基于表格法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

在設(shè)計(jì)邏輯電路圖時(shí)，由真值表直接得到的函數(shù)往往比較復(fù)雜。代數(shù)法和卡諾圖法等方法對(duì)于變量數(shù)目較多的邏輯函數(shù)則效果不佳，本文介紹一種可以化簡(jiǎn)復(fù)雜邏輯函數(shù)的方法──表格法，該方法可以對(duì)變量數(shù)目較多的邏輯函數(shù)也可以進(jìn)行化簡(jiǎn)。

2、原理

在介紹化減法之前，先說(shuō)明三個(gè)概念：

蘊(yùn)涵項(xiàng)──在函數(shù)的任何積之和式中，每個(gè)乘積項(xiàng)稱(chēng)為該函數(shù)的蘊(yùn)涵項(xiàng)。對(duì)應(yīng)于卡諾圖中的任一標(biāo)1單元(最小項(xiàng))以及2^m個(gè)相鄰單元所形成的圈都是函數(shù)的蘊(yùn)涵項(xiàng)。

素項(xiàng)──若函數(shù)的一個(gè)蘊(yùn)涵項(xiàng)不是該函數(shù)中其它蘊(yùn)涵項(xiàng)的一個(gè)子集，則此蘊(yùn)涵項(xiàng)稱(chēng)為素蘊(yùn)涵項(xiàng)，簡(jiǎn)稱(chēng)素項(xiàng)。

實(shí)質(zhì)素項(xiàng)──若函數(shù)的一個(gè)素項(xiàng)所包含的某一最小項(xiàng)，不包括在該函數(shù)的其它任何素項(xiàng)中則此素項(xiàng)稱(chēng)為實(shí)質(zhì)素蘊(yùn)涵項(xiàng)，簡(jiǎn)稱(chēng)實(shí)質(zhì)素項(xiàng)。

列表化簡(jiǎn)法的基本原理是利用邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)，通過(guò)對(duì)相鄰最小項(xiàng)的合并，消去多余變量因子，獲得邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)式的。列表化簡(jiǎn)法的思路是先找出給定函數(shù)F的全部素項(xiàng)，然后找出其中的實(shí)質(zhì)素項(xiàng)；若實(shí)質(zhì)素項(xiàng)不能覆蓋F的所有最小項(xiàng)，則進(jìn)一步找出所需素項(xiàng)，以構(gòu)成F的最簡(jiǎn)素項(xiàng)集。

下面用列表化簡(jiǎn)法將下列函數(shù)化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

F(A,B,C,D)＝Σ(0,3,4,5,6,7,8,10,11)

3、建立素項(xiàng)表

首先，找出給定函數(shù)的全部素項(xiàng)。

(1)先將每個(gè)最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)按其“1”的個(gè)數(shù)分組得表1；

表1 最小項(xiàng)

組號(hào)

項(xiàng)號(hào)

二進(jìn)制數(shù)

0

0

0000

1

4

8

0100

1000

2

3

5

6

10

0011

0101

0110

1010

3

7

11

0111

1011

　

(2)將表1中的相鄰兩個(gè)組之間二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行比較、合并得到一次化簡(jiǎn)結(jié)果，稱(chēng)為一次乘積項(xiàng)，其項(xiàng)號(hào)記為i(j－i)，其中i為最小項(xiàng)中的小項(xiàng)號(hào)，j為最小項(xiàng)中的大項(xiàng)號(hào)，得表2；

表2 一次乘積項(xiàng)

組號(hào)

項(xiàng)號(hào)

二進(jìn)制數(shù)

0

a₀(4)

b₀(8)

0-00

-000

1

4(1)

4(2)

c₈(2)

010-

01-0

10-0

2

d₃(4)

e₃(8)

5(2)

6(1)

f₁₀(1)

0-11

-011

01-1

011-

101-

　

(3)再將表2中的相鄰兩組內(nèi)的二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行比較、合并、便得到第二次化簡(jiǎn)結(jié)果，稱(chēng)為二次乘積項(xiàng)，其項(xiàng)號(hào)記為i(n,m)，其中i為兩個(gè)一次乘積項(xiàng)中的小項(xiàng)號(hào)，n為原最小項(xiàng)的項(xiàng)號(hào)差，m為一次乘積項(xiàng)的項(xiàng)號(hào)差，得表3；

表3 二次乘積項(xiàng)

組號(hào)

項(xiàng)號(hào)

