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空間向量對立體幾何教與學(xué)的影響
空間向量對立體幾何教與學(xué)的影響作者/ 楊國棟
摘 要:在立體幾何中引入空間向量這一內(nèi)容是新課程改革的必然趨勢?臻g向量的出現(xiàn)為學(xué)生提供了解決問題的新途徑,但是容易造成空間向量就是“萬能”的思想,很多學(xué)生完全放棄了傳統(tǒng)的綜合法,試圖通過空間向量的方法來解決一切立體幾何問題。
關(guān)鍵詞:空間向量;立體幾何;教學(xué)影響
一、空間向量的引入增加了立體幾何教學(xué)的內(nèi)容
空間向量的引入豐富了立體幾何教學(xué)的內(nèi)容,這主要體現(xiàn)在課程理念變化以及課程內(nèi)容改變兩個方面。
1.在課程理念方面
新課程注重學(xué)習(xí)方式的改革,要求學(xué)生轉(zhuǎn)變單一的被動接受式學(xué)習(xí),把學(xué)習(xí)過程中的發(fā)現(xiàn)、探究等認(rèn)識活動凸顯出來,在教師的積極引導(dǎo)下實(shí)現(xiàn)學(xué)生自我的“再創(chuàng)造”。在立體幾何中引入空間向量正是適應(yīng)新課程理念的表現(xiàn),空間向量的出現(xiàn)為學(xué)生提供了解決問題的新途徑,融合了計算機(jī)技術(shù)與數(shù)學(xué)知識,直接利用向量的方式提出問題為學(xué)生解答立體幾何題目提供了新的解題方法。這就密切了數(shù)學(xué)知識與日常生活實(shí)際的聯(lián)系,加強(qiáng)了數(shù)學(xué)知識的實(shí)用性。同時,空間向量的引入,促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的形成和發(fā)展,提高了學(xué)生的實(shí)踐能力。
2.在教學(xué)內(nèi)容方面
空間向量作為一個獨(dú)立的知識體系納入教材當(dāng)中,涵蓋了空間向量的定義和原理、線性運(yùn)算、直角坐標(biāo)運(yùn)算、兩個向量的數(shù)量積、空間向量在立體幾何的應(yīng)用等方面,這豐富了立體幾何的教學(xué)內(nèi)容。
二、空間向量的引入降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度
空間向量降低了學(xué)習(xí)的難度體現(xiàn)在向量的特征上。一方面,向量是代數(shù)的,因此可以對它進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算,這就豐富了運(yùn)算形式,也使抽象的概念有了具體的形式。以運(yùn)算為載體,發(fā)揮空間想象能力,就可以對問題進(jìn)行實(shí)際的運(yùn)算、證明以及演繹。另一方面,向量又是幾何的,因此可以直接描述、想象、替代向量中點(diǎn)、線、面等對象,并可觀察到各研究對象之間的基本關(guān)系。這就為一些計算能力比較強(qiáng)但空間想象能力較弱的學(xué)生解題提供了新的出路,降低了其學(xué)習(xí)的難度。例如,證明以⊙O的直徑AB為一邊的圓內(nèi)接△ABC是直角三角形。(圖略,也就是求證∠BAC是直角)
因此AB⊥AC,所以△ABC是直角三角形。
三、空間向量的引入降低了學(xué)生的空間想象力
空間向量的引入,為學(xué)生解答立體幾何問題提供了新的方法。但是也有不少人認(rèn)為,空間向量的引入削弱了學(xué)生的邏輯思維能力,降低了學(xué)生的空間想象能力?臻g向量的引入把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,密切了代數(shù)與幾何的關(guān)系,豐富了學(xué)生的思維方式,但是容易造成空間向量就是“萬能”的思想,很多學(xué)生完全放棄了傳統(tǒng)的綜合法,試圖通過空間向量的方法來解決一切立體幾何問題。運(yùn)用空間向量來解決數(shù)學(xué)問題這一思路的推廣還需要注意從以下幾方面來努力:
1.采用行之有效的教學(xué)方式
