng)的量化模式來明確定義的，并表達(dá)為一定的術(shù)語與特定的符號。n階行列式的概念，反映了n2個數(shù)之間的一種運(yùn)算關(guān)系，這種關(guān)系就是先在行列式中每行每列各取一個數(shù)做乘積，再求所有這種可能的乘積項（共有n!項）的代數(shù)和，從函數(shù)的觀點來看，行列式就是一個n2元的函數(shù)。數(shù)學(xué)中的基本定理，揭示了數(shù)學(xué)概念之間的必然聯(lián)系，反映了數(shù)學(xué)符號之間的內(nèi)在關(guān)系。行列式按行（列）的展開定理，反映了行列式與其一行（列）元素及相應(yīng)的代數(shù)余子式的關(guān)系，而更為一般地，拉普拉斯定理表明了如何將高階行列式轉(zhuǎn)化為若干低階行列式的計算；方陣的伴隨矩陣的性質(zhì)：AA*=A*A=AE，反映了方陣A、伴隨矩陣A*與行列式A之間的聯(lián)系，同時也展示了行列式的展開定理的本質(zhì)，更進(jìn)一步地，如果A≠0，上述性質(zhì)還可以給出逆矩陣A－1的一個表達(dá)式。
能否正確地運(yùn)用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行運(yùn)算，是學(xué)生數(shù)學(xué)能力高低的直觀表現(xiàn)。在矩陣階梯化過程中，如果不同矩陣之間用“=”連接，就說明了學(xué)生對于矩陣相等的概念是模糊的。對于多項式f（x）=a0+a1x+…+amxm與方陣A，若將f（A）表示為a0+a1A+…+amAm，則說明學(xué)生對形式多項式的概念還停留在數(shù)多項式的階段，并未理解矩陣多項式的概念，而能力較強(qiáng)的學(xué)生，則能立即發(fā)現(xiàn)上述表達(dá)式的錯誤，因為后者在一般情況下是沒法進(jìn)行矩陣加法運(yùn)算的。實際上，由矩陣冪的定義，A0=E，因此，f（A）=a0E+a1A+…+amAm。
�。ㄈ┧季S的邏輯性
邏輯思維就是按照邏輯規(guī)則而進(jìn)行概念的運(yùn)演來取代作用于現(xiàn)實事物的行動的思維。線性代數(shù)中內(nèi)在的邏輯建構(gòu)，決定了邏輯思維能力是學(xué)生數(shù)學(xué)能力不可或缺的成份，同時也為學(xué)生的邏輯思維訓(xùn)練提供了極為有利的條件。
邏輯思維的一個方面是分析思維，表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)概念的定義、運(yùn)用和對概念的分類，以及推理的形式和方法。例如，在證明矩陣乘積的秩不超過每個因子的秩時，由表達(dá)式AB=C可知，乘積矩陣C的每個行向量都可以經(jīng)矩陣B的行向量組線性表出，因此，矩陣C的行向量組的極大線性無關(guān)組也可以由B的行向量組的極大線性無關(guān)組表出，于是rank（C）≤rank（B）；同時，因為BTAT=CT，故又有rank（C）=rank（CT）≤rank（AT）=rank（A）。
邏輯思維另一重要的方面是辯證思維。它在數(shù)學(xué)概念中的體現(xiàn)，一是將形成的數(shù)學(xué)概念具體化，把反映事物單一屬性的數(shù)學(xué)概念與事物的多樣性統(tǒng)一起來，更全面地認(rèn)識客觀現(xiàn)實；二是將數(shù)學(xué)概念分化與推廣，正確區(qū)分概念間的聯(lián)系與區(qū)別，把握數(shù)學(xué)的邏輯建構(gòu)。例如，給定了n維線性空間的一組基，則其上所有的線性變換與所有的n階方陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系，由此，當(dāng)線性空間的基發(fā)生變化時，線性變換的矩陣也會發(fā)生變化，這種變化規(guī)律就是方陣間的相似關(guān)系，并且由矩陣乘法的運(yùn)算律可以斷言，線性變換的乘法滿足結(jié)合律，但一般不滿足交換律。
（四）思維的創(chuàng)造性
思維的創(chuàng)造性指思維活動的方式不僅善于求同，更善于求異。創(chuàng)造性思維是有目的、受支配的創(chuàng)造性想象，也是為解決問題的反復(fù)、有步驟和連貫的思考。創(chuàng)造性思維的結(jié)果，不單純是應(yīng)用已知的概念和方法，還要創(chuàng)造新的形象、意義與方法，并利用它們來揭示問題新的特性和解決問題。創(chuàng)造性思維主要表現(xiàn)在以下三個方面：