二進(jìn)制數(shù)

1

g₄(1,2)

4(2,1)

01--

01--

　

不能與其它一次乘積項(xiàng)合并的一次乘積項(xiàng)是素項(xiàng)，分別以a,b,c,d,e,f記之，不能合并的二次乘積項(xiàng)也是素項(xiàng)，以g記之。

4、實(shí)質(zhì)素項(xiàng)

建立實(shí)質(zhì)素項(xiàng)產(chǎn)生表，找出實(shí)質(zhì)素項(xiàng)。

先用×標(biāo)出每個(gè)素項(xiàng)覆蓋最小項(xiàng)的情況，再找出實(shí)質(zhì)最小項(xiàng)5、6，在×上標(biāo)括號(hào)以示區(qū)別，可找出對(duì)應(yīng)實(shí)質(zhì)素項(xiàng)g，在其前標(biāo)*，最后一行用“V”標(biāo)出實(shí)質(zhì)素項(xiàng)覆蓋最小項(xiàng)的情況，可看出還有最小項(xiàng)0、3、8、10、11未被覆蓋。如表4所示。

表4實(shí)質(zhì)素項(xiàng)產(chǎn)生式

最小項(xiàng)

素項(xiàng)

0

3

4

5

6

7

8

10

11

a₀(4)

X

　

X

　 　 　 　 　 　

b₀(8)

X

　 　 　 　 　

X

　 　

c₈(2)

　 　 　 　 　 　

X

X

　

d₃(4)

　

X

　 　 　

X

　 　 　

e₃(8)

　

X

　 　 　 　 　 　

X

f₁₀(1)

　 　 　 　 　 　 　

X

X

*g₄(1,2)

　 　

X

X

X

X

　 　 　

覆蓋情況

　 　

V

V

V

V

　 　 　

　

5、素項(xiàng)產(chǎn)生式

第三步：建立所需素項(xiàng)產(chǎn)生表，找出所需素項(xiàng)，所需素項(xiàng)集應(yīng)覆蓋所有未被實(shí)質(zhì)素項(xiàng)覆蓋的最小項(xiàng)，得表5。再用行列消去法來(lái)找，選優(yōu)勢(shì)行b₀(8)，e₃(8)，劃去劣勢(shì)行a₀(4)及d₃(4)得表6，再選最小項(xiàng)為0、3的劣勢(shì)列，劃去最小項(xiàng)為8，11的優(yōu)勢(shì)列，得表7。找出新的實(shí)質(zhì)素項(xiàng)b，e，取該兩項(xiàng)作為所需素項(xiàng)后，尚有最小項(xiàng)10未被覆蓋，可選取c或f求得所需素項(xiàng)集為(b,e,c)或(b,e,f)，

表5

最小項(xiàng)

素項(xiàng)

0

3

8

10

11

a₀(4)

Ｘ

　 　 　 　

b₀(8)

Ｘ

　

Ｘ

　 　

c₈(2)

　 　

Ｘ

Ｘ

　

d₃(4)

　

Ｘ

　 　 　

e₃(8)

　

Ｘ

　 　

Ｘ

f₁₀(1)

　 　 　

Ｘ

Ｘ

　

表6

最小項(xiàng)

素項(xiàng)

0

3

8

10

11

b₀(8)

X

　

X

　 　

c₈(2)

　 　

X

X

　

e₃(8)

　

X

　 　

X

f₁₀(1)

　 　 　

X

X

　

表7

最小項(xiàng)

素項(xiàng)

0

3

10

**b₀(8)

(X)

　 　

c₈(2)

　 　

X

**e₃(8)

　

(X)

　

f₁₀(1)

　 　

X

得F＝g＋b＋c＋e＝AB＋BCD＋ABD＋BCD

或F＝g＋b＋e＋f＝AB＋BCD＋BCD＋ABC

6、結(jié)論

通過(guò)上面介紹可以看出，邏輯化簡(jiǎn)能否以最快的速度進(jìn)行，從而得到最簡(jiǎn)的邏輯表達(dá)式，與化簡(jiǎn)者的經(jīng)驗(yàn)和對(duì)公式、方法掌握與運(yùn)用的熟練程度有密切關(guān)系；而列表化簡(jiǎn)法思路清晰、準(zhǔn)確，有規(guī)律可循，可得到多種可能答案，但化簡(jiǎn)過(guò)程比較繁瑣，適宜于用微機(jī)處理并實(shí)現(xiàn)。

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