興趣和好奇心是培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生積極性的內(nèi)在動力。這就需要教師從學(xué)生的年齡特征和心理特點(diǎn)出發(fā),篩選出與該模式相適應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。具體來說,在空間向量的學(xué)習(xí)中,可采取啟發(fā)式和探究式。教師要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用,教師主要扮演引導(dǎo)者和促進(jìn)者的角色,從而培養(yǎng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、自主解決問題、探索問題的能力。當(dāng)然,對于一些較難的知識,教師要引導(dǎo)學(xué)生對原有知識的復(fù)習(xí),提高知識的概括化水平,建立知識的網(wǎng)絡(luò)化,促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的遷移。教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生動手,調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性,引導(dǎo)他們通過獨(dú)立思考、積極探索,生動活潑的學(xué)習(xí),自覺掌握科學(xué)知識,提高分析問題和解決問題的能力,鼓勵學(xué)生將知識創(chuàng)造性地運(yùn)用于實(shí)際。如,在學(xué)習(xí)“空間向量”這一概念時,教師可以利用學(xué)生原有知識復(fù)習(xí)平面向量和立體幾何的基礎(chǔ)知識。如,教師可以設(shè)置以下問題:(1)空間兩條直線的位置關(guān)系是:平行、相交、異面,空間兩個向量的關(guān)系?(2)空間兩條平行直線確定一個平面,空間中兩個平行向量確定一個平面?(3)空間兩條相交直線確定一個平面,空間中兩個不平行向量確定一個平面?再如這一例題,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是邊長為4的等邊三角形,B1B=2,求異面直線BC1和A1C所成的角(圖略)。教師可以幫助學(xué)生建立空間直角坐標(biāo)系,教師可以引導(dǎo)學(xué)生作出BC和B1C1的中點(diǎn)M和N,然后利用底面三角形的高M(jìn)A、側(cè)棱MN以及底面三角形的邊對MC這三條互相垂直的直線來建立空間直角坐標(biāo)系,通過設(shè)置
問題情境,引導(dǎo)學(xué)生一步步地將空間向量運(yùn)用于具體的數(shù)學(xué)習(xí)題中。
2.在學(xué)習(xí)空間向量的同時不可忽視綜合法
雖然空間向量確實(shí)在解決立體幾何問題時具有獨(dú)特的優(yōu)勢,但是綜合法的運(yùn)用也至關(guān)重要,綜合法對于培養(yǎng)學(xué)生思考問題的習(xí)慣、提高空間想象力以及邏輯思維能力有很大的影響。因此,在使用空間向量時,首先要注重一題多解。要教授學(xué)生不能一味地以解決問題為目的,而要鼓勵學(xué)生從多個角度,采用多種方式來解決問題,培養(yǎng)一題多解的思維方式,舉一反三,靈活多變。其次,教師在教學(xué)中要注意對空間向量法與綜合法教學(xué)的平衡性,要精心
編制和選擇恰當(dāng)?shù)睦}和習(xí)題,特別是挑選一些利用綜合法解答
更為便利的立體幾何習(xí)題,增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用綜合法思考問題的積極性,讓學(xué)生主動使用綜合法來解決立體幾何問題,通過一題多解的方式實(shí)現(xiàn)訓(xùn)練學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力的目的。
在立體幾何中引入空間向量這一內(nèi)容是新課程改革的必然趨勢。空間向量引入立體幾何教學(xué)中,對于擺脫“形到形”這一傳統(tǒng)綜合法,豐富解題方式具有重要作用,在一定程度上降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力,但是在運(yùn)用空間向量時,也不能一味地突出其優(yōu)勢,要重視其缺點(diǎn),與綜合法并用,促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。
參考文獻(xiàn):
。1]黃長春。利用空間向量方法解決立體幾何的問題[J]。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2011.
。2]劉福亮。向量法在立體幾何解題中的妙用[J]。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2009.
(作者單位 山西省大同大學(xué)朔州師范分校)
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