一是對已有的數(shù)學(xué)概念和方法進(jìn)行最嚴(yán)格的評價，進(jìn)而突破其局限性。例如，克拉姆法則是一個經(jīng)典的關(guān)于線性方程組的求解公式，它明確給出了線性方程組的解與系數(shù)之間的關(guān)系，在線性方程組理論中有著非常重要的作用，然而，其局限性在于，一是只適合于方程組含n個未知量和n個方程，且系數(shù)行列式不為零的情形，二是當(dāng)n≥4時，計算量比較大。因此，突破這種局限，尋求一種更為有效的線性方程組的解法，是勢在必行的，也就是熟知的高斯——若當(dāng)消元法。
二是能順利地從一種心理運(yùn)算轉(zhuǎn)移到另一種心理運(yùn)算，尋求解決問題的簡捷方法，象簡單結(jié)構(gòu)的推理、一題多解等。例如，一個n元線性方程組可以寫成向量方程α1x1+α2x2+…+αnxn=β的形式，則該n元線性方程組的解的問題等價于向量β由向量組α1，α2，…，αn的線性表出的問題；特別地，齊次線性方程組是否有非零解等價于向量組α1，α2，…，αn是否線性相關(guān)。進(jìn)一步地，矩陣關(guān)系式AB=O表明，只要A≠O，B的行向量組就是線性相關(guān)的，B的列向量也是齊次線性方程組AX=0的解向量，因此，B的列空間是AX=0的解空間的一個子空間。
三是不使數(shù)學(xué)材料遷就于現(xiàn)成的概念，而是善于用材料來檢驗這些概念。在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，這方面的能力就得到了比較充分表現(xiàn)。同樣的數(shù)學(xué)材料，運(yùn)用不同的假設(shè)條件和相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，可以建立不同的模型，應(yīng)用不同的解題方法或技巧，又可以得到不同的結(jié)果，而對于這些結(jié)果的分析，與實際數(shù)據(jù)的吻合程度，就可以在一定程度上檢驗所運(yùn)用的知識的合理性。
�。ㄎ澹⿺�(shù)學(xué)記憶能力
數(shù)學(xué)記憶能力是對于數(shù)學(xué)的量化模式及邏輯建構(gòu)的記憶力，記憶的主要形式是邏輯記憶與概念記憶。例如，關(guān)于向量組的線性相關(guān)性的一些判定定理和性質(zhì)定理，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常出現(xiàn)對定理的條件與結(jié)論不熟悉、運(yùn)用出錯，實際上，這些定理大部分是以“等價命題”的形式給出的，因此，從一個基本的結(jié)論出發(fā)，就可以推及其他；此外，基本定理的證明方法都是基于線性相關(guān)性的定義結(jié)合線性方程組的同解變形。
應(yīng)當(dāng)注意的是，記憶能力與學(xué)生的注意力和定勢有關(guān)，注意力集中，才能排除來自外界的大量無關(guān)的“干擾”，包括其他學(xué)生的行為、教師的外貌、教室內(nèi)外不斷發(fā)生的微小事件等等，才可能對教師的演示和語言等信息有較好的理解和加工，達(dá)到對知識的記憶。記憶能力也與知識的內(nèi)容、表現(xiàn)形式、難度和可理解性等有關(guān)，因此，往往看到同一個學(xué)生對不同內(nèi)容的記憶程度表現(xiàn)有較大的反差。
�。┛臻g想象能力
空間想象能力與數(shù)學(xué)所研究的對象所處的空間形式有關(guān)，要求能對空間的幾何體進(jìn)行剖分，能借助空間圖形來反映量化的數(shù)學(xué)表達(dá)式的意義。例如，對于特征值與特征向量的定義式Aξ=λξ，在二階的實矩陣的情形時，A定義了一個從R2到自身的映射，在此映射下，二維向量ξ的像只是原像的λ倍，從幾何上看，像與原像平行。又如，在二維平面上的2個不共線的向量可以張成一個平行四邊形，而該平行四邊形的有向面積就是以這2個向量的坐標(biāo)作為列向量的二階行列式的值；在三維空間中的3個不共面的向量可以張成一個平行六面體，而其有向體積就是以這3個向量的坐標(biāo)為列向量的三階行列式的值。以此類推，在n維空間里給出了n個向量后，它們也能夠張成一個n維的平行多面體，它的有向體積就是由這n個向量的坐標(biāo)為列向量所構(gòu)成的n階行列式的值。
二優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)，提高數(shù)學(xué)能力
數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)技能密切相關(guān)又相互區(qū)別。扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與熟練的數(shù)學(xué)技能有助于數(shù)學(xué)能力的提高，反之亦然。因此，數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)技能的培養(yǎng)是相輔相成，密不可分的。從教學(xué)環(huán)節(jié)來看，數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)途徑大致如下：
�。�1）組織教學(xué)內(nèi)容。一般說來，對于教學(xué)內(nèi)容的組織有2種方式，一是綜合法，即教學(xué)材料的選擇應(yīng)該有助于使學(xué)生了解教學(xué)目的和喚起掌握知識的欲望，在學(xué)習(xí)中不斷尋找和試探正確的解決問題的方法，分析所犯錯誤并改正錯誤；二是分析法，即從標(biāo)準(zhǔn)形式相似的基本內(nèi)容開始練習(xí)，練習(xí)的內(nèi)容應(yīng)該有助于對結(jié)果的了解，在練習(xí)中通過不斷牢記正確的東西，將它們逐漸聯(lián)合成一個有機(jī)的整體。
�。�2）選擇教學(xué)方法。基本的教學(xué)方法不外乎3種，一是對原則的教學(xué)，就是預(yù)先將一般的原理、公式、定理或算法的內(nèi)涵傳授給學(xué)生；二是范例教學(xué)，就是使學(xué)生在理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)材料的進(jìn)程中親自發(fā)現(xiàn)這些材料的本質(zhì)關(guān)系；三是思維結(jié)構(gòu)定向的教學(xué)，就是教學(xué)生學(xué)會一些解決問題的方法，再啟發(fā)他們尋找對象的一些特征，并借助于這些方法和特征來發(fā)現(xiàn)對象之間的必然關(guān)系，從而揭示出數(shù)學(xué)材料的本質(zhì)關(guān)系。但無論選擇哪種教學(xué)方法，都要注意到先使學(xué)生掌握知識內(nèi)容，再獨(dú)立運(yùn)用知識，然后將所學(xué)的內(nèi)容遷移到新的情境，即啟發(fā)學(xué)生積極思維。
�。�3）加強(qiáng)實踐環(huán)節(jié)。比如數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)建模、課外科技活動和傳統(tǒng)的課外作業(yè)等，都是重要的實踐教學(xué)。在數(shù)學(xué)的實踐教學(xué)中，要注意使學(xué)生能利用所學(xué)的理論知識來闡明一些客觀事物的本質(zhì)和成功地解決某些理論或?qū)嵺`課題。一般的做法是先闡明解答問題的原則，再指出對課題來說有關(guān)重要的資料和關(guān)系，即所謂的提示，使學(xué)生更加清楚地感知課題有關(guān)的未知關(guān)系，然后對課題的解答進(jìn)行分析，使學(xué)生區(qū)分出解答課題時所需要的本質(zhì)關(guān)系和材料。
總之，在數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)過程中，既要將數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能緊密結(jié)合起來，也要注意到學(xué)生的個性心理特征，才能收到比較好的效果。尤為重要的是，我們不僅要使學(xué)生精通數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法，更要使學(xué)生了解發(fā)現(xiàn)這些概念和方法的局限性，看到客觀事物和關(guān)于客觀事物的觀念之間的區(qū)別，從而能夠走上用直接同事物和現(xiàn)象的相互作用所產(chǎn)生的視覺來洞察事物的道路，即具備創(chuàng)造性思維，這才是能力培養(yǎng)的根本目的所在。
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